Question

¿Cuántos números de tres cifras cumplen la propiedad de que la cifra del medio es el promedio de la primera y la última cifra?

How many three-digit numbers satisfy the property that the middle digit is the average of the first and the last digits?

$41$

$42$

$43$

$44$

$45$

Respuesta: E

Conceptos:dígitos paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

La cifra del medio es un entero solo cuando la primera y la última cifra tienen la misma paridad.

The middle digit is an integer only when the first and last digits share the same parity

Pista grande:

Cuenta los pares de primera y última cifra que son ambos impares o ambos pares, recordando que la primera cifra no puede ser $0$ .

Count first-and-last digit pairs that are both odd or both even, remembering the first digit cannot be $0$

Solución:

La primera y la última cifra deben tener la misma paridad para que su promedio sea una cifra. Ambas impares da $5 \cdot 5 = 25$ pares. Ambas pares, con una cifra inicial distinta de cero, da $4 \cdot 5 = 20$ pares. Cada par fija la cifra del medio, para un total de $25 + 20 = 45$ números.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The first and last digits must have the same parity so their average is a digit. Both odd gives $5 \cdot 5 = 25$ pairs. Both even, with a nonzero leading digit, gives $4 \cdot 5 = 20$ pairs. Each pair fixes the middle digit, for a total of $25 + 20 = 45$ numbers.

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 10A Problema 14

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años