2023 AMC 10B — Problemas y examen en línea cronometrado

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1:15:00

1.

La señora Jones está sirviendo jugo de naranja en cuatro vasos idénticos para sus cuatro hijos. Llena los primeros tres vasos por completo, pero se queda sin jugo cuando el cuarto vaso está solo $\frac{1}{3}$ lleno. ¿Qué fracción de un vaso debe verter la señora Jones desde cada uno de los primeros tres vasos hacia el cuarto para que los cuatro vasos tengan la misma cantidad de jugo?

Mrs. Jones is pouring orange juice into four identical glasses for her four sons. She fills the first three glasses completely but runs out of juice when the fourth glass is only $\frac{1}{3}$ full. What fraction of a glass must Mrs. Jones pour from each of the first three glasses into the fourth glass so that all four glasses will have the same amount of juice?

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{2}{9}$

Respuesta: C

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Halla la cantidad total de jugo y luego divídela en partes iguales entre los cuatro vasos.

Find the total amount of juice, then divide it equally among the four glasses

Pista grande:

Cada vaso lleno termina en el nivel común, así que debe verter $1$ menos ese nivel.

Each full glass ends at the common level, so it must pour out $1$ minus that level

Solución:

En total hay $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ vasos de jugo. Al repartirlos entre cuatro, cada vaso queda con $\frac{10}{3} \div 4 = \frac{5}{6}.$ Así que un vaso lleno debe verter $1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

There’s $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ glasses of juice in all. Split four ways, each glass ends up with $\frac{10}{3} \div 4 = \frac{5}{6}.$ So a full glass has to pour out $1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}.$ Thus, C is the correct answer.

2.

Carlos fue a una tienda de deportes a comprar zapatillas para correr. Las zapatillas estaban en oferta, con una reducción de $20\%$ en cada par. Carlos también sabía que debía pagar un impuesto de ventas de $7.5\%$ sobre el precio rebajado. Tenía $43$ dólares. ¿Cuál es el precio original, antes del descuento, de las zapatillas más caras que podía comprar?

Carlos went to a sports store to buy running shoes. Running shoes were on sale, with prices reduced by $20\%$ on every pair of shoes. Carlos also knew that he had to pay a $7.5\%$ sales tax on the discounted price. He had $43$ dollars. What is the original (before discount) price of the most expensive shoes he could afford to buy?

$\$46$

$\$50$

$\$48$

$\$47$

$\$49$

Respuesta: B

Conceptos:porcentaje desigualdad

Nivel de dificultad: 990

Pista pequeña:

Un descuento del $20\%$ multiplica el precio por $0.8;$ un impuesto del $7.5\%$ lo multiplica por $1.075$ .

A $20\%$ discount multiplies the price by $0.8;$ a $7.5\%$ tax multiplies by $1.075$

Pista grande:

Iguala el costo final $0.8 \times 1.075 \times P$ a $43$ y despeja $P$ .

Set the final cost $0.8 \times 1.075 \times P$ equal to $43$ and solve for $P$

Solución:

Sea $P$ el precio original. Después del descuento y el impuesto, Carlos paga $0.8P \times 1.075 = 0.86P.$ Puede pagarlo cuando $0.86P \le 43,$ lo que significa $P \le 50.$ Así que las zapatillas más caras que puede permitirse cuestan $\$50.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

Let $P$ be the original price. After the discount and tax, Carlos pays $0.8P \times 1.075 = 0.86P.$ He can afford it when $0.86P \le 43,$ which means $P \le 50.$ So the priciest shoes he can swing start at $\$50.$ Therefore, the answer is B.

3.

Un triángulo rectángulo $3$ - $4$ - $5$ está inscrito en el círculo $A,$ y un triángulo rectángulo $5$ - $12$ - $13$ está inscrito en el círculo $B.$ ¿Cuál es la razón entre el área del círculo $A$ y el área del círculo $B$ ?

