Question

Cuando se lanzan $7$ dados justos estándar de $6$ caras, la probabilidad de que la suma de los números en las caras superiores sea $10$ puede escribirse como $\dfrac{n}{6^{7}},$ donde $n$ es un entero positivo. ¿Cuál es $n$ ?

When $7$ fair standard $6$ -sided dice are thrown, the probability that the sum of the numbers on the top faces is $10$ can be written as $\dfrac{n}{6^{7}},$ where $n$ is a positive integer. What is $n?$

$42$

$49$

$56$

$63$

$84$

Respuesta: E

Conceptos:dados (probabilidad)estrellas y barras

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Enumera las formas no ordenadas en que siete resultados positivos de dados pueden sumar $10$ .

List the unordered ways seven positive die rolls can sum to $10$

Pista grande:

Cuenta los ordenamientos de cada patrón enumerado.

Count the orderings for each listed pattern

Solución:

Podemos usar estrellas y barras para hallar $n.$ Es lo mismo que contar el número de formas de poner $10$ bolas en $7$ cajas, donde cada caja tiene al menos una bola.

La fórmula para este caso es $\binom{n - 1}{k - 1},$ donde $n$ es el número de bolas y $k$ es el número de cajas.

Ningún dado puede pasar de $4$ en una suma de $10$ con siete lanzamientos positivos, así que la cota superior de $6$ no impone ninguna restricción adicional. Por lo tanto, la respuesta buscada es $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = 84.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can use stars and bars to find $n.$ It is the same as finding the number of ways to put $10$ balls into $7$ boxes, where each box has at least one ball.

The formula for such a scenario is $\binom{n - 1}{k - 1},$ where $n$ is the number of balls and $k$ is the number of boxes.

No die can exceed $4$ in a sum of $10$ from seven positive rolls, so the upper bound of $6$ creates no additional restriction. The desired answer is therefore $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = 84.$

Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 11

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años