2018 AMC 10B — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Kate hornea una bandeja de pan de maíz de $20$ pulgadas por $18$ pulgadas. El pan de maíz se corta en piezas que miden $2$ pulgadas por $2$ pulgadas. ¿Cuántas piezas de pan de maíz contiene la bandeja?

Kate bakes a $20$ -inch by $18$ -inch pan of cornbread. The cornbread is cut into pieces that measure $2$ inches by $2$ inches. How many pieces of cornbread does the pan contain?

$90$

$100$

$180$

$200$

$360$

Respuesta: A

Conceptos:área rectángulo

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

La bandeja y cada pieza son rectángulos; compara sus áreas.

The pan and each piece are rectangles; compare their areas

Pista grande:

Divide el área total entre el área de una pieza de $2 \times 2$ .

Divide the total area by the area of one $2 \times 2$ piece

Solución:

Toda la bandeja tiene un área de $20 \times 18 = 360$ pulgadas cuadradas. Cada pieza es de $2 \times 2 = 4$ pulgadas cuadradas. Así, el número de piezas es $\frac{360}{4} = 90.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The whole pan has area $20 \times 18 = 360$ square inches. Each piece is $2 \times 2 = 4$ square inches. So the number of pieces is $\frac{360}{4} = 90.$ Thus, A is the correct answer.

2.

Sam condujo $96$ millas en $90$ minutos. Su velocidad promedio durante los primeros $30$ minutos fue de $60$ mph (millas por hora), y su velocidad promedio durante los segundos $30$ minutos fue de $65$ mph. ¿Cuál fue su velocidad promedio, en mph, durante los últimos $30$ minutos?

Sam drove $96$ miles in $90$ minutes. His average speed during the first $30$ minutes was $60$ mph (miles per hour), and his average speed during the second $30$ minutes was $65$ mph. What was his average speed, in mph, during the last $30$ minutes?

$64$

$65$

$66$

$67$

$68$

Respuesta: D

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Distancia = velocidad $\times$ tiempo, y cada tramo de $30$ minutos es media hora.

Distance = rate $\times$ time, and each $30$ -minute leg is half an hour

Pista grande:

Resta de $96$ la distancia recorrida en la primera hora para obtener la distancia del último tramo.

Subtract the distance covered in the first hour from $96$ to get the last leg’s distance

Solución:

Cada tramo dura media hora. En el primero, Sam condujo $60 \cdot \tfrac12 = 30$ millas; en el segundo, $65 \cdot \tfrac12 = 32.5$ millas. Eso da $62.5$ millas hasta ahora. Quedan $96 - 62.5 = 33.5$ millas para la última media hora, lo que corresponde a una velocidad de $\frac{33.5}{\tfrac12} = 67$ mph. Por lo tanto, la respuesta es D.

Each leg is half an hour. In the first, Sam drove $60 \cdot \tfrac12 = 30$ miles; in the second, $65 \cdot \tfrac12 = 32.5$ miles. That’s $62.5$ miles so far. That leaves $96 - 62.5 = 33.5$ miles for the last half hour, which is a speed of $\frac{33.5}{\tfrac12} = 67$ mph. Therefore, the answer is D.

3.

En la expresión $(\underline{\phantom{x}} \times \underline{\phantom{x}}) + (\underline{\phantom{x}} \times \underline{\phantom{x}})$ cada espacio en blanco debe llenarse con uno de los dígitos $1,$ $2,$ $3,$ o $4,$ usando cada dígito una sola vez. ¿Cuántos valores diferentes se pueden obtener?

In the expression $(\underline{\phantom{x}} \times \underline{\phantom{x}}) + (\underline{\phantom{x}} \times \underline{\phantom{x}})$ each blank is to be filled in with one of the digits $1,$ $2,$ $3,$ or $4,$ with each digit being used once. How many different values can be obtained?

$2$

$3$

$4$

$6$

$24$

Respuesta: B

Conceptos:conteo básico enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 950

Pista pequeña:

Ni la multiplicación ni la suma final dependen del orden, así que solo importa cómo se dividen los cuatro dígitos en dos pares.

Neither multiplication nor the final addition depends on order, so only the way the four digits are split into two pairs matters

Pista grande:

Enumera las tres maneras de dividir $\{1,2,3,4\}$ en dos pares.

List the three ways to split $\{1,2,3,4\}$ into two pairs

Solución:

El orden dentro de un producto no importa, y tampoco importa el orden en que sumamos los dos productos. Así que lo único que importa es cómo se dividen los cuatro dígitos en dos pares. Hay tres divisiones: $1\cdot2 + 3\cdot4 = 14,$ $1\cdot3 + 2\cdot4 = 11,$ y $1\cdot4 + 2\cdot3 = 10.$ Eso da $3$ valores diferentes. Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Order inside a product doesn’t matter, and neither does the order we add the two products. So all that matters is how the four digits split into two pairs. There are three splits: $1\cdot2 + 3\cdot4 = 14,$ $1\cdot3 + 2\cdot4 = 11,$ and $1\cdot4 + 2\cdot3 = 10.$ That’s $3$ different values. Thus, B is the correct answer.

4.

Una caja rectangular tridimensional con dimensiones $X,$ $Y,$ y $Z$ tiene caras cuyas áreas superficiales son $24,$ $24,$ $48,$ $48,$ $72,$ y $72$ unidades cuadradas. ¿Cuánto vale $X + Y + Z$ ?

A three-dimensional rectangular box with dimensions $X,$ $Y,$ and $Z$ has faces whose surface areas are $24,$ $24,$ $48,$ $48,$ $72,$ and $72$ square units. What is $X + Y + Z?$

$18$

$22$

$24$

$30$

$36$

Respuesta: B

Conceptos:prisma rectangular área de superficie sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Las tres áreas de cara distintas son los productos por pares $XY, XZ, YZ,$ iguales a $24, 48, 72$ .

The three distinct face areas are the pairwise products $XY, XZ, YZ,$ equal to $24, 48, 72$

Pista grande:

Multiplicar los tres da $(XYZ)^2;$ toma la raíz cuadrada y luego divide entre cada área de cara.

Multiplying all three gives $(XYZ)^2;$ take the square root, then divide by each face area

Solución:

Las tres áreas de cara distintas son los productos por pares $XY = 24,$ $XZ = 48,$ $YZ = 72$ en algún orden. Multiplica los tres: $(XYZ)^2 = 24 \cdot 48 \cdot 72 = 82944,$ así que $XYZ = 288.$ Ahora divide entre cada área de cara. Obtenemos $Z = \frac{288}{24} = 12,$ $Y = \frac{288}{48} = 6,$ y $X = \frac{288}{72} = 4,$ de modo que $X + Y + Z = 22.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

The three distinct face areas are the pairwise products $XY = 24,$ $XZ = 48,$ $YZ = 72$ in some order. Multiply all three: $(XYZ)^2 = 24 \cdot 48 \cdot 72 = 82944,$ so $XYZ = 288.$ Now divide by each face area. We get $Z = \frac{288}{24} = 12,$ $Y = \frac{288}{48} = 6,$ and $X = \frac{288}{72} = 4,$ so $X + Y + Z = 22.$ Therefore, the answer is B.

5.

