Question

Una operación binaria $\diamondsuit$ tiene las propiedades de que $a\,\diamondsuit\, (b\,\diamondsuit \,c) = (a\,\diamondsuit \,b)\cdot c$ y de que $a\,\diamondsuit \,a=1$ para todos los números reales no nulos $a,$ $b,$ y $c.$ (Aquí el punto $\cdot$ representa la operación de multiplicación usual.) La solución de la ecuación $2016 \,\diamondsuit\, (6\,\diamondsuit\, x)=100$ se puede escribir como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $p+q$ ?

A binary operation $\diamondsuit$ has the properties that $a\,\diamondsuit\, (b\,\diamondsuit \,c) = (a\,\diamondsuit \,b)\cdot c$ and that $a\,\diamondsuit \,a=1$ for all nonzero real numbers $a,$ $b,$ and $c.$ (Here the dot $\cdot$ represents the usual multiplication operation.) The solution to the equation $2016 \,\diamondsuit\, (6\,\diamondsuit\, x)=100$ can be written as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p+q?$

$109$

$201$

$301$

$3049$

$33{,}601$

Respuesta: A

Conceptos:operación personalizada ecuación funcional

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Primero demuestra que $a\diamondsuit b=\frac{a}{b}$ .

First prove $a\diamondsuit b=\frac{a}{b}$

Pista grande:

Luego calcula $2016\diamondsuit(6\diamondsuit x)$ .

Then compute $2016\diamondsuit(6\diamondsuit x)$

Solución:

Como $a\diamondsuit a=1$ , sustituir $b=c$ en $a\diamondsuit(b\diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)c$ da $a\diamondsuit1=(a\diamondsuit b)b$ . Además, usando $a\diamondsuit(a\diamondsuit a)=(a\diamondsuit a)a$ obtenemos $a\diamondsuit1=a$ . Por lo tanto $a\diamondsuit b=\frac ab$ .

Así, la ecuación se convierte en $\begin{aligned} 2016\diamondsuit(6\diamondsuit x) &= 2016\diamondsuit\frac6x \\ &= \frac{2016}{\frac{6}{x}} \\ &= 336x \\ &= 100. \end{aligned}$ Así que $x=\frac{25}{84}$ , $p+q=25+84=109$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $a\diamondsuit a=1$ , substituting $b=c$ in $a\diamondsuit(b\diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)c$ gives $a\diamondsuit1=(a\diamondsuit b)b$ . Also, using $a\diamondsuit(a\diamondsuit a)=(a\diamondsuit a)a$ gives $a\diamondsuit1=a$ . Therefore $a\diamondsuit b=\frac ab$ .

The equation becomes $\begin{aligned} 2016\diamondsuit(6\diamondsuit x) &= 2016\diamondsuit\frac6x \\ &= \frac{2016}{\frac{6}{x}} \\ &= 336x \\ &= 100. \end{aligned}$ Thus $x=\frac{25}{84}$ , so $p+q=25+84=109$ .

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 10A Problema 23

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años