1981 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

若

\sqrt{x+2}=2

，则

(x+2)^2

等于

If

\sqrt{x+2}=2,

then

(x+2)^2

equals

\sqrt2

2

4

8

16

知识点：根式换元法

难度评级：900

小提示：

已知等式已经给出了

x+2

的值

The equation already gives the value of

x+2

大提示：

将这个已知的值再平方一次

Square the known value once more

解答：

由

\sqrt{x+2}=2

可得

x+2=4

。因此

(x+2)^2=4^2=16

。

所以正确答案是 E。

From

\sqrt{x+2}=2,

we get

x+2=4.

Therefore

(x+2)^2=4^2=16.

Therefore, the correct answer is E.

2.

点

E

位于边

AB

上，这条边属于正方形

ABCD

。若

EB

的长度为一，

EC

的长度为二，则该正方形的面积为

Point

E

is on side

AB

of square

ABCD.

If

EB

has length one and

EC

has length two, then the area of the square is

\sqrt3

\sqrt5

3

2\sqrt3

5

知识点：正方形（几何）勾股定理面积

难度评级：1160

小提示：

三角形

EBC

是直角三角形

Triangle

EBC

is a right triangle

大提示：

未知的直角边

BC

也是正方形的边长

The unknown leg

BC

is also the side length of the square

解答：

设正方形的边长为

s

。在直角三角形

EBC

中，

s^2+1^2=2^2\text{。}

因此

s^2=3

，这恰好就是正方形的面积。

所以正确答案是 C。

Let the square’s side length be

s.

In right triangle

EBC,

s^2+1^2=2^2.

Hence

s^2=3,

which is exactly the area of the square.

Therefore, the correct answer is C.

3.

当

x\ne0

时，

\frac1x+\frac1{2x}+\frac1{3x}

等于

For

x\ne0,

\frac1x+\frac1{2x}+\frac1{3x}

equals

\frac1{2x}

\frac1{6x}

\frac5{6x}

\frac{11}{6x}

\frac1{6x^3}

知识点：分数代数变形

难度评级：920

小提示：

以

6x

为公分母

Use

6x

as a common denominator

大提示：

把所得的分子

6

、

3

和

2

相加

Add the resulting numerators

6,

3,

and

2

解答：

通分到公分母

6x

，得到

\begin{aligned} \frac1x+\frac1{2x}+\frac1{3x} &=\frac6{6x}+\frac3{6x}\\ &\quad+\frac2{6x}\\ &=\frac{11}{6x} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 D。

Using the common denominator

6x

gives

\begin{aligned} \frac1x+\frac1{2x}+\frac1{3x} &=\frac6{6x}+\frac3{6x}\\ &\quad+\frac2{6x}\\ &=\frac{11}{6x}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

4.

若两个数中较大数的三倍等于较小数的四倍，且两数之差为

8

，则较大数为

If three times the larger of two numbers is four times the smaller and the difference between the numbers is

8,

then the larger of the two numbers is

16

24

32

44

52

知识点：一次方程比与比例

难度评级：980

小提示：

用

L

和

S

分别表示较大数和较小数

Let

L

and

S

denote the larger and smaller numbers

大提示：

联立

3L=4S

与

L-S=8

Use

3L=4S

together with

L-S=8

解答：

关系式

3L=4S

给出

S=\frac{3L}{4}

。因此

L-S=L-\frac{3L}{4}=\frac L4=8\text{，}

所以

L=32

。

所以正确答案是 C。

The relation

3L=4S

gives

S=\frac{3L}{4}.

Thus

L-S=L-\frac{3L}{4}=\frac L4=8,

so

L=32.

Therefore, the correct answer is C.

5.

在梯形

ABCD

中，边

AB

与

CD

平行，对角线

BD

与边

AD

等长。若

\angle DCB=110^\circ

，且

\angle CBD=30^\circ

，则

\angle ADB=

In trapezoid

ABCD,

sides

AB

and

CD

are parallel, and diagonal

BD

and side

AD

have equal length. If

\angle DCB=110^\circ

and

\angle CBD=30^\circ,

then

\angle ADB=

80^\circ

90^\circ

100^\circ

110^\circ

120^\circ

知识点：梯形平行线等腰三角形导角

难度评级：1360

小提示：

利用两底边平行，求出顶点

B

处的整个内角

Use the parallel bases to find the full interior angle at

B

大提示：

然后利用

AD=BD

，考察三角形

ABD

Then use

AD=BD

in triangle

ABD

解答：

由于

AB\parallel CD

，同旁内角互补，所以

\angle ABC=180^\circ-110^\circ=70^\circ

。因此

\angle ABD=70^\circ-30^\circ=40^\circ

。又因

AD=BD

，三角形

ABD

中

\angle DAB=\angle ABD=40^\circ

。所以

\begin{aligned} \angle ADB &=180^\circ-40^\circ-40^\circ\\ &=100^\circ \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 C。

Since

AB\parallel CD,

consecutive interior angles give

\angle ABC=180^\circ-110^\circ=70^\circ.

Hence

\angle ABD=70^\circ-30^\circ=40^\circ.

Because

AD=BD,

triangle

ABD

has

\angle DAB=\angle ABD=40^\circ.

Therefore

\begin{aligned} \angle ADB &=180^\circ-40^\circ-40^\circ\\ &=100^\circ. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.

6.

若

\frac{x}{x-1}=\frac{y^2+2y-1}{y^2+2y-2}

，则

x

等于

If

\frac{x}{x-1}=\frac{y^2+2y-1}{y^2+2y-2},

then

x

equals

y^2+2y-1

y^2+2y-2

y^2+2y+2

y^2+2y+1

-y^2-2y+1

知识点：分式方程代数变形

难度评级：1210

小提示：

注意每个分母都比分子小一

Notice that each denominator is one less than its numerator

大提示：

令

A=y^2+2y-1

，比较

\frac{x}{x-1}

与

\frac A{A-1}

Set

A=y^2+2y-1

and compare

\frac{x}{x-1}

with

\frac A{A-1}

解答：

令

A=y^2+2y-1

。原方程变为

\frac{x}{x-1}=\frac{A}{A-1}

。交叉相乘得

xA-x=Ax-A

，所以

x=A=y^2+2y-1

。

所以正确答案是 A。

Let

A=y^2+2y-1.

