Question

Dado que $3^8 \cdot 5^2 = a^b,$ donde tanto $a$ como $b$ son enteros positivos, halla el menor valor posible de $a+b.$

Given that $3^8 \cdot 5^2 = a^b,$ where both $a$ and $b$ are positive integers, find the smallest possible value for $a+b.$

$25$

$34$

$351$

$407$

$900$

Respuesta: D

Conceptos:factorización en primos potencia perfecta optimización

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Como $5^2$ divide al número pero $5^3$ no, $b$ puede ser a lo sumo $2$ .

Since $5^2$ but not $5^3$ divides the number, $b$ can be at most $2$

Pista grande:

Cuanto mayor es $b,$ menor es $a$ ; prueba $b=2$ y escribe el número como un cuadrado perfecto.

The larger $b$ is, the smaller $a$ becomes; try $b=2$ and write the number as a perfect square

Solución:

Como $a$ debe ser divisible por $5,$ y $3^8 \cdot 5^2$ es divisible por $5^2$ pero no por $5^3,$ necesitamos $b\le 2.$

Tomando $b=2$ se obtiene $a=\sqrt{3^8 \cdot 5^2}=3^4 \cdot 5=405,$ así que $a+b=407.$ Este valor es menor que el obtenido con $b=1,$ que da $a+b=164{,}026.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $a$ must be divisible by $5,$ and $3^8 \cdot 5^2$ is divisible by $5^2$ but not $5^3,$ we need $b\le 2.$

Taking $b=2$ gives $a=\sqrt{3^8 \cdot 5^2}=3^4 \cdot 5=405,$ so $a+b=407.$ This beats $b=1,$ which gives $a+b=164{,}026.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 10B Problema 14

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años