A $3$ - $4$ - $5$ right triangle is inscribed in circle $A,$ and a $5$ - $12$ - $13$ right triangle is inscribed in circle $B.$ What is the ratio of the area of circle $A$ to the area of circle $B?$

$\dfrac{9}{25}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{25}{169}$

$\dfrac{4}{25}$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio triángulo rectángulo razón de áreas

Nivel de dificultad: 1080

Pista pequeña:

La hipotenusa de un triángulo rectángulo es un diámetro de su circunferencia circunscrita.

The hypotenuse of a right triangle is a diameter of its circumscribed circle

Pista grande:

Los radios son $\frac{5}{2}$ y $\frac{13}{2};$ el área escala como el cuadrado del radio.

The radii are $\frac{5}{2}$ and $\frac{13}{2};$ area scales as the square of the radius

Solución:

La hipotenusa de un triángulo rectángulo es un diámetro de la circunferencia que lo rodea. Así, el círculo $A$ tiene diámetro $5$ y el círculo $B$ tiene diámetro $13.$ Las áreas escalan como el cuadrado de eso, dando $\left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{25}{169}.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The hypotenuse of a right triangle is a diameter of the circle around it. So circle $A$ has diameter $5$ and circle $B$ has diameter $13.$ Areas scale as the square of that, giving $\left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{25}{169}.$ Thus, D is the correct answer.

4.

El pincel de Jackson hace una franja angosta con un ancho de $6.5$ milímetros. Jackson tiene suficiente pintura para hacer una franja de $25$ metros de largo. ¿Cuántos centímetros cuadrados de papel podría cubrir Jackson con pintura?

Jackson’s paintbrush makes a narrow strip with a width of $6.5$ millimeters. Jackson has enough paint to make a strip $25$ meters long. How many square centimeters of paper could Jackson cover with paint?

$162{,}500$

$162.5$

$1{,}625$

$1{,}625{,}000$

$16{,}250$

Respuesta: C

Conceptos:conversión de unidades rectángulo área

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Convierte todo a centímetros: $6.5$ mm $= 0.65$ cm y $25$ m $= 2500$ cm.

Convert everything to centimeters: $6.5$ mm $= 0.65$ cm and $25$ m $= 2500$ cm

Pista grande:

El área es ancho $\times$ largo una vez que ambos están en las mismas unidades.

Area is width $\times$ length once both are in the same units

Solución:

Primero pon todo en centímetros. La franja mide $6.5$ mm $= 0.65$ cm de ancho y $25$ m $= 2500$ cm de largo. Su área es $0.65 \times 2500 = 1625$ centímetros cuadrados. Por lo tanto, la respuesta es C.

Put everything in centimeters first. The strip is $6.5$ mm $= 0.65$ cm wide and $25$ m $= 2500$ cm long. Its area is $0.65 \times 2500 = 1625$ square centimeters. Therefore, the answer is C.

5.

Maddy y Lara ven una lista de números escrita en un pizarrón. Maddy suma $3$ a cada número de la lista y encuentra que la suma de sus nuevos números es $45.$ Lara multiplica cada número de la lista por $3$ y encuentra que la suma de sus nuevos números también es $45.$ ¿Cuántos números están escritos en el pizarrón?

Maddy and Lara see a list of numbers written on a blackboard. Maddy adds $3$ to each number in the list and finds that the sum of her new numbers is $45.$ Lara multiplies each number in the list by $3$ and finds that the sum of her new numbers is also $45.$ How many numbers are written on the blackboard?

$10$

$5$

$6$

$8$

$9$

Respuesta: A

Conceptos:sistema de ecuaciones sumatoria

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Sea la cantidad $n$ y la suma original $S;$ sumar $3$ a cada número añade $3n$ .

Let the count be $n$ and the original sum be $S;$ adding $3$ to each number adds $3n$

Pista grande:

La condición de Lara da $3S = 45,$ así que $S = 15$ .