The equation becomes

\frac{x}{x-1}=\frac{A}{A-1}.

Cross-multiplication gives

xA-x=Ax-A,

so

x=A=y^2+2y-1.

Therefore, the correct answer is A.

7.

前一百个正整数中，有多少个能同时被

2

、

3

、

4

、

5

整除？

How many of the first one hundred positive integers are divisible by all of the numbers

2,

3,

4,

5?

0

1

2

3

4

知识点：最小公倍数整除性

难度评级：980

小提示：

求

2

、

3

、

4

和

5

的最小公倍数

Find the least common multiple of

2,

3,

4,

and

5

大提示：

数出不超过

100

的该最小公倍数的倍数

Count the multiples of that least common multiple through

100

解答：

最小公倍数是

\operatorname{lcm}(2,3,4,5)=60

。在不超过

100

的正整数中，只有

60

是

60

的倍数。因此个数为

1

。

所以正确答案是 B。

The least common multiple is

\operatorname{lcm}(2,3,4,5)=60.

Among the positive integers through

100,

only

60

is a multiple of

60.

Thus the count is

1.

Therefore, the correct answer is B.

8.

对所有正数

x

、

y

、

z

，乘积

\begin{aligned} &(x+y+z)^{-1}\\ &\quad\cdot(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1})\\ &\quad\cdot(xy+yz+zx)^{-1}\\ &\quad\cdot\big((xy)^{-1}+(yz)^{-1}+(zx)^{-1}\big) \end{aligned}

等于

For all positive numbers

x,

y,

z,

the product

\begin{aligned} &(x+y+z)^{-1}\\ &\quad\cdot(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1})\\ &\quad\cdot(xy+yz+zx)^{-1}\\ &\quad\cdot\big((xy)^{-1}+(yz)^{-1}+(zx)^{-1}\big) \end{aligned}

equals

x^{-2}y^{-2}z^{-2}

x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}

(x+y+z)^{-1}

\frac1{xyz}

\frac1{xy+yz+zx}

知识点：代数变形分数

难度评级：1630

小提示：

把每个倒数之和通分

Rewrite each sum of reciprocals over a common denominator

大提示：

两个倒数之和分别会产生因子

xy+yz+zx

和

x+y+z

The two reciprocal sums introduce factors

xy+yz+zx

and

x+y+z

解答：

有

x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}

以及

\begin{aligned} &(xy)^{-1}+(yz)^{-1}\\ &\quad+(zx)^{-1} =\frac{x+y+z}{xyz} \end{aligned}\text{。}

所有对称和因子约去后，剩下

\frac{1}{x^2y^2z^2}=x^{-2}y^{-2}z^{-2}

。

所以正确答案是 A。

We have

x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}

and

\begin{aligned} &(xy)^{-1}+(yz)^{-1}\\ &\quad+(zx)^{-1} =\frac{x+y+z}{xyz}. \end{aligned}

All symmetric sum factors cancel, leaving

\frac{1}{x^2y^2z^2}=x^{-2}y^{-2}z^{-2}.

Therefore, the correct answer is A.

9.

在附图中，

PQ

是立方体的一条对角线。若

PQ

的长度为

a

，则立方体的表面积为

In the adjoining figure,

PQ

is a diagonal of the cube. If

PQ

has length

a,

then the surface area of the cube is

2a^2

2\sqrt2a^2

2\sqrt3a^2

3\sqrt3a^2

6a^2

知识点：正方体对角线表面积

难度评级：1280

小提示：

把立方体的空间对角线与边长联系起来

Relate the cube’s space diagonal to its side length

大提示：

将边长代入六个正方形面的面积公式

Substitute the side length into the formula for six square faces

解答：

若边长为

s

，则空间对角线满足

s\sqrt3=a

，所以

s^2=\frac{a^2}{3}

。表面积为

6s^2=6(\frac{a^2}{3})=2a^2

。

所以正确答案是 A。

If the side length is

s,

then the space diagonal is

s\sqrt3=a,

so

s^2=\frac{a^2}{3}.

The surface area is

6s^2=6(\frac{a^2}{3})=2a^2.

Therefore, the correct answer is A.

10.

直线

L

与

K

关于直线

y=x

对称。若直线

L

的方程为

y=ax+b

，其中

a\ne0

且

b\ne0

，则

K

的方程为

y=

The lines

L

and

K

are symmetric to each other with respect to the line

y=x.

If the equation of line

L

is

y=ax+b

with

a\ne0

and

b\ne0,

then the equation of

K

is

y=

\frac1a x+b

-\frac1a x+b

-\frac1a x-\frac ba

\frac1a x+\frac ba

\frac1a x-\frac ba

知识点：坐标几何反射（几何）一次方程

难度评级：1300

小提示：

关于

y=x

的对称会交换两个坐标

Reflection across

y=x

interchanges the two coordinates

大提示：

在原方程中交换

x

与

y

，再解出

y

Swap

x

and

y

in the original equation, then solve for

y

解答：

将

x

与

y

互换，原式

y=ax+b

变为

x=ay+b

。解得

y=\frac{x-b}{a}=\frac1a x-\frac ba\text{。}

所以正确答案是 E。

Interchanging

x

and

y

in

y=ax+b

gives

x=ay+b.

Solving,

y=\frac{x-b}{a}=\frac1a x-\frac ba.

Therefore, the correct answer is E.

11.