¿Cuántos subconjuntos de $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ contienen al menos un número primo?

How many subsets of $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ contain at least one prime number?

$128$

$192$

$224$

$240$

$256$

Respuesta: D

Conceptos:subconjuntos conteo complementario primo

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Cuenta los subconjuntos sin ningún primo y réstalos del número total de subconjuntos.

Count the subsets with no prime and subtract from the total number of subsets

Pista grande:

Los elementos que no son primos son $4, 6, 8, 9;$ cualquier subconjunto formado solo por ellos no contiene ningún primo.

The non-prime elements are $4, 6, 8, 9;$ any subset of just those contains no prime

Solución:

Cuenta el complemento. El conjunto tiene $2^8 = 256$ subconjuntos en total. Un subconjunto evita todos los primos exactamente cuando se limita a los no primos $\{4, 6, 8, 9\},$ y hay $2^4 = 16$ de esos. Así, $256 - 16 = 240$ subconjuntos contienen al menos un primo. Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Count the complement. The set has $2^8 = 256$ subsets total. A subset avoids every prime exactly when it sticks to the non-primes $\{4, 6, 8, 9\},$ and there are $2^4 = 16$ of those. So $256 - 16 = 240$ subsets contain at least one prime. Thus, D is the correct answer.

6.

Una caja contiene $5$ fichas, numeradas $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ y $5.$ Se extraen fichas al azar una a la vez sin reemplazo hasta que la suma de los valores extraídos supere $4.$ ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten $3$ extracciones?

A box contains $5$ chips, numbered $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $5.$ Chips are drawn randomly one at a time without replacement until the sum of the values drawn exceeds $4.$ What is the probability that $3$ draws are required?

$\dfrac{1}{15}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

Respuesta: D

Conceptos:muestreo sin reemplazo probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Se necesita una tercera extracción exactamente cuando las dos primeras fichas siguen sumando a lo sumo $4$ .

A third draw is needed exactly when the first two chips still sum to at most $4$

Pista grande:

¿Qué pares de fichas distintas suman $4$ o menos? Cuéntalos entre todos los resultados ordenados de las dos primeras extracciones.

Which pairs of distinct chips sum to $4$ or less? Count them among all ordered first-two-draw outcomes

Solución:

Necesitamos una tercera extracción exactamente cuando las dos primeras fichas todavía suman $4$ o menos. Los únicos pares no ordenados así son $\{1,2\}$ y $\{1,3\}.$ Cada uno puede extraerse en cualquiera de los dos órdenes, lo que da $4$ prefijos ordenados favorables.

Imagina que de antemano se fija un orden aleatorio completo de las cinco fichas. Entonces los $5\cdot4=20$ prefijos ordenados de dos fichas son igualmente probables, incluso cuando el proceso real se detendría después de la primera ficha. Así, la probabilidad es $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

We need a third draw exactly when the first two chips still sum to $4$ or less. The only such unordered pairs are $\{1,2\}$ and $\{1,3\}.$ Each can be drawn in either order, giving $4$ favorable ordered prefixes.

Imagine that a complete random ordering of all five chips is chosen in advance. Then all $5\cdot4=20$ ordered first-two-chip prefixes are equally likely, even when the actual process would stop after the first chip. Thus the probability is $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}.$ Therefore, the answer is D.

7.

En la figura de abajo, se dibujan $N$ semicírculos congruentes a lo largo de un diámetro de un semicírculo grande, con sus diámetros cubriendo el diámetro del semicírculo grande sin superposición. Sea $A$ el área combinada de los semicírculos pequeños y $B$ el área de la región dentro del semicírculo grande pero fuera de los semicírculos pequeños. La razón $A : B$ es $1 : 18.$ ¿Cuánto vale $N$ ?

In the figure below, $N$ congruent semicircles are drawn along a diameter of a large semicircle, with their diameters covering the diameter of the large semicircle with no overlap. Let $A$ be the combined area of the small semicircles and $B$ be the area of the region inside the large semicircle but outside the small semicircles. The ratio $A : B$ is $1 : 18.$ What is $N?$

$16$

$17$

$18$

$19$

$36$

Respuesta: D

Conceptos:área del círculo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Si cada semicírculo pequeño tiene radio $r,$ el semicírculo grande tiene radio $Nr$ .

If each small semicircle has radius $r,$ the large semicircle has radius $Nr$

Pista grande:

Demuestra que $A : B = 1 : (N-1),$ y luego iguálalo a $1 : 18$ .

Show $A : B = 1 : (N-1),$ then set this equal to $1 : 18$

Solución:

Sea el radio de cada semicírculo pequeño igual a $r.$ Los $N$ diámetros cubren el diámetro grande, así que el radio grande es $Nr.$ Entonces $A = N \cdot \tfrac12 \pi r^2,$ y el semicírculo grande tiene área $\tfrac12 \pi (Nr)^2,$ por lo que la región restante es $B = \tfrac12 \pi r^2(N^2 - N).$ Esto da $A : B = N : N(N-1)$ $= 1 : (N-1).$ Pon $N - 1 = 18,$ y $N = 19.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let each small semicircle have radius $r.$ The $N$ diameters cover the big diameter, so the large radius is $Nr.$ Then $A = N \cdot \tfrac12 \pi r^2,$ and the large semicircle has area $\tfrac12 \pi (Nr)^2,$ so the leftover region is $B = \tfrac12 \pi r^2(N^2 - N).$ This gives $A : B = N : N(N-1)$ $= 1 : (N-1).$ Set $N - 1 = 18,$ and $N = 19.$ Thus, D is the correct answer.

8.

Sara construye una escalera con palillos, como se muestra:

Esta es una escalera de $3$ escalones y usa $18$ palillos. ¿Cuántos escalones tendría una escalera que usara $180$ palillos?

Sara makes a staircase out of toothpicks as shown:

This is a $3$ -step staircase and uses $18$ toothpicks. How many steps would be in a staircase that used $180$ toothpicks?

$10$

$11$

$12$

$24$

$30$

Respuesta: C

Conceptos:cuadrática sumatoria reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Cuenta los palillos en una escalera de $n$ escalones; los verticales suman $(1 + 2 + \cdots + n) + n$ .

Count the toothpicks in an $n$ -step staircase; the vertical ones number $(1 + 2 + \cdots + n) + n$

Pista grande:

Como hay igual número de horizontales y verticales, el total es $n(n+3);$ resuelve $n(n+3) = 180$ .

With equal horizontal and vertical counts the total is $n(n+3);$ solve $n(n+3) = 180$

Solución:

En una escalera de $n$ escalones, los palillos verticales suman $(1 + 2 + \cdots + n) + n$ $= \tfrac{n(n+1)}{2} + n,$ y hay otros tantos horizontales. Eso da un total de $n(n+1) + 2n = n(n+3).$ Comprobación: $n = 3$ da $18,$ como debe ser. Ahora resuelve $n(n+3) = 180.$ Esto se factoriza como $(n-12)(n+15) = 0,$ así que $n = 12.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

In an $n$ -step staircase the vertical toothpicks number $(1 + 2 + \cdots + n) + n$ $= \tfrac{n(n+1)}{2} + n,$ and there are just as many horizontal ones. That’s a total of $n(n+1) + 2n = n(n+3).$ Check: $n = 3$ gives $18,$ as it should. Now solve $n(n+3) = 180.$ This factors as $(n-12)(n+15) = 0,$ so $n = 12.$ Therefore, the answer is C.

