1991 AIME 第 14 题

Question

一个六边形内接于圆。它的五条边长为

81

，第六条边记为

\overline{AB}

，长为

31

。求从

A

出发可作的三条对角线的长度之和。

A hexagon is inscribed in a circle. Five of the sides have length

81

and the sixth, denoted by

\overline{AB},

has length

31.

Find the sum of the lengths of the three diagonals that can be drawn from

A.

答案

答案：384

知识点：弦三角恒等式三角学

难度评级：2710

小提示：

设每条长为

81

的边所对的圆心角为

2u

，并令

t=2\cos u

。

Let

2u

be the central angle subtended by each side of length

81

, and set

t=2\cos u

大提示：

用

t

表示

\frac{\sin(5u)}{\sin u}

以及三条对角线的长度比。

Express

\frac{\sin(5u)}{\sin u}

and the three diagonal ratios in terms of

t

解答：

设每条长为

81

的边所对的圆心角为

2u

，并令

t=2\cos u

。剩余弧的半角为

\pi-5u

，因此由弦长之比可得

\begin{aligned}\frac{31}{81}&=\frac{\sin5u}{\sin u}\\&=t^4-3t^2+1\end{aligned}\text{。}

由此得到

t^2=\frac{25}{9}

或

\frac{2}{9}

。因为

5u<\pi

，所以

t>2\cos36^\circ

，从而

t=\frac{5}{3}

。

从

A

出发的三条对角线所对的较小圆心角分别与

2u

、

3u

、

4u

相同。以长为

81

的边为基准，它们的长度比分别为

\begin{aligned}\frac{\sin2u}{\sin u}&=t,\\\frac{\sin3u}{\sin u}&=t^2-1,\\\frac{\sin4u}{\sin u}&=t^3-2t\end{aligned}\text{。}

因此它们的长度之和为

\begin{aligned}81(t^3+t^2-t-1)&=81\left(\frac{128}{27}\right)\\&=384\end{aligned}\text{。}

Let

2u

be the central angle subtended by each

81

-side, and put

t=2\cos u.

The remaining arc has half-angle

\pi-5u,

so the chord ratio gives

\begin{aligned}\frac{31}{81}&=\frac{\sin5u}{\sin u}\\&=t^4-3t^2+1.\end{aligned}

This yields

t^2=\frac{25}{9}

or

\frac{2}{9}.

Because

5u<\pi,

we have

t>2\cos36^\circ,

so

t=\frac{5}{3}.

The three diagonals from

A

subtend the same minor angles as

2u,

3u,

and

4u.

Relative to an

81

-side, their length ratios are

\begin{aligned}\frac{\sin2u}{\sin u}&=t,\\\frac{\sin3u}{\sin u}&=t^2-1,\\\frac{\sin4u}{\sin u}&=t^3-2t.\end{aligned}

Their sum is therefore

\begin{aligned}81(t^3+t^2-t-1)&=81\left(\frac{128}{27}\right)\\&=384.\end{aligned}

1991 AIME 第 14 题

答案：384

难度评级：2710

小提示：

大提示：

解答：

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