1991 AIME Problema 12

Question

El rombo

PQRS

está inscrito en el rectángulo

ABCD

de modo que los vértices

P,

Q,

R,

y

S

son puntos interiores de los lados

\overline{AB},

\overline{BC},

\overline{CD},

y

\overline{DA},

respectivamente. Se sabe que

PB=15,

BQ=20,

PR=30,

y

QS=40.

Sea

\frac{m}{n},

en su mínima expresión, el perímetro de

ABCD.

Halla

m+n.

Rhombus

PQRS

is inscribed in rectangle

ABCD

so that vertices

P,

Q,

R,

and

S

are interior points on sides

\overline{AB},

\overline{BC},

\overline{CD},

and

\overline{DA},

respectively. It is given that

PB=15,

BQ=20,

PR=30,

and

QS=40.

Let

\frac{m}{n},

in lowest terms, denote the perimeter of

ABCD.

Find

m+n.

Respuesta

Respuesta: 677

Conceptos:rombo geometría analítica vector

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

El centro del rombo también es el centro del rectángulo, y las semidiagonales del rombo tienen longitudes

15

y

20

The center of the rhombus is also the center of the rectangle, and its half-diagonals have lengths

15

and

20

Pista grande:

Usa coordenadas para

P

y

Q

; los vectores desde el centro común hasta esos puntos son perpendiculares

Use coordinates for

P

and

Q

; their vectors from the common center are perpendicular

Solución:

Sea

w

el ancho del rectángulo y

h

su altura, con

A=(0,0)

y

B=(w,0).

Entonces

P=(w-15,0)

y

Q=(w,20).

Las diagonales del rombo se bisecan en el centro del rectángulo

O=(\frac{w}{2},\frac{h}{2}).

Define

p=\overrightarrow{OP}=(\frac{w}{2}-15,-\frac{h}{2}).

Como

OP=15,

OQ=20,

y las diagonales del rombo son perpendiculares, mientras que

\overrightarrow{PQ}=(15,20),

se tiene

\begin{aligned}|p|&=15,\\p\mathbin{\cdot}(15,20)&=-225.\end{aligned}

Al resolver estas dos ecuaciones, teniendo en cuenta que la segunda coordenada es negativa porque

h>0,

se obtiene

p=(\frac{21}{5},-\frac{72}{5}).

Por consiguiente,

\begin{aligned}w&=2\left(15+\frac{21}{5}\right)=\frac{192}{5},\\h&=\frac{144}{5}.\end{aligned}

El perímetro es

2(w+h)=\frac{672}{5},

así que

m+n=672+5=677.

Let the rectangle have width

w

and height

h,

with

A=(0,0)

and

B=(w,0).

Then

P=(w-15,0)

and

Q=(w,20).

The diagonals of the rhombus bisect each other at the rectangle’s center

O=(\frac{w}{2},\frac{h}{2}).

Put

p=\overrightarrow{OP}=(\frac{w}{2}-15,-\frac{h}{2}).

Since

OP=15,

OQ=20,

and the rhombus diagonals are perpendicular, while

\overrightarrow{PQ}=(15,20),

we have

\begin{aligned}|p|&=15,\\p\mathbin{\cdot}(15,20)&=-225.\end{aligned}

Solving these two equations, with the second coordinate negative because

h>0,

gives

p=(\frac{21}{5},-\frac{72}{5}).

Hence

\begin{aligned}w&=2\left(15+\frac{21}{5}\right)=\frac{192}{5},\\h&=\frac{144}{5}.\end{aligned}

The perimeter is

2(w+h)=\frac{672}{5},

so

m+n=672+5=677.