一个直角三角形的三条边长均为整数，并且组成等差数列。其中一条边的长度可能为

The three sides of a right triangle have integral lengths which form an arithmetic progression. One of the sides could have length

22

58

81

91

361

知识点：勾股数等差数列整除性

难度评级：1360

小提示：

将三条等间距的边表示为

s-d

、

s

、

s+d

Represent the three equally spaced sides as

s-d,

s,

s+d

大提示：

每个这样的整数边直角三角形都是

3

-

4

-

5

三角形的整数倍

Every such integral right triangle is a multiple of a

3

-

4

-

5

triangle

解答：

若三边为

s-d

、

s

、

s+d

，则勾股定理给出

(s-d)^2+s^2=(s+d)^2

，从而有

s=4k

且

d=k

，其中

k

为正整数。因此三边为

3k

、

4k

、

5k

。在选项中，

81=3\cdot27

可以作为一条边。

所以正确答案是 C。

If the sides are

s-d,

s,

s+d,

the Pythagorean equation gives

(s-d)^2+s^2=(s+d)^2,

hence

s=4k

and

d=k

for some positive integer

k.

Thus the sides are

3k,

4k,

5k.

Of the choices,

81=3\cdot27

can occur.

Therefore, the correct answer is C.

12.

若

p

、

q

、

M

均为正数，且

q\lt100

，先将

M

增加

p\%

，再将所得结果减少

q\%

。最终结果大于

M

的充要条件是

If

p,

q,

and

M

are positive numbers and

q\lt100,

then the number obtained by increasing

M

by

p\%

and decreasing the result by

q\%

exceeds

M

if and only if

p\gt q

p\gt\frac q{100-q}

p\gt\frac q{1-q}

p\gt\frac{100q}{100+q}

p\gt\frac{100q}{100-q}

知识点：百分数不等式代数变形

难度评级：1450

小提示：

把连续两次百分比变化分别写成乘法因子

Write the two successive percentage changes as multiplication factors

大提示：

利用

q\lt100

，再除以

100-q

Use

q\lt100

when dividing by

100-q

解答：

最终数额为

M\left(1+\frac p{100}\right) \left(1-\frac q{100}\right)\text{。}

它大于

M

当且仅当

(100+p)(100-q)\gt10000

。展开后得到

p(100-q)\gt100q

。由于

100-q\gt0

，这等价于

p\gt\frac{100q}{100-q}

。

所以正确答案是 E。

The final amount is

M\left(1+\frac p{100}\right) \left(1-\frac q{100}\right).

It exceeds

M

exactly when

(100+p)(100-q)\gt10000.

Expanding gives

p(100-q)\gt100q.

Since

100-q\gt0,

this is

p\gt\frac{100q}{100-q}.

Therefore, the correct answer is E.

13.

假设在每年年末，一个货币单位相较该年年初会损失其价值的

10\%

。求最小的整数

n

，使得经过

n

年后，这个货币单位至少损失其价值的

90\%

。（四舍五入到小数点后三位，

\log_{10}3

为

0.477

。）

Suppose that at the end of any year, a unit of money has lost

10\%

of the value it had at the beginning of that year. Find the smallest integer

n

such that after

n

years the unit of money will have lost at least

90\%

of its value. (To the nearest thousandth

\log_{10}3

is

0.477.

)

14

16

18

20

22

知识点：指数对数不等式

难度评级：1660

小提示：

经过

n

年后，剩余价值所占的比例为

0.9^n

After

n

years, the fraction of value remaining is

0.9^n

大提示：

利用

\log_{10}0.9=2\log_{10}3-1

Use

\log_{10}0.9=2\log_{10}3-1

解答：

至少损失

90\%

意味着

0.9^n\le0.1

。现在

\begin{aligned} \log_{10}0.9 &=\log_{10}9-1\\ &=2(0.477)-1\\ &=-0.046 \end{aligned}\text{。}

因此

n(-0.046)\le-1

，所以

n\ge21.739\ldots

。最小的整数是

22

。

所以正确答案是 E。

At least

90\%

lost means

0.9^n\le0.1.

Now

\begin{aligned} \log_{10}0.9 &=\log_{10}9-1\\ &=2(0.477)-1\\ &=-0.046. \end{aligned}

Thus

n(-0.046)\le-1,

so

n\ge21.739\ldots.

The least integer is

22.

Therefore, the correct answer is E.

14.

一个实数等比数列的前两项之和为

7

，前六项之和为

91

。它的前四项之和为

In a geometric sequence of real numbers, the sum of the first two terms is

7,

and the sum of the first six terms is

91.

The sum of the first four terms is

28

32

35

49

84

知识点：等比数列二次方程

难度评级：1730

小提示：

把前六项之和分解成前两项之和与

1+r^2+r^4

的乘积

Factor the first-six-term sum into the first-two-term sum times

1+r^2+r^4

大提示：

令

t=r^2

，解方程

1+t+t^2=13

Set

t=r^2

and solve

1+t+t^2=13

解答：

若首项为

a

，公比为

r

，则

91=a(1+r)(1+r^2+r^4)\text{。}

由于

a(1+r)=7

，可得

1+r^2+r^4=13

。令

t=r^2\ge0

，则

t^2+t-12=0

，所以

t=3

。前四项之和为

a(1+r)(1+r^2)=7(4)=28

。

所以正确答案是 A。

If the first term is

a

and ratio is

r,

then

91=a(1+r)(1+r^2+r^4).

Since

a(1+r)=7,

we have

1+r^2+r^4=13.

With

t=r^2\ge0,

t^2+t-12=0,

so

t=3.

The first four terms sum to

a(1+r)(1+r^2)=7(4)=28.

Therefore, the correct answer is A.

15.

