Question

Para un conjunto de cuatro rectas distintas en un plano, hay exactamente $N$ puntos distintos que están en dos o más de las rectas. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $N$ ?

For a set of four distinct lines in a plane, there are exactly $N$ distinct points that lie on two or more of the lines. What is the sum of all possible values of $N?$

$14$

$16$

$18$

$19$

$21$

Respuesta: D

Conceptos:conteo de intersecciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Enumera las cantidades de intersecciones alcanzables para cuatro rectas.

List attainable intersection counts for four lines

Pista grande:

Luego, por separado, descarta exactamente dos puntos de intersección.

Then separately rule out exactly two intersection points

Solución:

Los valores $0,1,3,4,5,$ y $6$ son alcanzables. Cuatro rectas paralelas dan $0$ ; cuatro rectas concurrentes dan $1$ ; tres rectas paralelas cortadas por una cuarta dan $3$ ; tres rectas concurrentes más una cuarta que no pasa por ese punto dan $4$ ; tres rectas que forman un triángulo más una cuarta paralela a un lado dan $5$ ; y cuatro rectas en posición general dan $\binom42=6$ .

Queda descartar $2$ . Tomemos dos rectas no paralelas, que se cortan en $X$ . Si una tercera recta también pasa por $X$ , entonces una cuarta recta que no pase por $X$ corta al menos a dos de esas tres rectas concurrentes en dos puntos nuevos distintos; en caso contrario, las cuatro rectas pasan por $X$ y solo se obtiene un punto. Si la tercera recta no pasa por $X$ , entonces, para crear un único punto nuevo, debe ser paralela a una de las dos primeras rectas. Una cuarta recta distinta no puede pasar por ninguna de las intersecciones ya existentes sin cortar a esa recta paralela en un punto nuevo, y si no pasa por ninguna de ellas, crea de inmediato una nueva intersección. Así, tener exactamente dos puntos de intersección es imposible.

Así, los valores posibles son $0,1,3,4,5,6$ , cuya suma es $19$ . Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The values $0,1,3,4,5,$ and $6$ are attainable. Four parallel lines give $0$ , four concurrent lines give $1$ , three parallel lines cut by a fourth give $3$ , three concurrent lines plus a fourth not through that point give $4$ , three lines forming a triangle plus a fourth parallel to one side give $5$ , and four lines in general position give $\binom42=6$ .

It remains to rule out $2$ . Choose two nonparallel lines, meeting at $X$ . If a third line also passes through $X$ , then a fourth line not through $X$ intersects at least two of those three concurrent lines at two different new points; otherwise all four lines pass through $X$ , giving only one point. If the third line does not pass through $X$ , then to create only one new point it must be parallel to one of the first two lines. A fourth distinct line cannot pass through either existing intersection without meeting the parallel line at a new point, and if it passes through neither, it creates a new intersection immediately. Thus exactly two intersection points are impossible.

Thus the possible values are $0,1,3,4,5,6$ , whose sum is $19$ . Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 14

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años