9.

Las caras de cada uno de $7$ dados estándar están etiquetadas con los enteros del $1$ al $6.$ Sea $p$ la probabilidad de que, al lanzar los $7$ dados, la suma de los números de las caras superiores sea $10.$ ¿Qué otra suma ocurre con la misma probabilidad $p$ ?

The faces of each of $7$ standard dice are labeled with the integers from $1$ to $6.$ Let $p$ be the probability that when all $7$ dice are rolled, the sum of the numbers on the top faces is $10.$ What other sum occurs with the same probability $p?$

$13$

$26$

$32$

$39$

$42$

Respuesta: D

Conceptos:dados (probabilidad)biyección simetría

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Reemplazar cada valor $k$ de un dado por $7 - k$ empareja resultados igualmente probables.

Replacing each die value $k$ by $7 - k$ pairs up equally likely outcomes

Pista grande:

Este reemplazo convierte un total de $s$ en un total de $49 - s$ .

This replacement sends a total of $s$ to a total of $49 - s$

Solución:

Reemplaza el valor $k$ de cada dado por $7 - k.$ Esto empareja los resultados uno a uno y conserva sus probabilidades, y convierte un total de $s$ en $7 \cdot 7 - s = 49 - s.$ Así, las sumas $s$ y $49 - s$ son igualmente probables. La pareja de $10$ es $49 - 10 = 39.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Replace each die’s value $k$ by $7 - k.$ This pairs up outcomes one-to-one and keeps their probabilities, and it sends a total of $s$ to $7 \cdot 7 - s = 49 - s.$ So the sums $s$ and $49 - s$ are equally likely. The partner of $10$ is $49 - 10 = 39.$ Thus, D is the correct answer.

10.

En el paralelepípedo rectangular mostrado, $AB = 3,$ $BC = 1,$ y $CG = 2.$ El punto $M$ es el punto medio de $FG.$ ¿Cuál es el volumen de la pirámide rectangular con base $BCHE$ y ápice $M$ ?

In the rectangular parallelepiped shown, $AB = 3,$ $BC = 1,$ and $CG = 2.$ Point $M$ is the midpoint of $FG.$ What is the volume of the rectangular pyramid with base $BCHE$ and apex $M?$

$1$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$2$

Respuesta: E

Conceptos:volumen pirámide geometría analítica

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Coloca $A$ en el origen con las aristas a lo largo de los ejes; halla el rectángulo $BCHE$ y su área.

Place $A$ at the origin with the edges along the axes; find the rectangle $BCHE$ and its area

Pista grande:

Volumen $= \tfrac13$ $\times (\text{área de la base})$ $\times (\text{distancia de } M \text{ a la base})$ .

Volume $= \tfrac13$ $\times (\text{base area})$ $\times (\text{distance from } M \text{ to base})$

Solución:

Coloca $A$ en el origen con las aristas a lo largo de los ejes: $A = (0,0,0),$ $B = (3,0,0),$ $C = (3,1,0),$ $E = (0,0,2),$ $H = (0,1,2),$ $F = (3,0,2),$ $G = (3,1,2),$ de modo que $M = (3, \tfrac12, 2).$ La base $BCHE$ es un rectángulo con $BC = 1$ y $BE = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13},$ por lo que su área es $\sqrt{13}.$ Su plano es $2x + 3z = 6,$ y $M$ está a distancia $\frac{|2\cdot3 + 3\cdot2 - 6|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$ de él. El volumen es $\tfrac13 \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}} = 2.$ Por lo tanto, la respuesta es E.

Put $A$ at the origin with edges along the axes: $A = (0,0,0),$ $B = (3,0,0),$ $C = (3,1,0),$ $E = (0,0,2),$ $H = (0,1,2),$ $F = (3,0,2),$ $G = (3,1,2),$ so $M = (3, \tfrac12, 2).$ The base $BCHE$ is a rectangle with $BC = 1$ and $BE = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13},$ hence area $\sqrt{13}.$ Its plane is $2x + 3z = 6,$ and $M$ sits at distance $\frac{|2\cdot3 + 3\cdot2 - 6|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$ from it. The volume is $\tfrac13 \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}} = 2.$ Therefore, the answer is E.

11.

¿Cuál de las siguientes expresiones nunca es un número primo cuando $p$ es un número primo?

Which of the following expressions is never a prime number when $p$ is a prime number?

$p^2 + 16$

$p^2 + 24$

$p^2 + 26$

$p^2 + 46$

$p^2 + 96$

Respuesta: C

Conceptos:primo aritmética modular

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Prueba las expresiones módulo $3;$ para un primo $p \ne 3,$ se tiene $p^2 \equiv 1 \pmod 3$ .

Test the expressions modulo $3;$ for a prime $p \ne 3,$ $p^2 \equiv 1 \pmod 3$

Pista grande:

Para la opción correcta, comprueba también $p = 3$ por separado, y luego muestra que es múltiplo de $3$ para todos los demás primos.

For the correct choice, also check $p = 3$ separately, then show it is a multiple of $3$ for all other primes

Solución:

Observa $p^2 + 26.$ Cuando $p = 3,$ vale $35 = 5 \cdot 7.$ Para cualquier otro primo, $p$ no es divisible entre $3,$ así que $p^2 \equiv 1 \pmod 3$ y $p^2 + 26 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3.$ En cualquier caso es múltiplo de $3$ mayor que $3,$ por lo tanto compuesto. Así que nunca es primo. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Look at $p^2 + 26.$ When $p = 3,$ it’s $35 = 5 \cdot 7.$ For any other prime, $p$ isn’t divisible by $3,$ so $p^2 \equiv 1 \pmod 3$ and $p^2 + 26 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3.$ Either way it’s a multiple of $3$ bigger than $3,$ hence composite. So it’s never prime. Thus, C is the correct answer.

12.

El segmento $AB$ es un diámetro de un círculo con $AB = 24.$ El punto $C,$ distinto de $A$ y $B,$ está en el círculo. A medida que el punto $C$ se mueve alrededor del círculo, el centroide (centro de masa) de $\triangle ABC$ traza una curva cerrada a la que le faltan dos puntos. Redondeando al entero positivo más cercano, ¿cuál es el área de la región limitada por esta curva?

Line segment $AB$ is a diameter of a circle with $AB = 24.$ Point $C,$ not equal to $A$ or $B,$ lies on the circle. As point $C$ moves around the circle, the centroid (center of mass) of $\triangle ABC$ traces out a closed curve missing two points. To the nearest positive integer, what is the area of the region bounded by this curve?

$25$

$38$

$50$

$63$

$75$

Respuesta: C

Conceptos:baricentro homotecia área del círculo

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

El centroide de $\triangle ABC$ es $\tfrac13(A + B + C),$ y $A + B$ es el doble del centro.

The centroid of $\triangle ABC$ is $\tfrac13(A + B + C),$ and $A + B$ is twice the center

Pista grande:

A medida que $C$ se mueve sobre un círculo de radio $12,$ el centroide se mueve sobre un círculo de un tercio del radio.