若

b\gt1

、

x\gt0

，且

(2x)^{\log_b2}-(3x)^{\log_b3}=0

，则

x

为

If

b\gt1,

x\gt0,

and

(2x)^{\log_b2}-(3x)^{\log_b3}=0,

then

x

is

\frac1{216}

\frac16

1

6

不能唯一确定

not uniquely determined

知识点：对数指数换元法

难度评级：1860

小提示：

对两个相等的正数幂取以

b

为底的对数

Take logarithms to base

b

of the two equal positive powers

大提示：

令

A=\log_b2

、

B=\log_b3

、

u=\log_bx

Let

A=\log_b2,

B=\log_b3,

and

u=\log_bx

解答：

令

A=\log_b2

、

B=\log_b3

、

u=\log_bx

。对等式两边取以

b

为底的对数，得到

A(A+u)=B(B+u)

。由于

A\ne B

，

A+B+u=0\text{。}

因此

u=-\log_b6=\log_b(\frac{1}{6})

，所以

x=\frac{1}{6}

。

所以正确答案是 B。

Let

A=\log_b2,

B=\log_b3,

and

u=\log_bx.

Taking base-

b

logarithms gives

A(A+u)=B(B+u).

Since

A\ne B,

A+B+u=0.

Therefore

u=-\log_b6=\log_b(\frac{1}{6}),

so

x=\frac{1}{6}.

Therefore, the correct answer is B.

16.

数

x

的三进制表示为

12112211122211112222\text{。}

则

x

的九进制表示中最左边的一位数字是

The base three representation of

x

is

12112211122211112222.

The first digit (on the left) of the base nine representation of

x

is

1

2

3

4

5

知识点：进制数字

难度评级：1450

小提示：

由于

9=3^2

，从右边开始把三进制数字每两位分成一组

Since

9=3^2,

group the base-three digits in pairs from the right

大提示：

把最左边的一组

12_3

转换成一位九进制数字

Convert the leftmost pair

12_3

into a base-nine digit

解答：

这个三进制表示有偶数位，因此九进制表示中最左边的一位来自

12_3

。这一组的值为

1\cdot3+2=5

，所以九进制表示的首位是

5

。

所以正确答案是 E。

The representation has an even number of base-three digits, so its leftmost base-nine digit comes from

12_3.

That pair has value

1\cdot3+2=5,

so the first base-nine digit is

5.

Therefore, the correct answer is E.

17.

函数

f

在

x=0

时没有定义，但对所有非零实数

x

，都有

f(x)+2f\left(\frac1x\right)=3x\text{。}

满足方程

f(x)=f(-x)

的实数有

The function

f

is not defined for

x=0,

but, for all nonzero real numbers

x,

f(x)+2f\left(\frac1x\right)=3x.

The equation

f(x)=f(-x)

is satisfied by

恰好一个

exactly one real number

恰好两个

exactly two real numbers

一个也没有

no real numbers

无穷多个，但并非所有非零实数

infinitely many, but not all, nonzero real numbers

所有非零实数

all nonzero real numbers

知识点：函数方程方程组对称性（代数）

难度评级：1940

小提示：

把

x

替换为

\frac{1}{x}

，再次应用已知关系式

Apply the given relation again after replacing

x

by

\frac{1}{x}

大提示：

由两个方程解出

f(x)

，再比较它在

x

与

-x

处的值

Solve the two equations for

f(x)

, then compare its values at

x

and

-x

解答：

把

x

替换为

\frac{1}{x}

，得到

f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x}

。解这两个线性方程，得到

f(x)=\frac2x-x\text{。}

因此

f(-x)=-f(x)

，要使两者相等，必须有

f(x)=0

。于是

\frac{2}{x}-x=0

，即

x^2=2

。

x=\sqrt2

与

x=-\sqrt2

都满足条件，所以恰有两个实数解。

所以正确答案是 B。

Replacing

x

by

\frac{1}{x}

gives

f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x}.

Solving the two linear equations yields

f(x)=\frac2x-x.

Hence

f(-x)=-f(x),

so equality requires

f(x)=0.

Thus

\frac{2}{x}-x=0,

or

x^2=2.

Both

x=\sqrt2

and

x=-\sqrt2

work, giving exactly two real numbers.

Therefore, the correct answer is B.

18.

方程

\frac{x}{100}=\sin x

的实数解的个数为

The number of real solutions to the equation

\frac{x}{100}=\sin x

is

61

62

63

64

65

知识点：三角学交点计数对称性

难度评级：2130

小提示：

利用奇对称性，先数出正数解

Use odd symmetry and first count the positive solutions

大提示：

只有位于

x=100

之前的正弦函数正半波可能与直线相交，其中第一个正半波要单独考虑

Only positive sine humps below

x=100

can meet the line, with special care for the first hump

解答：

该方程关于原点对称，并有解

x=0

。在

(0,\pi)

内还有一个正数解。对每个

k=1,2,\ldots,15

，区间

(2k\pi,(2k+1)\pi)

上的正半波先升到直线

\frac{x}{100}

上方，再降到其下方，因而产生两个解。在

31\pi

之后没有正数解，因为下一个正半波开始时已经超过

100

，而

|\sin x|\le1

。所以正数解有

1+2(15)=31

个，负数解同样多，再加上零本身，共有

31+31+1=63

个。

所以正确答案是 C。

The equation is odd-symmetric and has the solution

x=0.

On

(0,\pi)

there is one further positive solution. For each

k=1,2,\ldots,15,

the positive sine hump on

(2k\pi,(2k+1)\pi)

rises above

\frac{x}{100}

and then falls below it, giving two solutions. There are no positive solutions beyond

31\pi

, because the next positive hump begins above

100

while

|\sin x|\le1.

Thus there are

1+2(15)=31

positive solutions, the same number negative, and zero itself:

31+31+1=63.

Therefore, the correct answer is C.

19.

在

\triangle ABC

中，

M

是边

BC

的中点，

AN

平分

\angle BAC

，

BN\perp AN

，

\theta

是

\angle BAC

的度数。若边

AB

和

AC

的长度分别为

14

和

19

，则

MN

的长度等于

In

\triangle ABC,

M

is the midpoint of side

BC,

AN

bisects

\angle BAC,

BN\perp AN,

and

\theta

is the measure of

\angle BAC.