Lara’s condition gives $3S = 45,$ so $S = 15$

Solución:

Sea $S$ la suma original y $n$ la cantidad de números. Maddy suma $3$ a cada uno, así que su total es $S + 3n = 45.$ Lara triplica cada uno, así que el suyo es $3S = 45,$ dando $S = 15.$ Entonces $15 + 3n = 45,$ así que $n = 10.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $S$ be the original sum and $n$ the number of entries. Maddy adds $3$ to each, so her total is $S + 3n = 45.$ Lara triples each, so hers is $3S = 45,$ giving $S = 15.$ Then $15 + 3n = 45,$ so $n = 10.$ Thus, A is the correct answer.

6.

Sea $L_1 = 1,$ $L_2 = 3,$ y $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$ para $n \ge 1.$ ¿Cuántos términos de la sucesión $L_1,$ $L_2,$ $L_3,$ $\ldots,$ $L_{2023}$ son pares?

Let $L_1 = 1,$ $L_2 = 3,$ and $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$ for $n \ge 1.$ How many terms in the sequence $L_1,$ $L_2,$ $L_3,$ $\ldots,$ $L_{2023}$ are even?

$673$

$1011$

$675$

$1010$

$674$

Respuesta: E

Conceptos:paridad recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Sigue solo la paridad de los términos: impar, impar, par, y luego se repite.

Track only the parity of the terms: odd, odd, even, and then it repeats

Pista grande:

Los términos pares aparecen exactamente en las posiciones que son múltiplos de $3$ .

Even terms occur exactly at positions that are multiples of $3$

Solución:

Sigue las paridades: $1, 3, 4, 7, 11, 18, \ldots$ van impar, impar, par, y luego se repiten con periodo $3.$ Así que $L_n$ es par exactamente cuando $n$ es divisible entre $3.$ Entre $1 \le n \le 2023,$ eso son $\lfloor \frac{2023}{3} \rfloor = 674$ múltiplos de $3.$ Por lo tanto, la respuesta es E.

Track the parities: $1, 3, 4, 7, 11, 18, \ldots$ run odd, odd, even, then repeat with period $3.$ So $L_n$ is even exactly when $n$ is divisible by $3.$ Among $1 \le n \le 2023,$ that’s $\lfloor \frac{2023}{3} \rfloor = 674$ multiples of $3.$ Therefore, the answer is E.

7.

El cuadrado $ABCD$ se rota $20^\circ$ en sentido horario alrededor de su centro para obtener el cuadrado $EFGH,$ como se muestra abajo. ¿Cuál es la medida en grados de $\angle EAB$ ?

Square $ABCD$ is rotated $20^\circ$ clockwise about its center to obtain square $EFGH,$ as shown below. What is the degree measure of $\angle EAB?$

$24^\circ$

$35^\circ$

$30^\circ$

$32^\circ$

$20^\circ$

Respuesta: B

Conceptos:persecución de ángulos triángulo isósceles transformación

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Sea $O$ el centro; entonces $OA = OE$ y $\angle AOE = 20^\circ$ .

Let $O$ be the center; then $OA = OE$ and $\angle AOE = 20^\circ$

Pista grande:

El triángulo $OAE$ es isósceles, y la diagonal $AO$ forma un ángulo de $45^\circ$ con $AB$ .

Triangle $OAE$ is isosceles, and the diagonal $AO$ makes a $45^\circ$ angle with $AB$

Solución:

Sea $O$ el centro común. La rotación lleva $A$ a $E,$ así que $OA = OE$ y $\angle AOE = 20^\circ.$ Eso hace que el triángulo $OAE$ sea isósceles, con ángulos base $\angle OAE = \frac{180^\circ - 20^\circ}{2} = 80^\circ.$ La diagonal $AC$ divide el ángulo recto en $A,$ así que $\angle OAB = 45^\circ.$ Restando, $\angle EAB = 80^\circ - 45^\circ = 35^\circ.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $O$ be the shared center. The rotation carries $A$ to $E,$ so $OA = OE$ and $\angle AOE = 20^\circ.$ That makes triangle $OAE$ isosceles, with base angles $\angle OAE = \frac{180^\circ - 20^\circ}{2} = 80^\circ.$ The diagonal $AC$ splits the right angle at $A,$ so $\angle OAB = 45^\circ.$ Subtracting, $\angle EAB = 80^\circ - 45^\circ = 35^\circ.$ Thus, B is the correct answer.

