Question

¿Cuántos enteros positivos que no excedan $2001$ son múltiplos de $3$ o $4$ pero no de $5$ ?

How many positive integers not exceeding $2001$ are multiples of $3$ or $4$ but not $5?$

$768$

$801$

$934$

$1067$

$1167$

Respuesta: B

Conceptos:inclusión-exclusión conteo de enteros en un rango múltiplo

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Cuenta los múltiplos de $3$ o $4,$ luego elimina los que también son múltiplos de $5$ .

Count the multiples of $3$ or $4,$ then remove those that are also multiples of $5$

Pista grande:

Usa inclusión-exclusión con los múltiplos de $3,$ $4,$ $12$ y luego $15,$ $20,$ $60$ .

Use inclusion-exclusion with multiples of $3,$ $4,$ $12$ and then $15,$ $20,$ $60$

Solución:

Múltiplos de $3$ o $4$ hasta $2001:$ $\left\lfloor\tfrac{2001}{3}\right\rfloor$ $+\left\lfloor\tfrac{2001}{4}\right\rfloor$ $-\left\lfloor\tfrac{2001}{12}\right\rfloor$ $=667+500-166$ $=1001.$

Entre estos, elimina los múltiplos de $5:$ hay $133$ múltiplos de $15$ y $100$ múltiplos de $20,$ volviendo a sumar los $33$ múltiplos de $60:$ $133+100-33=200.$

Así que el conteo es $1001-200=801.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Multiples of $3$ or $4$ up to $2001:$ $\left\lfloor\tfrac{2001}{3}\right\rfloor$ $+\left\lfloor\tfrac{2001}{4}\right\rfloor$ $-\left\lfloor\tfrac{2001}{12}\right\rfloor$ $=667+500-166$ $=1001.$

Among these, remove the multiples of $5:$ there are $133$ multiples of $15$ and $100$ multiples of $20,$ re-adding the $33$ multiples of $60:$ $133+100-33=200.$

So the count is $1001-200=801.$ Thus, the correct answer is B.

2001 AMC 10 Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años