If sides

AB

and

AC

have lengths

14

and

19,

respectively, then length

MN

equals

2

\frac52

\frac52-\sin\theta

\frac52-\frac12\sin\theta

\frac52-\frac12\sin\left(\frac\theta2\right)

知识点：角平分线反射（几何）中点

难度评级：1860

小提示：

延长

BN

过

N

，使它与

AC

相交

Extend

BN

through

N

to meet

AC

大提示：

利用角平分线两侧的全等关系，再应用中位线定理

Use congruence across the angle bisector, then apply the midpoint theorem

解答：

延长

BN

，与

AC

相交于

E

。直角三角形

ABN

与

AEN

全等，因为它们共有

AN

，且该线平分顶点

A

处的角。因此

BE

被

N

平分，且

AE=AB=14

。由于

AC=19

，所以

EC=5

。在三角形

BEC

中，点

N

和

M

分别是

BE

和

BC

的中点，因此

MN=\frac{EC}{2}=\frac{5}{2}

。

所以正确答案是 B。

Extend

BN

to meet

AC

at

E.

The right triangles

ABN

and

AEN

are congruent because

AN

is common and bisects the angle at

A.

Hence

BE

is bisected by

N

and

AE=AB=14.

Since

AC=19,

EC=5.

In triangle

BEC,

points

N

and

M

are the midpoints of

BE

and

BC,

so

MN=\frac{EC}{2}=\frac{5}{2}.

Therefore, the correct answer is B.

20.

一束光从点

A

出发，在同一平面内传播并反射

n

次，这些反射发生在直线

AD

与

CD

之间；随后它垂直射到点

B

（该点可以在

AD

或

CD

上），再沿原路返回

A

。（如附图所示，光线在每个反射点形成两个相等的角。图中画出的是

n=3

时的光路。）若

\angle CDA=8^\circ

，则

n

的最大可能值是多少？

A ray of light originates from point

A

and travels in a plane, being reflected

n

times between lines

AD

and

CD,

before striking a point

B

(which may be on

AD

or

CD

) perpendicularly and retracing its path to

A.

(At each point of reflection the light makes two equal angles as indicated in the adjoining figure. The figure shows the light path for

n=3.

) If

\angle CDA=8^\circ,

what is the largest value

n

can have?

6

10

38

98

不存在最大值。

There is no largest value.

知识点：反射（几何）导角不等式

难度评级：1950

小提示：

追踪光线与每一条连续反射直线之间的锐角

Track the acute angle between the ray and each successive reflecting line

大提示：

每次反射都会使该角增加楔形角

8^\circ

Each reflection advances that angle by the wedge angle

8^\circ

解答：

设

\theta\gt0

为光线起初与

AD

之间的锐角。连续的外角关系表明，每次反射都会使相应的锐角增加

8^\circ

。最后垂直射到边界时，

90^\circ=\theta+(8n+8)^\circ\text{。}

因此

\theta=82^\circ-8n^\circ\gt0

，所以

n\lt\frac{82}{8}=10.25

。最大可能整数为

10

，此时

\theta=2^\circ

。

所以正确答案是 B。

Let

\theta\gt0

be the initial acute angle between the ray and

AD.

Successive exterior-angle relations increase the corresponding acute angle by

8^\circ

at each reflection. At the final perpendicular strike,

90^\circ=\theta+(8n+8)^\circ.

Thus

\theta=82^\circ-8n^\circ\gt0,

so

n\lt\frac{82}{8}=10.25.

The greatest integer possible is

10,

attained when

\theta=2^\circ.

Therefore, the correct answer is B.

21.

一个三角形的三边长为

a

、

b

、

c

，并满足

(a+b+c)(a+b-c)=3ab\text{。}

则边长为

c

的边所对角的度数为

In a triangle with sides of lengths

a,

b,

and

c,

(a+b+c)(a+b-c)=3ab.

The measure of the angle opposite the side of length

c

is

15^\circ

30^\circ

45^\circ

60^\circ

150^\circ

知识点：余弦定理平方差

难度评级：1450

小提示：

将左边展开为平方差

Expand the left side as a difference of squares

大提示：

把所得的

c^2

表达式与余弦定理比较

Compare the resulting expression for

c^2

with the law of cosines

解答：

已知条件给出

(a+b)^2-c^2=3ab

，所以

c^2=a^2+b^2-ab\text{。}

若

\theta

是边

c

所对的角，则余弦定理给出

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta

。因此

2ab\cos\theta=ab

，所以

\cos\theta=\frac{1}{2}

，且

\theta=60^\circ

。

所以正确答案是 D。

The condition gives

(a+b)^2-c^2=3ab,

so

c^2=a^2+b^2-ab.

If

\theta

is opposite

c,

the law of cosines says

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta.

Therefore

2ab\cos\theta=ab,

so

\cos\theta=\frac{1}{2}

and

\theta=60^\circ.

Therefore, the correct answer is D.

22.

在三维直角坐标系中，有多少条直线经过四个不同的形如

(i,j,k)

的点，其中

i

、

j

、

k

都是不超过四的正整数？

How many lines in a three-dimensional rectangular coordinate system pass through four distinct points of the form

(i,j,k),

where

i,

j,

and

k

are positive integers not exceeding four?

60

64

72

76

100

知识点：立体几何格点基本计数

难度评级：2040

小提示：

在这个

4

乘

4

乘

4

网格中，四个共线格点的各坐标步长必须为

0

或

\pm1

Four collinear lattice points in this

4

-by-

4

-by-

4

grid must advance by coordinate steps

0

or

\pm1

大提示：

分别数出平行于坐标轴的直线、面对角线和空间对角线

Count axis-parallel lines, face-diagonal lines, and space diagonals separately

解答：

平行于坐标轴的直线有

3\cdot4^2=48

条。对于沿面对角线的方向，先用

3

种方法选择两个变化的坐标，再选择

2

种对角线斜率之一，并用

4

种方法固定剩余坐标，共有

3\cdot2\cdot4=24

条。最后，立方体有

4

条空间对角线。因此总数为

48+24+4=76

。

所以正确答案是 D。

There are

3\cdot4^2=48

axis-parallel lines. For face-diagonal directions, choose the pair of varying coordinates in

3

ways, choose one of

2

diagonal slopes, and fix the remaining coordinate in

4

ways, giving

3\cdot2\cdot4=24.