As $C$ moves on a circle of radius $12,$ the centroid moves on a circle of one third the radius

Solución:

Coloca el centro $O$ en el origen, de modo que $A = (-12, 0)$ y $B = (12, 0),$ mientras que $C$ recorre el círculo de radio $12.$ Entonces $A + B = 0,$ así que el centroide es $\tfrac13(A + B + C) = \tfrac13 C.$ A medida que $C$ da la vuelta, $\tfrac13 C$ traza un círculo de radio $\tfrac{12}{3} = 4$ (menos los dos puntos donde $C = A$ o $B$ ). Su área es $\pi \cdot 4^2 = 16\pi \approx 50.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

Put the center $O$ at the origin, so $A = (-12, 0)$ and $B = (12, 0),$ while $C$ runs over the circle of radius $12.$ Then $A + B = 0,$ so the centroid is $\tfrac13(A + B + C) = \tfrac13 C.$ As $C$ circles, $\tfrac13 C$ traces a circle of radius $\tfrac{12}{3} = 4$ (minus the two points where $C = A$ or $B$ ). Its area is $\pi \cdot 4^2 = 16\pi \approx 50.$ Therefore, the answer is C.

13.

¿Cuántos de los primeros $2018$ números de la sucesión $101,$ $1001,$ $10001,$ $100001,$ $\ldots$ son divisibles entre $101$ ?

How many of the first $2018$ numbers in the sequence $101,$ $1001,$ $10001,$ $100001,$ $\ldots$ are divisible by $101?$

$253$

$504$

$505$

$506$

$1009$

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular orden multiplicativo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

El $k$ -ésimo término es $10^{k+1} + 1,$ que es divisible entre $101$ cuando $10^{k+1} \equiv -1 \pmod{101}$ .

The $k$ -th term is $10^{k+1} + 1,$ which is divisible by $101$ when $10^{k+1} \equiv -1 \pmod{101}$

Pista grande:

$10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101},$ así que $10^m \equiv -1$ exactamente cuando $m \equiv 2 \pmod 4$ .

$10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101},$ so $10^m \equiv -1$ exactly when $m \equiv 2 \pmod 4$

Solución:

El $k$ -ésimo término es $10^{k+1} + 1,$ al cual $101$ divide si y solo si $10^{k+1} \equiv -1 \pmod{101}.$ Nota que $10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101}.$ Así, $10^m \equiv -1$ exactamente cuando $m \equiv 2 \pmod 4,$ es decir $k + 1 \equiv 2,$ o sea $k \equiv 1 \pmod 4.$ Entre $k = 1, 2, \ldots, 2018,$ los valores $1, 5, \ldots, 2017$ suman $505.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The $k$ -th term is $10^{k+1} + 1,$ which $101$ divides iff $10^{k+1} \equiv -1 \pmod{101}.$ Notice $10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101}.$ So $10^m \equiv -1$ exactly when $m \equiv 2 \pmod 4,$ meaning $k + 1 \equiv 2,$ that is $k \equiv 1 \pmod 4.$ Among $k = 1, 2, \ldots, 2018,$ the values $1, 5, \ldots, 2017$ number $505.$ Thus, C is the correct answer.

14.

Una lista de $2018$ enteros positivos tiene una única moda, que aparece exactamente $10$ veces. ¿Cuál es el menor número de valores distintos que pueden aparecer en la lista?

A list of $2018$ positive integers has a unique mode, which occurs exactly $10$ times. What is the least number of distinct values that can occur in the list?

$202$

$223$

$224$

$225$

$234$

Respuesta: D

Conceptos:moda optimización

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Todo valor distinto de la moda puede aparecer a lo sumo $9$ veces, para que la moda siga siendo única.

Every value other than the mode can appear at most $9$ times, to keep the mode unique

Pista grande:

Con $d$ valores distintos, la lista contiene a lo sumo $10 + 9(d-1)$ elementos; haz que esto sea al menos $2018$ .

With $d$ distinct values the list holds at most $10 + 9(d-1)$ entries; make this at least $2018$

Solución:

La moda aparece $10$ veces. Para mantener pequeño el número de valores distintos, deja que cada otro valor se repita tanto como permitan las reglas, que es $9$ veces cada uno (más igualaría a la moda). Con $d$ valores distintos, la lista contiene a lo sumo $10 + 9(d-1)$ elementos. Necesitamos $10 + 9(d-1) \ge 2018,$ así que $d - 1 \ge 223.1,$ lo que da $d \ge 225.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

The mode shows up $10$ times. To keep the number of distinct values small, let every other value repeat as much as the rules allow, which is $9$ times each (any more would tie the mode). With $d$ distinct values the list holds at most $10 + 9(d-1)$ entries. We need $10 + 9(d-1) \ge 2018,$ so $d - 1 \ge 223.1,$ giving $d \ge 225.$ Therefore, the answer is D.

15.

Una caja cerrada de base cuadrada se va a envolver con una hoja cuadrada de papel. La caja se centra sobre el papel, con los vértices de la base sobre las líneas medias de la hoja cuadrada, como muestra la figura izquierda. Las cuatro esquinas del papel se doblan sobre los lados de la caja y se juntan en el centro de la cara superior, el punto $A$ de la figura derecha. La base de la caja tiene lado $w$ y altura $h.$ ¿Cuál es el área de la hoja de papel?

A closed box with a square base is to be wrapped with a square sheet of wrapping paper. The box is centered on the wrapping paper with the vertices of the base lying on the midlines of the square sheet of paper, as shown in the figure on the left. The four corners of the wrapping paper are to be folded up over the sides and brought together to meet at the center of the top of the box, point $A$ in the figure on the right. The box has base length $w$ and height $h.$ What is the area of the sheet of wrapping paper?

$2(w + h)^2$

$\dfrac{(w + h)^2}{2}$

$2w^2 + 4wh$

$2w^2$

$w^2 h$

Respuesta: A

Conceptos:plegado de papel Teorema de Pitágoras cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Si la hoja tiene lado $s,$ la distancia de su centro a una esquina es $\dfrac{s}{\sqrt 2}$ .

If the sheet has side $s,$ its center-to-corner distance is $\dfrac{s}{\sqrt 2}$

Pista grande:

Doblar una esquina hacia el centro superior cubre, en línea recta, la mitad de la base, luego el lado de altura $h,$ y luego la otra mitad de la parte superior.

