1996 AIME 第 12 题

Question

将整数

1

、

2

、

3

、

\ldots

、

10

的每个排列记为

a_1

、

a_2

、

a_3

、

\ldots

、

a_{10}

，并构造和

\begin{gathered}|a_1-a_2|+|a_3-a_4|\\+|a_5-a_6|+|a_7-a_8|\\+|a_9-a_{10}|\end{gathered}\text{。}

所有这些和的平均值可写成

\frac{p}{q}

，其中

p

和

q

是互质的正整数。求

p+q

。

For each permutation

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots,

a_{10}

of the integers

1,

2,

3,

\ldots,

10,

form the sum

\begin{gathered}|a_1-a_2|+|a_3-a_4|\\+|a_5-a_6|+|a_7-a_8|\\+|a_9-a_{10}|.\end{gathered}

The average value of all such sums can be written in the form

\frac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. Find

p+q.

答案

答案：58

知识点：期望值 linearity of expectation 数对计数

难度评级：1850

小提示：

五个绝对值差具有相同的平均值

Each of the five absolute differences has the same average

大提示：

对随机选取的无序数对，差为

d

的数对有

10-d

个

For a random unordered pair, difference

d

occurs

10-d

times

解答：

每一对的差都与从

1,\ldots,10

中均匀选取一个无序数对所得差具有相同的期望。因此

\begin{aligned}\mathbb E|a_1-a_2|&=\frac{\sum_{d=1}^9d(10-d)}{\binom{10}{2}}\\&=\frac{10\sum_{d=1}^9d}{45}\\&\quad-\frac{\sum_{d=1}^9d^2}{45}\\&=\frac{450-285}{45}=\frac{11}{3}\end{aligned}\text{。}

由期望的线性性质，五项和的平均值为

\frac{5\cdot11}{3}=\frac{55}{3}

。所以

p+q=58

。

Each paired difference has the same expected value as the difference of a uniformly selected unordered pair from

1,\ldots,10.

Therefore

\begin{aligned}\mathbb E|a_1-a_2|&=\frac{\sum_{d=1}^9d(10-d)}{\binom{10}{2}}\\&=\frac{10\sum_{d=1}^9d}{45}\\&\quad-\frac{\sum_{d=1}^9d^2}{45}\\&=\frac{450-285}{45}=\frac{11}{3}.\end{aligned}

By linearity of expectation, the average of the five-term sum is

\frac{5\cdot11}{3}=\frac{55}{3}.

Thus

p+q=58.

1996 AIME 第 12 题

答案：58

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

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