Finally, the cube has

4

space diagonals. Thus the total is

48+24+4=76.

Therefore, the correct answer is D.

23.

等边

\triangle ABC

内接于一个圆。另一个圆在

T

处与外接圆内切，并与边

AB

和

AC

分别相切于点

P

和

Q

。若边

BC

的长度为

12

，则线段

PQ

的长度为

Equilateral

\triangle ABC

is inscribed in a circle. A second circle is tangent internally to the circumcircle at

T

and tangent to sides

AB

and

AC

at points

P

and

Q.

If side

BC

has length

12,

then segment

PQ

has length

6

6\sqrt3

8

8\sqrt3

9

知识点：等边三角形相切圆相似

难度评级：1910

小提示：

利用对称性，将两个圆心和

T

都置于从

A

引出的高上

Use symmetry to place both circle centers and

T

on the altitude from

A

大提示：

利用

30^\circ

半角（其顶点为

A

），把小圆半径与外接圆半径联系起来

Relate the smaller circle’s radius to the circumradius using the

30^\circ

half-angle at

A

解答：

等边三角形的外接圆半径为

R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3

。若小圆半径为

r

，其圆心在高上，离顶点的距离为

2r

，这个顶点是

A

，因为圆心到任一边的距离为

r

，而半角为

30^\circ

。由下端的内切关系可得

2r=2R-r

，所以

r=\frac{2R}{3}=\frac{8\sqrt3}{3}

。两边上的切点之间的距离为

PQ=r\sqrt3=8

。

所以正确答案是 C。

The circumradius of the equilateral triangle is

R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.

If the smaller radius is

r,

its center lies on the altitude and is

2r

from

A,

because its distance to either side is

r

and the half-angle is

30^\circ.

Internal tangency at the bottom gives

2r=2R-r,

so

r=\frac{2R}{3}=\frac{8\sqrt3}{3}.

The tangency points on the two sides are separated by

PQ=r\sqrt3=8.

Therefore, the correct answer is C.

24.

若常数

\theta

满足

0\lt\theta\lt\pi

，且

x+\frac1x=2\cos\theta

，则对每个正整数

n

，

x^n+\frac1{x^n}

等于

If

\theta

is a constant such that

0\lt\theta\lt\pi

and

x+\frac1x=2\cos\theta,

then for each positive integer

n,

x^n+\frac1{x^n}

equals

2\cos\theta

2^n\cos\theta

2\cos^n\theta

2\cos n\theta

2^n\cos^n\theta

知识点：复数棣莫弗定理三角恒等式

难度评级：1940

小提示：

将已知条件改写为关于

x

的二次方程

Rewrite the condition as a quadratic equation in

x

大提示：

它的两个根为

\cos\theta\pm i\sin\theta

Its two roots are

\cos\theta\pm i\sin\theta

解答：

方程为

x^2-2x\cos\theta+1=0

，其根为

e^{i\theta}

和

e^{-i\theta}

。因此

x=e^{\pm i\theta}

，且

x^{-1}=e^{\mp i\theta}

。由棣莫弗定理，

\begin{aligned} x^n+x^{-n} &=e^{in\theta}+e^{-in\theta}\\ &=2\cos n\theta \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 D。

The equation is

x^2-2x\cos\theta+1=0,

whose roots are

e^{i\theta}

and

e^{-i\theta}.

Thus

x=e^{\pm i\theta}

and

x^{-1}=e^{\mp i\theta}.

By De Moivre’s theorem,

\begin{aligned} x^n+x^{-n} &=e^{in\theta}+e^{-in\theta}\\ &=2\cos n\theta. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

25.

在附图的三角形

ABC

中，

AD

和

AE

将

\angle BAC

三等分。

BD

、

DE

、

EC

的长度分别为

2

、

3

、

6

。

\triangle ABC

的最短边长度为

In triangle

ABC

in the adjoining figure,

AD

and

AE

trisect

\angle BAC.

The lengths of

BD,

DE,

and

EC

are

2,

3,

and

6,

respectively. The length of the shortest side of

\triangle ABC

is

2\sqrt{10}

11

6\sqrt6

6

根据已知信息无法唯一确定

not uniquely determined by the given information

知识点：角平分线定理余弦定理导角

难度评级：2210

小提示：

设三个相等的角均为

\alpha

，并对适当的子三角形应用角平分线定理

Let the three equal angles be

\alpha

, and apply the angle-bisector theorem to a suitable subtriangle

大提示：

在三个相邻三角形中写出

\cos\alpha

的余弦定理表达式，并令它们相等

Equate law-of-cosines expressions for

\cos\alpha

in the three adjacent triangles

解答：

令

AB=c

、

AD=y

、

AC=b

、

AE=z

。由于

AD

平分

\angle BAE

，且

AE

平分

\angle DAC

，角平分线定理给出

\frac{c}{z}=\frac{2}{3},\qquad \frac{y}{b}=\frac{3}{6}\text{，}

所以

z=\frac{3c}{2}

，且

b=2y

。分别对三角形

ADB

、

ADE

和

AEC

应用余弦定理，并令它们共有的

\cos\alpha

值相等，得到

\begin{gathered} 3c^2-2y^2=12,\\ 9c^2-8y^2=-72 \end{gathered}\text{。}

因此

y^2=54

，且

c^2=40

。三边分别为

AB=2\sqrt{10}

、

BC=11

、

AC=2\sqrt{54}=6\sqrt6

，所以最短边为

2\sqrt{10}

。

所以正确答案是 A。

Let

AB=c,

AD=y,

AC=b,

and

AE=z.