Folding a corner to the top center covers, in a straight line, half the base, then the side of height $h,$ then the other half of the top

Solución:

Sea el lado de la hoja igual a $s.$ La base se dispone como un cuadrado de lado $w$ girado $45^\circ,$ así que el centro está a $\tfrac{w}{2}$ de cada borde de la base. Una esquina de la hoja está a $\tfrac{s}{\sqrt2}$ del centro. Doblar esa esquina hasta el centro superior traza una línea recta: $\tfrac{w}{2}$ hasta el borde de la base, luego $h$ subiendo por el lado, y luego $\tfrac{w}{2}$ cruzando la parte superior. Así que $\tfrac{s}{\sqrt2} = \tfrac{w}{2} + h + \tfrac{w}{2} = w + h.$ Entonces $s = \sqrt2\,(w + h),$ y el área es $s^2 = 2(w + h)^2.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let the sheet have side $s.$ The base sits as a square of side $w$ turned $45^\circ,$ so the center is $\tfrac{w}{2}$ from each base edge. A corner of the sheet lies $\tfrac{s}{\sqrt2}$ from the center. Folding that corner up to the top center traces a straight line: $\tfrac{w}{2}$ out to the base edge, then $h$ up the side, then $\tfrac{w}{2}$ across the top. So $\tfrac{s}{\sqrt2} = \tfrac{w}{2} + h + \tfrac{w}{2} = w + h.$ Then $s = \sqrt2\,(w + h),$ and the area is $s^2 = 2(w + h)^2.$ Thus, A is the correct answer.

16.

Sea $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_{2018}$ una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que

$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2018} = 2018^{2018}.$

¿Cuál es el residuo cuando $a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_{2018}^3$ se divide entre $6$ ?

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_{2018}$ be a strictly increasing sequence of positive integers such that

$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2018} = 2018^{2018}.$

What is the remainder when $a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_{2018}^3$ is divided by $6?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: E

Conceptos:aritmética modular divisibilidad

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

$n^3 \equiv n \pmod 6,$ porque $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$ es un producto de tres enteros consecutivos.

$n^3 \equiv n \pmod 6,$ because $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$ is a product of three consecutive integers

Pista grande:

Por lo tanto, la suma de cubos es congruente con $2018^{2018} \pmod 6;$ reduce eso módulo $6$ .

So the sum of cubes is congruent to $2018^{2018} \pmod 6;$ reduce that modulo $6$

Solución:

Para cualquier entero $n,$ $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$ es un producto de tres enteros consecutivos, así que es divisible entre $6.$ Eso significa que $n^3 \equiv n \pmod 6.$ Sumando, $\sum a_i^3 \equiv \sum a_i$ $= 2018^{2018} \pmod 6.$ Ahora bien, $2018 \equiv 2 \pmod 6,$ y las potencias de $2$ módulo $6$ alternan $2, 4, 2, 4, \ldots.$ El exponente $2018$ es par, así que $2^{2018} \equiv 4 \pmod 6.$ El residuo es $4.$ Por lo tanto, la respuesta es E.

For any integer $n,$ $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$ is a product of three consecutive integers, so it’s divisible by $6.$ That means $n^3 \equiv n \pmod 6.$ Summing, $\sum a_i^3 \equiv \sum a_i$ $= 2018^{2018} \pmod 6.$ Now $2018 \equiv 2 \pmod 6,$ and powers of $2$ mod $6$ alternate $2, 4, 2, 4, \ldots.$ The exponent $2018$ is even, so $2^{2018} \equiv 4 \pmod 6.$ The remainder is $4.$ Therefore, the answer is E.

17.

En el rectángulo $PQRS,$ $PQ = 8$ y $QR = 6.$ Los puntos $A$ y $B$ están en $PQ,$ los puntos $C$ y $D$ están en $QR,$ los puntos $E$ y $F$ están en $RS,$ y los puntos $G$ y $H$ están en $SP$ de modo que $AP = BQ < 4$ y el octágono convexo $ABCDEFGH$ es equilátero. La longitud de un lado de este octágono se puede expresar en la forma $k + m\sqrt{n},$ donde $k,$ $m,$ y $n$ son enteros y $n$ no es divisible entre el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $k + m + n$ ?

In rectangle $PQRS,$ $PQ = 8$ and $QR = 6.$ Points $A$ and $B$ lie on $PQ,$ points $C$ and $D$ lie on $QR,$ points $E$ and $F$ lie on $RS,$ and points $G$ and $H$ lie on $SP$ so that $AP = BQ < 4$ and the convex octagon $ABCDEFGH$ is equilateral. The length of a side of this octagon can be expressed in the form $k + m\sqrt{n},$ where $k,$ $m,$ and $n$ are integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. What is $k + m + n?$

$1$

$7$

$21$

$92$

$106$

Respuesta: B

Conceptos:Teorema de Pitágoras cuadrática

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Las cuatro esquinas cortadas son triángulos rectángulos congruentes con catetos $x$ (sobre los lados de longitud $8$ ) y $y$ (sobre los lados de longitud $6$ ).

The four cut corners are congruent right triangles with legs $x$ (on the sides of length $8$ ) and $y$ (on the sides of length $6$ )

Pista grande:

Los lados iguales dan $8 - 2x = 6 - 2y = \sqrt{x^2 + y^2};$ la primera igualdad da $y = x - 1,$ luego sustituye y eleva al cuadrado.

The equal sides give $8 - 2x = 6 - 2y = \sqrt{x^2 + y^2};$ the first equality gives $y = x - 1,$ then substitute and square

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado del octágono y sea $x=AP=BQ=\frac{8-s}{2}.$ Los triángulos rectángulos $\triangle APH$ y $\triangle BQC$ tienen la misma hipotenusa $s$ y un cateto de longitud $x,$ así que son congruentes; escribamos $PH=QC=y.$ Como $CD=HG=s$ y los lados verticales del rectángulo miden $6,$ se sigue que $DR=GS.$ Los triángulos rectángulos en $R$ y $S$ son entonces congruentes, así que $RE=SF.$ Como $RS=8$ y $EF=s,$ cada una de estas longitudes iguales es $\frac{8-s}{2}=x.$ Así, las cuatro esquinas recortadas tienen catetos $x$ y $y.$

Los lados iguales del octágono dan $8-2x=6-2y=\sqrt{x^2+y^2}.$ La primera igualdad da $y=x-1.$ Al sustituir y elevar al cuadrado, obtenemos $2x^2-30x+63=0,$ por lo que la raíz con $x<4$ es $x=\frac{15-3\sqrt{11}}{2}.$

La longitud del lado es $8-2x=-7+3\sqrt{11},$ así que $k+m+n=-7+3+11=7.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $s$ be the octagon’s side length and let $x=AP=BQ=\frac{8-s}{2}.$ The right triangles $\triangle APH$ and $\triangle BQC$ have the same hypotenuse $s$ and a leg of length $x,$ so they are congruent; write $PH=QC=y.$ Because $CD=HG=s$ and the vertical sides of the rectangle both have length $6,$ it follows that $DR=GS.$ The right triangles at $R$ and $S$ are then congruent, so $RE=SF.$ Since $RS=8$ and $EF=s,$ each of these equal lengths is $\frac{8-s}{2}=x.$ Thus all four cut corners have legs $x$ and $y.$

The equal octagon sides give $8-2x=6-2y=\sqrt{x^2+y^2}.$ The first equality gives $y=x-1.$ Substituting and squaring gives $2x^2-30x+63=0,$ so the root with $x<4$ is $x=\frac{15-3\sqrt{11}}{2}.$

The side length is $8-2x=-7+3\sqrt{11},$ so $k+m+n=-7+3+11=7.$ Thus, B is the correct answer.

18.

