1987 AIME Problema 11

Question

Halla el mayor valor posible de

k

para el cual

3^{11}

puede expresarse como la suma de

k

enteros positivos consecutivos.

Find the largest possible

k

for which

3^{11}

is expressible as the sum of

k

consecutive positive integers.

Respuesta

Respuesta: 486

Conceptos:sucesión aritmética divisibilidad exponente

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Escribe la suma como

\frac{k(2a+k-1)}{2}

Write the sum as

\frac{k(2a+k-1)}{2}

Pista grande:

Las únicas longitudes posibles dividen a

2\cdot3^{11}

; después exige que el primer término sea positivo

The only possible lengths divide

2\cdot3^{11}

; then enforce a positive first term

Solución:

Si el primer término es

a,

entonces

2\cdot3^{11}=k(2a+k-1).

Por tanto,

k

es de la forma

3^j

o

2\cdot3^j.

La mayor opción par viable es

k=2\cdot3^5=486,

para la cual

2a+k-1=3^6=729

y

a=122>0.

Los siguientes candidatos,

3^6

y

2\cdot3^6,

obligan a que el primer término no sea positivo, al igual que todas las opciones mayores. Por tanto,

k=486.

If the first term is

a,

then

2\cdot3^{11}=k(2a+k-1).

Thus

k

is

3^j

or

2\cdot3^j.

The largest viable even choice is

k=2\cdot3^5=486,