Question

Sea $a \gt 0,$ y sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $\begin{aligned} P(1) &= P(3) \\ &= P(5) = P(7) = a, \end{aligned}$ y $\begin{aligned} P(2)&=P(4)=P(6)\\ &=P(8)=-a. \end{aligned}$ ¿Cuál es el menor valor posible de $a$ ?

Let $a \gt 0,$ and let $P(x)$ be a polynomial with integer coefficients such that $\begin{aligned} P(1) &= P(3) \\ &= P(5) = P(7) = a, \end{aligned}$ and $\begin{aligned} P(2)&=P(4)=P(6)\\ &=P(8)=-a. \end{aligned}$ What is the smallest possible value of $a?$

$105$

$315$

$945$

$7!$

$8!$

Respuesta: B

Conceptos:polinomio divisibilidad mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Usa las raíces de $P(x)-a$ .

Use the roots of $P(x)-a$

Pista grande:

Sustituye $2,$ $4,$ $6,$ y $8$ en la forma factorizada para forzar la divisibilidad de $a$ .

Plug $2,$ $4,$ $6,$ and $8$ into the factored form to force divisibility of $a$

Solución:

Como $1,$ $3,$ $5,$ y $7$ son raíces de $P(x)-a$ , escribe $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ , donde $Q(x)$ tiene coeficientes enteros.

Sustituyendo $2,$ $4,$ $6,$ y $8$ por $x$ , obtenemos $-2a=-15Q(2)$ $=9Q(4)$ $=-15Q(6)$ $=105Q(8)$ . Por lo tanto, $a$ debe ser un múltiplo de $\operatorname{lcm}(15,9,105)=315$ .

Esta cota inferior es alcanzable: toma $Q(x)=42$ $+(x-2)(x-6)(60-8x)$ y define $P(x)=315$ $+(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ . Este polinomio tiene coeficientes enteros y satisface los valores requeridos.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Because $1,$ $3,$ $5,$ and $7$ are roots of $P(x)-a$ , write $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ , where $Q(x)$ has integer coefficients.

Substituting $2,$ $4,$ $6,$ and $8$ for $x$ gives $-2a=-15Q(2)$ $=9Q(4)$ $=-15Q(6)$ $=105Q(8)$ . Hence $a$ must be a multiple of $\operatorname{lcm}(15,9,105)=315$ .

This lower bound is attainable: take $Q(x)=42$ $+(x-2)(x-6)(60-8x)$ and define $P(x)=315$ $+(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ . This polynomial has integer coefficients and satisfies the required values.

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años