8.

¿Cuál es la cifra de las unidades de la siguiente expresión? $2022^{2023} + 2023^{2022}?$

What is the units digit of $2022^{2023} + 2023^{2022}?$

$7$

$1$

$9$

$5$

$3$

Respuesta: A

Conceptos:dígito de las unidades aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Las cifras de las unidades de las potencias de $2$ ciclan $2, 4, 8, 6;$ las potencias de $3$ ciclan $3, 9, 7, 1$ .

Units digits of powers of $2$ cycle $2, 4, 8, 6;$ powers of $3$ cycle $3, 9, 7, 1$

Pista grande:

Reduce cada exponente módulo $4,$ luego suma las dos cifras de las unidades.

Reduce each exponent modulo $4,$ then add the two units digits

Solución:

Solo importan las cifras de las unidades. Las potencias de $2$ ciclan $2, 4, 8, 6$ con periodo $4,$ y $2023 \equiv 3 \pmod 4,$ así que $2022^{2023}$ termina en $8.$ Las potencias de $3$ ciclan $3, 9, 7, 1,$ y $2022 \equiv 2 \pmod 4,$ así que $2023^{2022}$ termina en $9.$ Súmalas: $8 + 9 = 17,$ así que la cifra de las unidades es $7.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

Only the units digits matter. Powers of $2$ cycle $2, 4, 8, 6$ with period $4,$ and $2023 \equiv 3 \pmod 4,$ so $2022^{2023}$ ends in $8.$ Powers of $3$ cycle $3, 9, 7, 1,$ and $2022 \equiv 2 \pmod 4,$ so $2023^{2022}$ ends in $9.$ Add them: $8 + 9 = 17,$ so the units digit is $7.$ Therefore, the answer is A.

9.

Los números $16$ y $25$ son un par de cuadrados perfectos positivos consecutivos cuya diferencia es $9.$ ¿Cuántos pares de cuadrados perfectos positivos consecutivos tienen una diferencia menor o igual que $2023$ ?

The numbers $16$ and $25$ are a pair of consecutive positive perfect squares whose difference is $9.$ How many pairs of consecutive positive perfect squares have a difference of less than or equal to $2023?$

$674$

$1011$

$1010$

$2019$

$2017$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrado perfecto diferencia de cuadrados conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Los cuadrados consecutivos $k^2$ y $(k+1)^2$ difieren en $2k+1$ .

Consecutive squares $k^2$ and $(k+1)^2$ differ by $2k+1$

Pista grande:

Resuelve $2k + 1 \le 2023$ para los enteros positivos $k$ .

Solve $2k + 1 \le 2023$ for positive integers $k$

Solución:

Los cuadrados consecutivos $k^2$ y $(k+1)^2$ difieren en $(k+1)^2 - k^2 = 2k + 1.$ Necesitamos $2k + 1 \le 2023,$ lo que da $k \le 1011.$ Así que $k$ recorre $1, 2, \ldots, 1011,$ para $1011$ pares. Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Consecutive squares $k^2$ and $(k+1)^2$ differ by $(k+1)^2 - k^2 = 2k + 1.$ We need $2k + 1 \le 2023,$ which gives $k \le 1011.$ So $k$ runs $1, 2, \ldots, 1011,$ for $1011$ pairs. Thus, B is the correct answer.

10.