Tres jóvenes parejas de hermano y hermana de distintas familias necesitan hacer un viaje en una furgoneta. Estos seis niños ocuparán la segunda y la tercera fila de la furgoneta, cada una con tres asientos. Para evitar alborotos, los hermanos no pueden sentarse justo al lado del otro en la misma fila, y ningún niño puede sentarse directamente delante de su hermano o hermana. ¿Cuántas disposiciones de asientos son posibles para este viaje?

Three young brother-sister pairs from different families need to take a trip in a van. These six children will occupy the second and third rows in the van, each of which has three seats. To avoid disruptions, siblings may not sit right next to each other in the same row, and no child may sit directly in front of his or her sibling. How many seating arrangements are possible for this trip?

$60$

$72$

$92$

$96$

$120$

Respuesta: D

Conceptos:análisis por casos permutaciones desarreglos

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Demuestra que cada fila debe contener exactamente un niño de cada familia.

Show that each row must contain exactly one child from each family

Pista grande:

Las familias de la tercera fila deben diferir de las de la segunda fila en cada columna (un desarreglo), y los dos niños de cada pareja pueden intercambiarse entre sus asientos.

The third row’s families must differ from the second row’s in every column (a derangement), and each pair’s two children can be swapped between their seats

Solución:

Supón que alguna familia coloca a sus dos niños en una fila. Tendrían que ocupar los asientos no adyacentes $1$ y $3,$ lo que obliga a los dos niños de la familia del medio a quedar en la misma columna. No está permitido. Así que cada fila tiene exactamente un niño de cada familia. La segunda fila es una permutación de las tres familias, $3! = 6$ maneras. La tercera fila necesita una familia diferente en cada columna, un desarreglo del orden de la segunda fila, y hay $2$ de esos. Por último, cada pareja puede intercambiar a sus dos niños entre sus asientos, $2^3 = 8$ maneras. El total es $6 \cdot 2 \cdot 8 = 96.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

Suppose some family put both children in one row. They’d have to take the non-adjacent seats $1$ and $3,$ which forces the middle family’s two children into the same column. Not allowed. So each row holds exactly one child from each family. The second row is a permutation of the three families, $3! = 6$ ways. The third row needs a different family in every column, a derangement of the second row’s order, and there are $2$ of those. Finally, each pair can swap its two children between their seats, $2^3 = 8$ ways. The total is $6 \cdot 2 \cdot 8 = 96.$ Therefore, the answer is D.

19.

Joey y Chloe y su hija Zoe cumplen años el mismo día. Joey es $1$ año mayor que Chloe, y Zoe tiene hoy exactamente $1$ año. Hoy es el primero de los $9$ cumpleaños en los que la edad de Chloe será un múltiplo entero de la edad de Zoe. ¿Cuál será la suma de los dos dígitos de la edad de Joey la próxima vez que su edad sea un múltiplo de la de Zoe?

Joey and Chloe and their daughter Zoe all have the same birthday. Joey is $1$ year older than Chloe, and Zoe is exactly $1$ year old today. Today is the first of the $9$ birthdays on which Chloe’s age will be an integral multiple of Zoe’s age. What will be the sum of the two digits of Joey’s age the next time his age is a multiple of Zoe’s age?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: E

Conceptos:conteo de factores divisibilidad dígitos

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Sea $n$ la edad de Chloe hoy. En $t$ años su edad es un múltiplo de la de Zoe si y solo si $1 + t$ divide a $n - 1$ .

Let Chloe be $n$ today. In $t$ years her age is a multiple of Zoe’s iff $1 + t$ divides $n - 1$

Pista grande:

Que haya exactamente $9$ de esos cumpleaños significa que $n - 1$ tiene $9$ divisores; halla el valor de dos dígitos, luego repite la idea de los divisores para Joey.

Exactly $9$ such birthdays means $n - 1$ has $9$ divisors; find the two-digit value, then repeat the divisor idea for Joey

Solución:

Sea $n$ la edad actual de Chloe; Zoe tiene $1.$ Dentro de $t$ años, la razón de sus edades será $\dfrac{n+t}{1+t}=1+\dfrac{n-1}{1+t},$ que es entera exactamente cuando $1+t$ divide a $n-1.$ Por tanto, $n-1$ tiene exactamente $9$ divisores positivos.

Un número con $9$ divisores tiene la forma $p^8$ o $p^2q^2.$ La única posibilidad de dos cifras es $2^2\cdot3^2=36,$ así que Chloe tiene $37$ años y Joey tiene $38.$

La edad de Joey, $38+t$ , es múltiplo de la edad de Zoe, $1+t$ , exactamente cuando $1+t$ divide a $37.$ La siguiente vez ocurre para $t=36,$ cuando Joey tiene $74.$ La suma de sus cifras es $7+4=11.$ Así, E es la respuesta correcta.

Let Chloe be $n$ today; Zoe is $1.$ In $t$ years their age ratio is $\dfrac{n+t}{1+t}=1+\dfrac{n-1}{1+t},$ which is an integer exactly when $1+t$ divides $n-1.$ Thus $n-1$ has exactly $9$ positive divisors.

A number with $9$ divisors has the form $p^8$ or $p^2q^2.$ The only two-digit possibility is $2^2\cdot3^2=36,$ so Chloe is $37$ and Joey is $38.$

Joey’s age $38+t$ is a multiple of Zoe’s age $1+t$ exactly when $1+t$ divides $37.$ The next time is $t=36,$ when Joey is $74.$ Its digit sum is $7+4=11.$ Thus, E is the correct answer.

20.

Una función $f$ se define recursivamente por $f(1) = f(2) = 1$ y

$f(n) = f(n - 1) - f(n - 2) + n$

para todos los enteros $n \ge 3.$ ¿Cuánto vale $f(2018)$ ?

A function $f$ is defined recursively by $f(1) = f(2) = 1$ and

$f(n) = f(n - 1) - f(n - 2) + n$

for all integers $n \ge 3.$ What is $f(2018)?$

$2016$

$2017$

$2018$

$2019$

$2020$

Respuesta: B

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Busca una solución particular de la forma $f(n) = n + c;$ restarla deja $g(n) = g(n-1) - g(n-2)$ .

Look for a particular solution of the form $f(n) = n + c;$ subtracting it leaves $g(n) = g(n-1) - g(n-2)$

Pista grande:

Esa recursión homogénea es periódica con periodo $6;$ reduce $2018$ módulo $6$ .

That homogeneous recursion is periodic with period $6;$ reduce $2018$ modulo $6$

Solución:

Nota que $f(n) = n + 1$ resuelve la recurrencia por sí sola, así que escribe $f(n) = (n + 1) + g(n).$ Entonces $g$ satisface la versión homogénea $g(n) = g(n-1) - g(n-2).$ Con $g(1) = -1$ y $g(2) = -2,$ esta se repite con periodo $6$ : $-1, -2, -1, 1, 2, 1, \ldots.$ Como $2018 \equiv 2 \pmod 6,$ obtenemos $g(2018) = -2,$ así que $f(2018) = 2019 - 2 = 2017.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

Notice $f(n) = n + 1$ solves the recurrence on its own, so write $f(n) = (n + 1) + g(n).$ Then $g$ satisfies the homogeneous version $g(n) = g(n-1) - g(n-2).$ With $g(1) = -1$ and $g(2) = -2,$ it cycles with period $6$ : $-1, -2, -1, 1, 2, 1, \ldots.$ Since $2018 \equiv 2 \pmod 6,$ we get $g(2018) = -2,$ so $f(2018) = 2019 - 2 = 2017.$ Therefore, the answer is B.

