Question

Un insecto parte de un vértice de un cubo y se mueve a lo largo de las aristas del cubo según la siguiente regla. En cada vértice el insecto elige recorrer una de las tres aristas que salen de ese vértice. Cada arista tiene la misma probabilidad de ser elegida, y todas las elecciones son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que después de siete movimientos el insecto haya visitado cada vértice exactamente una vez?

A bug starts at one vertex of a cube and moves along the edges of the cube according to the following rule. At each vertex the bug will choose to travel along one of the three edges emanating from that vertex. Each edge has equal probability of being chosen, and all choices are independent. What is the probability that after seven moves the bug will have visited every vertex exactly once?

$\dfrac{1}{2187}$

$\dfrac{1}{729}$

$\dfrac{2}{243}$

$\dfrac{1}{81}$

$\dfrac{5}{243}$

Respuesta: C

Conceptos:teoría de grafos probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

El insecto debe trazar un camino que visite los $8$ vértices, es decir $7$ movimientos sin repetir vértices.

The bug must trace a path visiting all $8$ vertices, i.e. $7$ moves with no repeated vertices

Pista grande:

Cuenta esos caminos desde el inicio; hay $3^7$ recorridos igualmente probables.

Count such paths from the start; there are $3^7$ equally likely walks

Solución:

Después de $7$ movimientos hay $3^7 = 2187$ recorridos igualmente probables. Un recorrido exitoso visita cada vértice exactamente una vez.

Etiqueta los vértices del cubo con ternas binarias, de modo que los vértices adyacentes difieran en una coordenada. Desde el inicio hay $3$ opciones para el primer movimiento y $2$ para el segundo si el insecto no regresa al punto de partida. Por simetría, podemos fijar estos primeros movimientos como $000\to100\to110.$

Las continuaciones exitosas son exactamente $\begin{aligned} 110&\to111\to101\\ &\to001\to011\to010, \end{aligned}$ $\begin{aligned} 110&\to010\to011\\ &\to001\to101\to111, \end{aligned}$ y $\begin{aligned} 110&\to010\to011\\ &\to111\to101\to001. \end{aligned}$ Por lo tanto, cada par permitido de primeros movimientos tiene $3$ continuaciones exitosas, lo que da $3\cdot2\cdot3=18$ recorridos exitosos.

La probabilidad es $\frac{18}{2187} = \frac{2}{243}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

After $7$ moves there are $3^7 = 2187$ equally likely walks. A successful walk visits every vertex exactly once.

Label the cube’s vertices by binary triples, with adjacent vertices differing in one coordinate. There are $3$ choices for the first move and $2$ for the second move if the bug is not to return to its starting point. By symmetry, fix these first moves as $000\to100\to110.$

The successful continuations are exactly $\begin{aligned} 110&\to111\to101\\ &\to001\to011\to010, \end{aligned}$ $\begin{aligned} 110&\to010\to011\\ &\to001\to101\to111, \end{aligned}$ and $\begin{aligned} 110&\to010\to011\\ &\to111\to101\to001. \end{aligned}$ Thus each allowed pair of first moves has $3$ successful continuations, giving $3\cdot2\cdot3=18$ successful walks.

The probability is $\frac{18}{2187} = \frac{2}{243}.$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 10A Problema 25

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años