1988 AIME 第 13 题

Question

若整数

a

和

b

使

x^2-x-1

是

ax^{17}+bx^{16}+1

的因式，求

a

。

Find

a

if

a

and

b

are integers such that

x^2-x-1

is a factor of

ax^{17}+bx^{16}+1.

答案

模

x^2-x-1

时，各次幂满足

x^n=F_nx+F_{n-1}

Modulo

x^2-x-1,

powers satisfy

x^n=F_nx+F_{n-1}

令一次余式的两个系数都等于零，并使用卡西尼恒等式

Set both coefficients of the linear remainder equal to zero and use Cassini’s identity

模

x^2-x-1

时，由

x^2=x+1

得

x^n=F_nx+F_{n-1}

。因此余式为

\begin{aligned}r(x)={}&(1597a+987b)x\\&+(987a+610b+1)\end{aligned}\text{。}

两个系数都必须为零。由卡西尼恒等式，系数矩阵的行列式为

1597(610)-987^2=1\text{。}

再由克莱姆法则得

a=987

。

Modulo

x^2-x-1,

the relation

x^2=x+1

gives

x^n=F_nx+F_{n-1}.

Hence the remainder is

\begin{aligned}r(x)={}&(1597a+987b)x\\&+(987a+610b+1).\end{aligned}

Both coefficients must vanish. The determinant of the coefficient matrix is

1597(610)-987^2=1

by Cassini’s identity. Cramer’s rule then gives

a=987.

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