1995 AIME Problema 9

Question

El triángulo

ABC

es isósceles, con

AB=AC

y altura

AM=11.

Supón que hay un punto

D

sobre

\overline{AM}

con

AD=10

y

\angle BDC=3\angle BAC.

Entonces el perímetro de

\triangle ABC

puede escribirse en la forma

a+\sqrt b,

donde

a

y

b

son enteros. Halla

a+b.

Triangle

ABC

is isosceles, with

AB=AC

and altitude

AM=11.

Suppose that there is a point

D

on

\overline{AM}

with

AD=10

and

\angle BDC=3\angle BAC.

Then the perimeter of

\triangle ABC

may be written in the form

a+\sqrt b,

where

a

and

b

are integers. Find

a+b.

Respuesta

Respuesta: 616

Conceptos:identidad trigonométrica triángulo isósceles trigonometría

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Sea

BM=x

y sea

\alpha

la mitad del ángulo del vértice

Let

BM=x

and let half the apex angle be

\alpha

Pista grande:

Usa

\tan\alpha=\frac{x}{11},

DM=1,

y la fórmula del ángulo triple para la tangente

Use

\tan\alpha=\frac{x}{11},

DM=1,

and the triple-angle formula for tangent

Solución:

Sean

BM=x

y

\alpha=\angle BAM,

de modo que

\tan\alpha=\frac{x}{11}.

Como

DM=AM-AD=1,

la simetría da

\angle BDC=2\arctan x,

mientras que

\angle BAC=2\alpha.

Por tanto,

\arctan x=3\alpha.

Sea

t=\tan\alpha=\frac{x}{11}.

Entonces

\frac{3t-t^3}{1-3t^2}=11t,

por lo que

t^2=\frac{1}{4}

y

x=\frac{11}{2}.

Así,

BC=11

y

AB=\frac{11\sqrt5}{2},

con lo cual el perímetro es

11+11\sqrt5=11+\sqrt{605}.

Por consiguiente,

a+b=11+605=616.

Let

BM=x

and

\alpha=\angle BAM,

so

\tan\alpha=\frac{x}{11}.

Because

DM=AM-AD=1,

symmetry gives

\angle BDC=2\arctan x,

while

\angle BAC=2\alpha.

Hence

\arctan x=3\alpha.

Put

t=\tan\alpha=\frac{x}{11}.

Then

\frac{3t-t^3}{1-3t^2}=11t,

so

t^2=\frac{1}{4}

and

x=\frac{11}{2}.

Thus

BC=11

and

AB=\frac{11\sqrt5}{2},

making the perimeter

11+11\sqrt5=11+\sqrt{605}.

Therefore

a+b=11+605=616.