1984 AIME 第 12 题

Question

函数

f

定义在全体实数上，并满足

\begin{aligned} f(2+x)&=f(2-x),\\ f(7+x)&=f(7-x) \end{aligned}\text{，}

其中

x

为任意实数。若

x=0

是方程

f(x)=0

的一个根，那么方程

f(x)=0

至少必须有多少个根位于区间

-1000\leq x\leq1000

内？

A function

f

is defined for all real numbers and satisfies

\begin{aligned} f(2+x)&=f(2-x),\\ f(7+x)&=f(7-x) \end{aligned}

for all real

x.

If

x=0

is a root of

f(x)=0,

what is the least number of roots

f(x)=0

must have in the interval

-1000\leq x\leq1000?

答案

答案：401

知识点：函数方程反射（几何）区间内整数计数

难度评级：2110

小提示：

将两个等式理解为分别关于

2

和

7

的反射对称

Interpret the two identities as reflection symmetries about

2

and

7

大提示：

依次进行这两次反射会产生平移

10

Composing the two reflections produces a translation by

10

解答：

这两个等式使根集在关于

2

和

7

的反射下保持不变。这两次反射的复合是平移

10

。从根

0

出发，这些变换迫使下列集合中的每个数都成为根：

\begin{gathered} \{10k:k\in\mathbb Z\}\\ {}\cup\{4+10k:k\in\mathbb Z\} \end{gathered}

在给定区间内，第一个集合贡献

201

个根，第二个集合贡献

200

个根，共有

401

个。

这个下界可以达到：在上述不变集合上定义

f

为

0

，在其他地方定义为

1

。它满足所要求的两种反射对称。因此，最少可能的根数为

401

。

The identities make the root set invariant under reflection about

2

and about

7.

Their composition is translation by

10.

Starting from the root

0,

these operations force every number in

\begin{gathered} \{10k:k\in\mathbb Z\}\\ {}\cup\{4+10k:k\in\mathbb Z\} \end{gathered}

to be a root. In the interval, the first set contributes

201

roots and the second contributes

200,

for a total of

401.

This bound is attainable: define

f

to be

0

on this invariant set and

1

elsewhere. It has both required reflection symmetries. Hence the least possible number is

401.

1984 AIME 第 12 题

答案：401

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题