Estás jugando un juego. Un rectángulo $2 \times 1$ cubre dos casillas adyacentes (orientado ya sea horizontal o verticalmente) de una cuadrícula de casillas $3 \times 3$ , pero no te dicen cuáles dos casillas están cubiertas. Tu objetivo es encontrar al menos una casilla que esté cubierta por el rectángulo. Un “turno” consiste en que adivinas una casilla, tras lo cual te dicen si esa casilla está cubierta por el rectángulo oculto. ¿Cuál es el número mínimo de turnos que necesitas para garantizar que al menos una de tus casillas adivinadas esté cubierta por el rectángulo?

You are playing a game. A $2 \times 1$ rectangle covers two adjacent squares (oriented either horizontally or vertically) of a $3 \times 3$ grid of squares, but you are not told which two squares are covered. Your goal is to find at least one square that is covered by the rectangle. A “turn” consists of you guessing a square, after which you are told whether that square is covered by the hidden rectangle. What is the minimum number of turns you need to ensure that at least one of your guessed squares is covered by the rectangle?

$3$

$5$

$4$

$8$

$6$

Respuesta: C

Conceptos:juego combinatorio argumento extremal

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Si ninguna de tus casillas adivinadas está cubierta, las dos casillas cubiertas están entre las casillas que no adivinaste.

If none of your guesses is covered, the two covered squares lie among the squares you did not guess

Pista grande:

Las casillas no adivinadas no deben tener dos adyacentes; la mayor cantidad de casillas no adyacentes en una cuadrícula $3\times 3$ es $5$ .

The unguessed squares must have no two adjacent; the most non-adjacent squares in a $3\times 3$ grid is $5$

Solución:

Supón que toda adivinanza falla. Entonces el dominó queda por completo sobre casillas no adivinadas, así que esas casillas incluyen dos celdas adyacentes. Para forzar un acierto, necesitamos que las casillas no adivinadas no tengan dos adyacentes. Colorea la cuadrícula como un tablero de ajedrez. El mayor conjunto de casillas mutuamente no adyacentes tiene $5$ celdas, las de un solo color: las cuatro esquinas y el centro. Así que debemos adivinar al menos $9 - 5 = 4$ casillas. Y $4$ bastan: adivina los cuatro puntos medios de los lados, ya que todo dominó cubre una casilla de cada color, y por tanto un punto medio de lado. Por lo tanto, la respuesta es C.

Suppose every guess misses. Then the domino lies entirely on unguessed squares, so those squares include two adjacent cells. To force a hit, we need the unguessed squares to have no two adjacent. Color the grid like a checkerboard. The biggest set of pairwise non-adjacent squares has $5$ cells, one color’s worth: the four corners and the center. So we must guess at least $9 - 5 = 4$ squares. And $4$ is enough: guess the four edge midpoints, since every domino covers one square of each color, hence one edge midpoint. Therefore, the answer is C.

11.

Suzanne fue al banco y retiró $\$800.$ El cajero le dio esta cantidad usando billetes de $\$20,$ billetes de $\$50$ y billetes de $\$100,$ con al menos uno de cada denominación. ¿Cuántas colecciones diferentes de billetes pudo haber recibido Suzanne?

Suzanne went to the bank and withdrew $\$800.$ The teller gave her this amount using $\$20$ bills, $\$50$ bills, and $\$100$ bills, with at least one of each denomination. How many different collections of bills could Suzanne have received?

$45$

$21$

$36$

$28$

$32$

Respuesta: B

Conceptos:Ecuación diofántica paridad conteo básico

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Divide $20a + 50b + 100c = 800$ entre $10;$ la paridad entonces obliga a que el número de billetes de $\$50$ sea par.

Divide $20a + 50b + 100c = 800$ by $10;$ parity then forces the number of $\$50$ bills to be even

Pista grande:

Escribiendo $b = 2t,$ cuenta los pares de enteros positivos $(t, c)$ con $t + c \le 7$ .