Since

AD

bisects

\angle BAE,

and

AE

bisects

\angle DAC,

the angle-bisector theorem gives

\frac{c}{z}=\frac{2}{3},\qquad \frac{y}{b}=\frac{3}{6},

so

z=\frac{3c}{2}

and

b=2y.

Applying the law of cosines to triangles

ADB,

ADE,

and

AEC

and equating their common

\cos\alpha

values gives

\begin{gathered} 3c^2-2y^2=12,\\ 9c^2-8y^2=-72. \end{gathered}

Hence

y^2=54

and

c^2=40.

The sides are

AB=2\sqrt{10},

BC=11,

and

AC=2\sqrt{54}=6\sqrt6,

so the shortest is

2\sqrt{10}.

Therefore, the correct answer is A.

26.

爱丽丝、鲍勃和卡萝尔轮流反复掷一个骰子。爱丽丝先掷；爱丽丝之后总是轮到鲍勃；鲍勃之后总是轮到卡萝尔；卡萝尔之后总是轮到爱丽丝。求卡萝尔第一个掷出六点的概率。（每次掷出六点的概率为

\frac16

，且与其他任何一次投掷的结果相互独立。）

Alice, Bob, and Carol repeatedly take turns tossing a die. Alice begins; Bob always follows Alice; Carol always follows Bob; and Alice always follows Carol. Find the probability that Carol will be the first one to toss a six. (The probability of obtaining a six on any toss is

\frac16,

independent of the outcome of any other toss.)

\frac13

\frac29

\frac5{18}

\frac{25}{91}

\frac{36}{91}

知识点：骰子（概率）几何分布独立事件

难度评级：1680

小提示：

要让卡萝尔在某一轮获胜，爱丽丝和鲍勃必须先失败，然后卡萝尔成功

For Carol to win in a given round, Alice and Bob must fail before Carol succeeds

大提示：

如果三人都失败，则过程以相同的概率重新开始

If all three fail, the process restarts with the same probabilities

解答：

卡萝尔在第一轮获胜的概率为

(\frac{5}{6})^2(\frac{1}{6})=\frac{25}{216}

。完整一轮都没有出现六点的概率为

(\frac{5}{6})^3=\frac{125}{216}

。因此所求的等比级数为

\frac{\frac{25}{216}}{1-\frac{125}{216}} =\frac{25}{91}\text{。}

所以正确答案是 D。

Carol wins in the first round with probability

(\frac{5}{6})^2(\frac{1}{6})=\frac{25}{216}.

A complete round with no six has probability

(\frac{5}{6})^3=\frac{125}{216}.

Therefore the desired geometric series is

\frac{\frac{25}{216}}{1-\frac{125}{216}} =\frac{25}{91}.

Therefore, the correct answer is D.

27.

在附图中，三角形

ABC

内接于一个圆。点

D

位于

\overset{\frown}{AC}

上，且

\overset{\frown}{DC}=30^\circ

；点

G

位于

\overset{\frown}{BA}

上，且

\overset{\frown}{BG}\gt\overset{\frown}{GA}

。边

AB

和

AC

的长度都等于弦

DG

的长度，并且

\angle CAB=30^\circ

。弦

DG

与边

AC

和

AB

分别相交于

E

和

F

。

\triangle AFE

的面积与

\triangle ABC

的面积之比为

In the adjoining figure triangle

ABC

is inscribed in a circle. Point

D

lies on

\overset{\frown}{AC}

with

\overset{\frown}{DC}=30^\circ,

and point

G

lies on

\overset{\frown}{BA}

with

\overset{\frown}{BG}\gt\overset{\frown}{GA}.

Side

AB

and side

AC

each have length equal to the length of chord

DG,

and

\angle CAB=30^\circ.

Chord

DG

intersects sides

AC

and

AB

at

E

and

F,

respectively. The ratio of the area of

\triangle AFE

to the area of

\triangle ABC

is

\frac{2-\sqrt3}{3}

\frac{2\sqrt3-3}{3}

7\sqrt3-12

3\sqrt3-5

\frac{9-5\sqrt3}{3}

知识点：弧弦面积比

难度评级：2260

小提示：

利用等弦找出相应的等弧和等腰三角形

Use equal chords to identify the relevant equal arcs and isosceles triangles

大提示：

令

AB=AC=DG=1

，求

AE

时利用一个

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

三角形

Normalize

AB=AC=DG=1

and find

AE

from a

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

triangle

解答：

缩放使

AB=AC=DG=1

。等弦对应的弧相等，由此可知三角形

DEC

是

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

三角形，并且

AE=DE

。令

AE=DE=x

。则

CE=1-x=\frac{2x}{\sqrt3}

，所以

x=2\sqrt3-3

。等弦还给出

AF=FG=EF=\frac{1-x}{2}

。因此

\begin{aligned} \frac{[AFE]}{[ABC]} &=\frac{x(1-x)}2\\ &=7\sqrt3-12 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 C。

Scale so

AB=AC=DG=1.

The equal-chord arc relations show that triangle

DEC

is

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

and

AE=DE.

Put

AE=DE=x.

Then

CE=1-x=\frac{2x}{\sqrt3},

so

x=2\sqrt3-3.

Equal chords also give

AF=FG=EF=\frac{1-x}{2}.

Hence

\begin{aligned} \frac{[AFE]}{[ABC]} &=\frac{x(1-x)}2\\ &=7\sqrt3-12. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.

28.

考虑所有形如

x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0

的方程，其中

a_2

、

a_1

、

a_0

都是实常数，并且

|a_i|\le2

，其中

i=0

、

1

、

2

。令

r

为至少满足其中一个方程的最大正实数。则

Consider the set of all equations

x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0,

where

a_2,

a_1,

a_0

are real constants and

|a_i|\le2

for

i=0,

1,

2.

