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1992 AIME 第 14 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

14.

在三角形

ABC

中，点

A'

、

B'

和

C'

分别位于边

BC

、

AC

和

AB

上。已知

AA'

、

BB'

和

CC'

交于点

O

，且

\frac{AO}{OA'}+\frac{BO}{OB'}+\frac{CO}{OC'}=92\text{，}

求

\frac{AO}{OA'}\cdot\frac{BO}{OB'}\cdot\frac{CO}{OC'}\text{。}

In triangle

ABC,

A',

B',

and

C'

are on the sides

BC,

AC,

and

AB,

respectively. Given that

AA',

BB',

and

CC'

are concurrent at the point

O,

and that

\frac{AO}{OA'}+\frac{BO}{OB'}+\frac{CO}{OC'}=92,

find

\frac{AO}{OA'}\cdot\frac{BO}{OB'}\cdot\frac{CO}{OC'}.

答案

答案：94

知识点：质点法比与比例代数变形

难度评级：2350

小提示：

设

(\alpha,\beta,\gamma)

为点

O

的归一化重心坐标

Let

(\alpha,\beta,\gamma)

be normalized barycentric coordinates of

O

大提示：

将三个比值写成

\frac{1-\alpha}{\alpha}

、

\frac{1-\beta}{\beta}

和

\frac{1-\gamma}{\gamma}

Write the three ratios as

\frac{1-\alpha}{\alpha}

,

\frac{1-\beta}{\beta}

, and

\frac{1-\gamma}{\gamma}

解答：

设

\alpha+\beta+\gamma=1

为点

O

的重心坐标。于是

\begin{aligned}x=\frac{AO}{OA'}&=\frac{\beta+\gamma}{\alpha},\\y=\frac{BO}{OB'}&=\frac{\gamma+\alpha}{\beta},\\z=\frac{CO}{OC'}&=\frac{\alpha+\beta}{\gamma}\end{aligned}\text{。}

利用

\alpha+\beta+\gamma=1

展开两边，可得恒等式

xyz=x+y+z+2\text{。}

因为

x+y+z=92

，所求乘积为

94

。

Let

\alpha+\beta+\gamma=1

be the barycentric coordinates of

O.

Then

\begin{aligned}x=\frac{AO}{OA'}&=\frac{\beta+\gamma}{\alpha},\\y=\frac{BO}{OB'}&=\frac{\gamma+\alpha}{\beta},\\z=\frac{CO}{OC'}&=\frac{\alpha+\beta}{\gamma}.\end{aligned}

Expanding both sides using

\alpha+\beta+\gamma=1

gives the standard identity

xyz=x+y+z+2.

Since

x+y+z=92,

the requested product is

94.