Question

Sean $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ enteros positivos tales que $\gcd(a, b)=24,$ $\gcd(b, c)=36,$ $\gcd(c, d)=54,$ y $70 < \gcd(d, a) < 100.$ ¿Cuál de las siguientes opciones debe ser un divisor de $a$ ?

Let $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ be positive integers such that $\gcd(a, b)=24,$ $\gcd(b, c)=36,$ $\gcd(c, d)=54,$ and $70 < \gcd(d, a) < 100.$ Which of the following must be a divisor of $a?$

$5$

$7$

$11$

$13$

$17$

Respuesta: D

Conceptos:máximo común divisor factorización en primos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Rastrea las potencias forzadas de $2$ y $3$ en los máximos comunes divisores.

Track the forced powers of $2$ and $3$ in the gcds

Pista grande:

El factor restante de $\gcd(d,a)$ debe estar entre $12$ y $17$ .

The remaining factor of $\gcd(d,a)$ must lie between $12$ and $17$

Solución:

De $\gcd(a,b)=24=2^3\cdot3$ y $\gcd(b,c)=36=2^2\cdot3^2$ , el número $a$ es divisible por $2^3\cdot3$ pero no por $3^2$ .

De $\gcd(b,c)=36$ y $\gcd(c,d)=54=2\cdot3^3$ , el número $d$ es divisible por $2\cdot3^3$ pero no por $2^2$ . Por lo tanto $\gcd(d,a)=2\cdot3\cdot n$ , donde $n$ no tiene factor $2$ ni $3$ .

Como $70<6n<100,$ el entero $n$ cumple $12\le n\le16.$ El único valor en ese rango sin factor $2$ ni $3$ es $13,$ así que $13$ debe dividir a $a.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

From $\gcd(a,b)=24=2^3\cdot3$ and $\gcd(b,c)=36=2^2\cdot3^2$ , the number $a$ is divisible by $2^3\cdot3$ but not by $3^2$ .

From $\gcd(b,c)=36$ and $\gcd(c,d)=54=2\cdot3^3$ , the number $d$ is divisible by $2\cdot3^3$ but not by $2^2$ . Therefore $\gcd(d,a)=2\cdot3\cdot n$ , where $n$ has no factor $2$ or $3$ .

Since $70<6n<100,$ the integer $n$ satisfies $12\le n\le16.$ The only value in this range with no factor $2$ or $3$ is $13,$ so $13$ must divide $a.$ Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 22

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años