Writing $b = 2t,$ count positive integer pairs $(t, c)$ with $t + c \le 7$

Solución:

Sean $a, b, c \ge 1$ el número de billetes de $\$20, \$50, \$100$ . Entonces $20a + 50b + 100c = 800,$ que se reduce a $2a + 5b + 10c = 80.$ Tanto $2a$ como $10c$ son pares, así que $5b$ también lo es, forzando $b = 2t.$ Ahora $a = 40 - 5t - 5c \ge 1$ significa $t + c \le 7.$ Con $t, c \ge 1,$ el número de pares es $1 + 2 + \cdots + 6 = 21.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $a, b, c \ge 1$ count the $\$20, \$50, \$100$ bills. Then $20a + 50b + 100c = 800,$ which divides down to $2a + 5b + 10c = 80.$ Both $2a$ and $10c$ are even, so $5b$ is too, forcing $b = 2t.$ Now $a = 40 - 5t - 5c \ge 1$ means $t + c \le 7.$ With $t, c \ge 1,$ the pairs number $1 + 2 + \cdots + 6 = 21.$ Thus, B is the correct answer.

12.

Cuando las raíces del polinomio $P(x) = (x-1)^1(x-2)^2(x-3)^3 \cdots (x-10)^{10}$ se eliminan de la recta de los números reales, lo que queda es la unión de $11$ intervalos abiertos disjuntos. ¿En cuántos de esos intervalos es $P(x)$ positivo?

When the roots of the polynomial $P(x) = (x-1)^1(x-2)^2(x-3)^3 \cdots (x-10)^{10}$ are removed from the real number line, what remains is the union of $11$ disjoint open intervals. On how many of those intervals is $P(x)$ positive?

$3$

$7$

$6$

$4$

$5$

Respuesta: C

Conceptos:polinomio paridad desigualdad

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Para $x \gt 10$ todo factor es positivo; el signo de $P$ solo puede cambiar en una raíz.

For $x \gt 10$ every factor is positive; the sign of $P$ can only change at a root

Pista grande:

Cruzar la raíz $x = i$ invierte el signo exactamente cuando el exponente $i$ es impar.

Crossing the root $x = i$ flips the sign exactly when the exponent $i$ is odd

Solución:

Para $x \gt 10,$ todo factor $(x - i)^i$ es positivo, así que $P(x) \gt 0.$ Ahora muévete a la izquierda. Cruzar $x = i$ invierte el signo solo cuando $i$ es impar, es decir en $i = 9, 7, 5, 3, 1.$ Así que los once intervalos, de derecha a izquierda, tienen signos $+, +, -, -, +, +, -, -, +, +, -.$ Seis son positivos. Por lo tanto, la respuesta es C.

For $x \gt 10,$ every factor $(x - i)^i$ is positive, so $P(x) \gt 0.$ Now move left. Crossing $x = i$ flips the sign only when $i$ is odd, that is at $i = 9, 7, 5, 3, 1.$ So the eleven intervals, right to left, carry signs $+, +, -, -, +, +, -, -, +, +, -.$ Six are positive. Therefore, the answer is C.

13.

¿Cuál es el área de la región en el plano de coordenadas definida por la siguiente desigualdad? $\bigl||x| - 1\bigr| + \bigl||y| - 1\bigr| \le 1?$

What is the area of the region in the coordinate plane defined by the inequality $\bigl||x| - 1\bigr| + \bigl||y| - 1\bigr| \le 1?$

$2$

$8$

$4$

$15$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:valor absoluto geometría analítica área simetría

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Sustituye $u = |x|$ y $v = |y|;$ entonces $|u - 1| + |v - 1| \le 1$ es un rombo.

Substitute $u = |x|$ and $v = |y|;$ then $|u - 1| + |v - 1| \le 1$ is a diamond

Pista grande:

Reflejar la parte del primer cuadrante sobre ambos ejes la copia $4$ veces.