21.

Mary eligió un número par de $4$ dígitos $n.$ Escribió todos los divisores de $n$ en orden creciente de izquierda a derecha: $1,$ $2,$ $\ldots,$ $\frac{n}{2},$ $n.$ En cierto momento Mary escribió $323$ como divisor de $n.$ ¿Cuál es el menor valor posible del siguiente divisor escrito a la derecha de $323$ ?

Mary chose an even $4$ -digit number $n.$ She wrote down all the divisors of $n$ in increasing order from left to right: $1,$ $2,$ $\ldots,$ $\frac{n}{2},$ $n.$ At some moment Mary wrote $323$ as a divisor of $n.$ What is the smallest possible value of the next divisor written to the right of $323?$

$324$

$330$

$340$

$361$

$646$

Respuesta: C

Conceptos:factor mínimo común múltiplo factorización en primos

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

$323 = 17 \cdot 19,$ y $n$ es un múltiplo par de $4$ dígitos de $323$ .

$323 = 17 \cdot 19,$ and $n$ is an even $4$ -digit multiple of $323$

Pista grande:

Para un candidato a siguiente divisor $d,$ $n$ debe ser un múltiplo de $\operatorname{lcm}(323, d);$ halla el menor $d > 323$ que lo mantenga por debajo de $10000$ .

For a candidate next divisor $d,$ $n$ must be a multiple of $\operatorname{lcm}(323, d);$ find the smallest $d > 323$ keeping that under $10000$

Solución:

Sea $d$ el siguiente divisor después de $323.$ Si $\gcd(d,323)=1,$ entonces $n$ es múltiplo de $323d>323^2>9999,$ lo que es imposible para un número de cuatro cifras. Por tanto, $\gcd(d,323)>1.$

Como $323=17\cdot19,$ este máximo común divisor es al menos $17.$ También divide a $d-323,$ así que $d-323\ge17$ y, por tanto, $d\ge340.$

Esta cota se alcanza: para $n=6460=2^2\cdot5\cdot17\cdot19,$ tanto $323$ como $340$ son divisores. La cota inferior muestra que no hay divisores entre ellos. Así, el menor divisor siguiente posible es $340,$ y C es la respuesta correcta.

Let $d$ be the next divisor after $323.$ If $\gcd(d,323)=1,$ then $n$ is a multiple of $323d>323^2>9999,$ impossible for a four-digit number. Thus $\gcd(d,323)>1.$

Since $323=17\cdot19,$ this gcd is at least $17.$ It also divides $d-323,$ so $d-323\ge17$ and hence $d\ge340.$

This bound is attained: for $n=6460=2^2\cdot5\cdot17\cdot19,$ both $323$ and $340$ are divisors. The lower bound shows there is no divisor between them. Thus the smallest possible next divisor is $340,$ and C is the correct answer.

22.

Los números reales $x$ y $y$ se eligen de forma independiente y uniforme al azar del intervalo $[0, 1].$ ¿Cuál de los siguientes números es el más cercano a la probabilidad de que $x,$ $y,$ y $1$ sean las longitudes de los lados de un triángulo obtuso?

Real numbers $x$ and $y$ are chosen independently and uniformly at random from the interval $[0, 1].$ Which of the following numbers is closest to the probability that $x,$ $y,$ and $1$ are the side lengths of an obtuse triangle?

$0.21$

$0.25$

$0.29$

$0.50$

$0.79$

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad geométrica ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Un triángulo con lados $x, y, 1$ requiere $x + y > 1;$ como $1$ es el lado más largo, es obtuso cuando $x^2 + y^2 < 1$ .

A triangle with sides $x, y, 1$ needs $x + y > 1;$ since $1$ is the longest side it is obtuse when $x^2 + y^2 < 1$

Pista grande:

En el cuadrado unitario, esta región es un cuarto de disco al que se le quita el triángulo por debajo de $x + y = 1$ .

In the unit square this region is a quarter disk with the triangle below $x + y = 1$ removed

Solución:

Las tres longitudes $x, y, 1$ forman un triángulo si y solo si $x + y > 1.$ Como $1$ es el lado más largo, ese triángulo es obtuso si y solo si $x^2 + y^2 < 1.$ Así, en el cuadrado unitario queremos la región dentro del cuarto de círculo $x^2 + y^2 = 1$ pero por encima de la recta $x + y = 1.$ Ese es el cuarto de disco al que se le quita el triángulo rectángulo bajo la cuerda: $\tfrac{\pi}{4} - \tfrac12 \approx 0.285.$ La opción más cercana es $0.29.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

The three lengths $x, y, 1$ make a triangle iff $x + y > 1.$ Since $1$ is the longest side, that triangle is obtuse iff $x^2 + y^2 < 1.$ So in the unit square we want the region inside the quarter circle $x^2 + y^2 = 1$ but above the line $x + y = 1.$ That’s the quarter disk with the right triangle under the chord removed: $\tfrac{\pi}{4} - \tfrac12 \approx 0.285.$ The closest choice is $0.29.$ Therefore, the answer is C.

23.

¿Cuántos pares ordenados $(a, b)$ de enteros positivos satisfacen la ecuación

$\begin{aligned} a \cdot b + 63 &= 20 \cdot \operatorname{lcm}(a, b) \\ &\quad {}+ 12 \cdot \gcd(a, b), \end{aligned}$

donde $\gcd(a, b)$ denota el máximo común divisor de $a$ y $b,$ y $\operatorname{lcm}(a, b)$ denota su mínimo común múltiplo?

How many ordered pairs $(a, b)$ of positive integers satisfy the equation

$\begin{aligned} a \cdot b + 63 &= 20 \cdot \operatorname{lcm}(a, b) \\ &\quad {}+ 12 \cdot \gcd(a, b), \end{aligned}$

where $\gcd(a, b)$ denotes the greatest common divisor of $a$ and $b,$ and $\operatorname{lcm}(a, b)$ denotes their least common multiple?

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Respuesta: B

Conceptos:mínimo común múltiplo máximo común divisor Truco de factorización favorito de Simon

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Usa $ab = \gcd(a,b) \cdot \operatorname{lcm}(a,b);$ sea $x = \operatorname{lcm}(a,b)$ y $y = \gcd(a,b)$ .

Use $ab = \gcd(a,b) \cdot \operatorname{lcm}(a,b);$ let $x = \operatorname{lcm}(a,b)$ and $y = \gcd(a,b)$

Pista grande:

La ecuación se convierte en $(x - 12)(y - 20) = 177 = 3 \cdot 59;$ además $y$ debe dividir a $x$ .

The equation becomes $(x - 12)(y - 20) = 177 = 3 \cdot 59;$ also $y$ must divide $x$

Solución:

Recuerda que $ab=\gcd(a,b)\operatorname{lcm}(a,b).$ Sea $x=\operatorname{lcm}(a,b)$ y $y=\gcd(a,b).$ La ecuación se transforma en $(x-12)(y-20)=177=3\cdot59.$

Las factorizaciones positivas dan $(x,y)=(13,197),$ $(189,21),$ $(15,79),$ y $(71,23).$ Las factorizaciones negativas harían negativo a $x$ o a $y,$ así que son imposibles. Además, $y$ debe dividir a $x,$ y solo $(x,y)=(189,21)$ cumple esa condición.