Let

r

be the largest positive real number which satisfies at least one of these equations. Then

1\le r\lt\frac32

\frac32\le r\lt2

2\le r\lt\frac52

\frac52\le r\lt3

3\le r\lt\frac72

知识点：多项式不等式极限情形界定

难度评级：2210

小提示：

对于正数

x

，要把根尽量向右推，各系数应取到其下界

For positive

x,

the coefficients that push a root farthest right take their lower bounds

大提示：

用两个相邻选项的端点夹住

x^3-2x^2-2x-2

的最大根

Bracket the largest root of

x^3-2x^2-2x-2

at two consecutive choice endpoints

解答：

将一个允许的多项式记为

g

。当

x\ge0

时，

\begin{aligned} g(x)&=x^3+a_2x^2\\ &\quad+a_1x+a_0\\ &\ge f(x) \end{aligned}\text{，}

其中

f(x)=x^3-2x^2-2x-2

。因此，任何正根都不会超过最大根

\rho

（即

f

的最大根）。取

a_2=a_1=a_0=-2

时

g=f

，所以

\rho

本身可以取到。由于

\begin{gathered} f\left(\frac52\right)=-\frac{31}{8}\lt0,\\ f(3)=1\gt0 \end{gathered}\text{，}

可得

\frac{5}{2}\lt\rho\lt3

。

所以正确答案是 D。

Write an allowed polynomial as

g.

For

x\ge0,

\begin{aligned} g(x)&=x^3+a_2x^2\\ &\quad+a_1x+a_0\\ &\ge f(x), \end{aligned}

where

f(x)=x^3-2x^2-2x-2.

Thus no positive root can exceed the largest root

\rho

of

f.

Taking

a_2=a_1=a_0=-2

gives

g=f,

so

\rho

itself is attained. Since

\begin{gathered} f\left(\frac52\right)=-\frac{31}{8}\lt0,\\ f(3)=1\gt0, \end{gathered}

we have

\frac{5}{2}\lt\rho\lt3.

Therefore, the correct answer is D.

29.

若

a\gt1

，则方程

\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x

的所有实数解之和等于

If

a\gt1,

then the sum of the real solutions of

\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x

is equal to

\sqrt a-1

\frac{\sqrt a-1}{2}

\sqrt{a-1}

\frac{\sqrt{a-1}}2

\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}

知识点：根式二次方程分类讨论

难度评级：2040

小提示：

主值平方根迫使

x\ge0

The principal square root forces

x\ge0

大提示：

平方一次后，分解一个含有

\sqrt{a+x}-x

的差

After one squaring, factor a difference involving

\sqrt{a+x}-x

解答：

由于

x\ge0

，平方一次得到

a-\sqrt{a+x}=x^2

。令

y=\sqrt{a+x}

。则

y=a-x^2

，且

a=y^2-x

，所以

0=(y+x)(y-x-1)\text{。}

由于

y+x\gt0

，可得

y=x+1

，即

\sqrt{a+x}=x+1

。因此

a+x=x^2+2x+1

，且

x^2+x+1-a=0\text{。}

唯一的非负根为

x=\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}

，并且它满足原方程。因此它也就是所有实数解之和。

所以正确答案是 E。

Since

x\ge0,

squaring once gives

a-\sqrt{a+x}=x^2.

Let

y=\sqrt{a+x}.

Then

y=a-x^2

and

a=y^2-x,

so

0=(y+x)(y-x-1).

Since

y+x\gt0,

we have

y=x+1,

or

\sqrt{a+x}=x+1.

Therefore

a+x=x^2+2x+1

and

x^2+x+1-a=0.

The only nonnegative root is

x=\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2},

and it satisfies the original equation. It is therefore also the sum of all real solutions.

Therefore, the correct answer is E.

30.

若

a

、

b

、

c

、

d

是方程

x^4-bx-3=0

的解，则一个以

\begin{gathered} \frac{a+b+c}{d^2},\quad \frac{a+b+d}{c^2},\\ \frac{a+c+d}{b^2},\quad \frac{b+c+d}{a^2} \end{gathered}

为全部解的方程是

If

a,

b,

c,

d

are the solutions of the equation

x^4-bx-3=0,

then an equation whose solutions are

\begin{gathered} \frac{a+b+c}{d^2},\quad \frac{a+b+d}{c^2},\\ \frac{a+c+d}{b^2},\quad \frac{b+c+d}{a^2} \end{gathered}

is

3x^4+bx+1=0

3x^4-bx+1=0

3x^4+bx^3-1=0

3x^4-bx^3-1=0

以上都不是

none of these

知识点：多项式韦达定理换元法

难度评级：2170

小提示：

利用缺少三次项这一点求

a+b+c+d

Use the missing cubic term to find

a+b+c+d

大提示：

所列的每个表达式都会变成一个原方程根的负倒数

Each listed expression becomes the negative reciprocal of one original root

解答：

韦达定理给出

a+b+c+d=0

。例如，

\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac1d\text{，}

类似地，新方程的根为

-\frac{1}{a}

、

-\frac{1}{b}

、

-\frac{1}{c}

、

-\frac{1}{d}

。令

x=-\frac{1}{r}

，并代入

r^4-br-3=0

。两边乘以

x^4

，得到

1+bx^3-3x^4=0

，即

3x^4-bx^3-1=0\text{。}

所以正确答案是 D。

Vieta’s formulas give

a+b+c+d=0.

Thus, for example,

\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac1d,

and similarly the new roots are

-\frac{1}{a},

-\frac{1}{b},

-\frac{1}{c},

-\frac{1}{d}.

Put

x=-\frac{1}{r}

in

r^4-br-3=0.

Multiplying by

x^4

gives

1+bx^3-3x^4=0,

or

3x^4-bx^3-1=0.

Therefore, the correct answer is D.