Reflecting the first-quadrant piece across both axes copies it $4$ times

Solución:

Sustituye $u = |x|,$ $v = |y|.$ Entonces $|u - 1| + |v - 1| \le 1$ es un rombo centrado en $(1, 1)$ con diagonales de longitud $2,$ así que tiene área $2,$ y queda por completo en $u, v \ge 0.$ La aplicación $(x, y) \mapsto (|x|, |y|)$ es cuatro a uno sobre $u, v \gt 0,$ así que la región completa tiene área $4 \times 2 = 8.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Substitute $u = |x|,$ $v = |y|.$ Then $|u - 1| + |v - 1| \le 1$ is a diamond centered at $(1, 1)$ with diagonals of length $2,$ so it has area $2,$ and it sits entirely in $u, v \ge 0.$ The map $(x, y) \mapsto (|x|, |y|)$ is four-to-one over $u, v \gt 0,$ so the full region has area $4 \times 2 = 8.$ Thus, B is the correct answer.

14.

¿Cuántos pares ordenados de enteros $(m, n)$ satisfacen la siguiente ecuación? $m^2 + mn + n^2 = m^2 n^2?$

How many ordered pairs of integers $(m, n)$ satisfy the equation $m^2 + mn + n^2 = m^2 n^2?$

$7$

$1$

$3$

$6$

$5$

Respuesta: C

Conceptos:Ecuación diofántica acotación a casos límite análisis por casos

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Si $m = 0$ entonces $n = 0;$ de lo contrario supón $|m| \le |n|$ .

If $m = 0$ then $n = 0;$ otherwise assume $|m| \le |n|$

Pista grande:

Entonces $m^2 n^2 = m^2 + mn + n^2 \le 3n^2$ obliga a $m^2 \le 3$ .

Then $m^2 n^2 = m^2 + mn + n^2 \le 3n^2$ forces $m^2 \le 3$

Solución:

Si $m = 0,$ la ecuación fuerza $n^2 = 0,$ dando $(0, 0).$ De lo contrario ambos son distintos de cero; supón $|m| \le |n|.$ Entonces $m^2 n^2 = m^2 + mn + n^2 \le 3n^2,$ así que $m^2 \le 3$ y $m = \pm 1.$ Toma $m = 1:$ $1 + n + n^2 = n^2$ da $n = -1.$ Toma $m = -1:$ $n = 1.$ Eso deja $(0,0), (1,-1), (-1,1),$ tres en total. Por lo tanto, la respuesta es C.

If $m = 0,$ the equation forces $n^2 = 0,$ giving $(0, 0).$ Otherwise both are nonzero; assume $|m| \le |n|.$ Then $m^2 n^2 = m^2 + mn + n^2 \le 3n^2,$ so $m^2 \le 3$ and $m = \pm 1.$ Take $m = 1:$ $1 + n + n^2 = n^2$ gives $n = -1.$ Take $m = -1:$ $n = 1.$ That leaves $(0,0), (1,-1), (-1,1),$ three in all. Therefore, the answer is C.

15.

¿Cuál es el menor entero positivo $m$ tal que $m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16!$ sea un cuadrado perfecto?

What is the least positive integer $m$ such that $m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16!$ is a perfect square?

$30$

$30030$

$70$

$1430$

$1001$

Respuesta: C

Conceptos:cuadrado perfecto factorización en primos factorial emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Empareja los factoriales: $(2k)! \cdot (2k+1)!$ $= \bigl((2k)!\bigr)^2 (2k+1),$ un cuadrado por un número impar.

Pair the factorials: $(2k)! \cdot (2k+1)!$ $= \bigl((2k)!\bigr)^2 (2k+1),$ a square times an odd number

Pista grande:

Los factores impares sobrantes y $16!$ determinan qué primos aparecen a una potencia impar.