Escribe $a=21u$ y $b=21v.$ Entonces $\gcd(u,v)=1$ y $uv=\frac{189}{21}=9,$ así que $(u,v)=(1,9)$ o $(9,1).$ Por lo tanto, los dos pares ordenados son $(21,189)$ y $(189,21),$ y B es la respuesta correcta.

Recall $ab=\gcd(a,b)\operatorname{lcm}(a,b).$ Let $x=\operatorname{lcm}(a,b)$ and $y=\gcd(a,b).$ The equation becomes $(x-12)(y-20)=177=3\cdot59.$

The positive factor pairs give $(x,y)=(13,197),$ $(189,21),$ $(15,79),$ and $(71,23).$ The negative factor pairs make either $x$ or $y$ negative, so they are impossible. Also $y$ must divide $x,$ and only $(x,y)=(189,21)$ passes.

Write $a=21u$ and $b=21v.$ Then $\gcd(u,v)=1$ and $uv=\frac{189}{21}=9,$ so $(u,v)=(1,9)$ or $(9,1).$ Hence the two ordered pairs are $(21,189)$ and $(189,21),$ and B is the correct answer.

24.

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular con longitud de lado $1.$ Denota por $X,$ $Y,$ y $Z$ los puntos medios de los lados $AB,$ $CD,$ y $EF,$ respectivamente. ¿Cuál es el área del hexágono convexo cuyo interior es la intersección de los interiores de $\triangle ACE$ y $\triangle XYZ$ ?

Let $ABCDEF$ be a regular hexagon with side length $1.$ Denote by $X,$ $Y,$ and $Z$ the midpoints of sides $AB,$ $CD,$ and $EF,$ respectively. What is the area of the convex hexagon whose interior is the intersection of the interiors of $\triangle ACE$ and $\triangle XYZ?$

$\dfrac{3}{8}\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{16}\sqrt{3}$

$\dfrac{15}{32}\sqrt{3}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\dfrac{9}{16}\sqrt{3}$

Respuesta: C

Conceptos:polígono regular triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2470

Pista pequeña:

$\triangle ACE$ es equilátero con lado $\sqrt{3};$ $\triangle XYZ$ es equilátero con lado $\tfrac{3}{2}$ .

$\triangle ACE$ is equilateral with side $\sqrt{3};$ $\triangle XYZ$ is equilateral with side $\tfrac{3}{2}$

Pista grande:

Centrados en el centro del hexágono, los dos triángulos son concéntricos y están rotados $30^\circ;$ la superposición es $\triangle XYZ$ menos sus tres triángulos de esquina que sobresalen.

Centered at the hexagon’s center the two triangles are concentric and rotated $30^\circ;$ the overlap is $\triangle XYZ$ minus its three protruding corner triangles

Solución:

El triángulo $XYZ$ es equilátero con lado $\frac{3}{2},$ así que su área es $\dfrac{\sqrt3}{4}\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac{9\sqrt3}{16}.$

Los triángulos $ACE$ y $XYZ$ son concéntricos y están rotados $30^\circ$ entre sí. En cada vértice de $XYZ,$ los lados de $ACE$ recortan un triángulo $30$ - $60$ - $90$ cuya hipotenusa es el segmento de medio lado $AX=\frac{1}{2}.$ Sus catetos son $\frac{1}{4}$ y $\frac{\sqrt3}{4},$ así que cada esquina tiene área $\frac{\sqrt3}{32}.$

Al quitar las tres esquinas, obtenemos $\dfrac{9\sqrt3}{16}-3\cdot\dfrac{\sqrt3}{32}=\dfrac{15\sqrt3}{32}.$ Por tanto, la respuesta es C.

The triangle $XYZ$ is equilateral with side $\frac{3}{2},$ so its area is $\dfrac{\sqrt3}{4}\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac{9\sqrt3}{16}.$

The triangles $ACE$ and $XYZ$ are concentric and rotated $30^\circ$ from each other. At each vertex of $XYZ,$ the sides of $ACE$ cut off a $30$ - $60$ - $90$ triangle whose hypotenuse is the half-side segment $AX=\frac{1}{2}.$ Its legs are $\frac{1}{4}$ and $\frac{\sqrt3}{4},$ so each corner has area $\frac{\sqrt3}{32}.$

Removing the three corners gives $\dfrac{9\sqrt3}{16}-3\cdot\dfrac{\sqrt3}{32}=\dfrac{15\sqrt3}{32}.$ Therefore, the answer is C.

25.

Sea $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x.$ ¿Cuántos números reales $x$ satisfacen la ecuación $x^2 + 10{,}000\lfloor x \rfloor = 10{,}000x$ ?

Let $\lfloor x \rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to $x.$ How many real numbers $x$ satisfy the equation $x^2 + 10{,}000\lfloor x \rfloor = 10{,}000x?$

$197$

$198$

$199$

$200$

$201$

Respuesta: C

Conceptos:funciones piso y techo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Escribiendo $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor,$ la ecuación es $x^2 = 10{,}000\{x\},$ así que $0 \le x^2 < 10{,}000$ .

Writing $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor,$ the equation is $x^2 = 10{,}000\{x\},$ so $0 \le x^2 < 10{,}000$

Pista grande:

En cada intervalo $[a, a+1)$ hay una solución exactamente cuando $(a + 1)^2 \lt 10{,}000$ .

On each interval $[a, a+1)$ there is a solution exactly when $(a + 1)^2 \lt 10{,}000$

Solución:

Sea $a = \lfloor x \rfloor.$ La ecuación se lee $x^2 = 10{,}000(x - a)$ $= 10{,}000\{x\},$ y como $0 \le \{x\} < 1,$ esto obliga a $0 \le x^2 < 10{,}000,$ así que $-100 < x < 100.$ En cada intervalo $[a, a + 1)$ la cantidad $10{,}000x - x^2$ crece desde $10{,}000a - a^2$ y se aproxima, sin alcanzarlo, a $10{,}000(a+1) - (a+1)^2.$ Alcanza $10{,}000a$ exactamente una vez precisamente cuando $(a + 1)^2 < 10{,}000.$ Eso se cumple para los enteros $-100 \le a \le 98,$ que son $199$ soluciones. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $a = \lfloor x \rfloor.$ The equation reads $x^2 = 10{,}000(x - a)$ $= 10{,}000\{x\},$ and since $0 \le \{x\} < 1,$ this forces $0 \le x^2 < 10{,}000,$ so $-100 < x < 100.$ On each interval $[a, a + 1)$ the quantity $10{,}000x - x^2$ increases from $10{,}000a - a^2$ and approaches, but does not reach, $10{,}000(a+1) - (a+1)^2.$ It hits $10{,}000a$ exactly once precisely when $(a + 1)^2 < 10{,}000.$ That holds for the integers $-100 \le a \le 98,$ which is $199$ solutions. Thus, C is the correct answer.

Problemas del 2018 AMC 10B

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande: