1985 AIME Problema 1

Question

Sea

x_1=97,

y para

n\gt1

sea

x_n=\frac{n}{x_{n-1}}.

Calcula el producto

x_1x_2\cdots x_8.

Let

x_1=97,

and for

n\gt1

let

x_n=\frac{n}{x_{n-1}}.

Calculate the product

x_1x_2\cdots x_8.

Respuesta

Multiplica términos consecutivos mediante la recurrencia

Multiply consecutive terms using the recurrence

Agrupa el producto pedido como

(x_1x_2)(x_3x_4)(x_5x_6)(x_7x_8)

Group the requested product as

(x_1x_2)(x_3x_4)(x_5x_6)(x_7x_8)

La recurrencia da

x_{n-1}x_n=n.

Por lo tanto,

\begin{aligned} x_1x_2\cdots x_8 &=(x_1x_2)(x_3x_4)\\ &\quad{}\cdot(x_5x_6)(x_7x_8)\\ &=2\cdot4\cdot6\cdot8\\ &=384. \end{aligned}

The recurrence gives

x_{n-1}x_n=n.

Therefore

\begin{aligned} x_1x_2\cdots x_8 &=(x_1x_2)(x_3x_4)\\ &\quad{}\cdot(x_5x_6)(x_7x_8)\\ &=2\cdot4\cdot6\cdot8\\ &=384. \end{aligned}

El Problema 1 en otros años