The leftover odd factors and $16!$ determine which primes appear to an odd power

Solución:

Agrupa el producto como $(2!\,3!)(4!\,5!)\cdots(14!\,15!)\cdot 16!.$ Como $(2k)!(2k+1)!$ $= \bigl((2k)!\bigr)^2(2k+1),$ cada par es un cuadrado perfecto por un número impar. Esos números impares $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$ se multiplican dando $3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13,$ con parte libre de cuadrados $7 \cdot 11 \cdot 13.$ Y $16! = 2^{15} 3^6 5^3 7^2 \cdot 11 \cdot 13$ tiene parte libre de cuadrados $2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13.$ Multiplica ambas: la parte libre de cuadrados de todo el producto es $2 \cdot 5 \cdot 7.$ Ese es el menor $m,$ a saber $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Group the product as $(2!\,3!)(4!\,5!)\cdots(14!\,15!)\cdot 16!.$ Since $(2k)!(2k+1)!$ $= \bigl((2k)!\bigr)^2(2k+1),$ each pair is a perfect square times an odd number. Those odd numbers $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$ multiply to $3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13,$ with squarefree part $7 \cdot 11 \cdot 13.$ And $16! = 2^{15} 3^6 5^3 7^2 \cdot 11 \cdot 13$ has squarefree part $2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13.$ Multiply the two: the squarefree part of the whole thing is $2 \cdot 5 \cdot 7.$ That’s the smallest $m,$ namely $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70.$ Thus, C is the correct answer.

16.

Define un subno como un entero positivo de $2$ o más cifras donde las cifras son estrictamente crecientes de izquierda a derecha. De manera similar, define un bajno como un entero positivo de $2$ o más cifras donde las cifras son estrictamente decrecientes de izquierda a derecha. Por ejemplo, el número $258$ es un subno y $8620$ es un bajno. Sea $U$ el número total de subnos y sea $D$ el número total de bajnos. ¿Cuánto vale $|U - D|$ ?

Define an upno to be a positive integer of $2$ or more digits where the digits are strictly increasing moving left to right. Similarly, define a downno to be a positive integer of $2$ or more digits where the digits are strictly decreasing moving left to right. For instance, the number $258$ is an upno and $8620$ is a downno. Let $U$ equal the total number of upnos and let $D$ equal the total number of downnos. What is $|U - D|?$

$512$

$10$

$0$

$9$

$511$

Respuesta: E

Conceptos:subconjuntos dígitos

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Cada número de este tipo es simplemente una elección de su conjunto de cifras, escrito en el orden requerido.

Each such number is just a choice of its set of digits, written in the required order

Pista grande:

Los números crecientes usan cifras de $\{1, \ldots, 9\};$ los números decrecientes también pueden incluir un $0$ al final.

Increasing numbers use digits from $\{1, \ldots, 9\};$ decreasing numbers may also include a trailing $0$

Solución:

Un subno es simplemente una elección de al menos $2$ cifras, escritas en orden creciente. Un $0$ nunca puede aparecer: no puede ir al frente ni seguir a una cifra menor. Así que las cifras provienen de $\{1, \ldots, 9\},$ dando $U = 2^9 - 1 - 9 = 502.$ Un bajno puede terminar en $0,$ así que sus cifras son cualquier subconjunto de $\{0, \ldots, 9\}$ de tamaño $\ge 2,$ dando $D = 2^{10} - 1 - 10 = 1013.$ Así que $|U - D| = |502 - 1013| = 511.$ Por lo tanto, la respuesta es E.

An upno is just a choice of at least $2$ digits, written in increasing order. A $0$ can never appear: it can’t lead and can’t follow a smaller digit. So the digits come from $\{1, \ldots, 9\},$ giving $U = 2^9 - 1 - 9 = 502.$ A downno can end in $0,$ so its digits are any subset of $\{0, \ldots, 9\}$ of size $\ge 2,$ giving $D = 2^{10} - 1 - 10 = 1013.$ So $|U - D| = |502 - 1013| = 511.$ Therefore, the answer is E.

17.

Una caja rectangular $\mathcal{P}$ tiene longitudes de arista distintas $a,$ $b,$ y $c.$ La suma de las longitudes de las $12$ aristas de $\mathcal{P}$ es $13,$ la suma de las áreas de las $6$ caras de $\mathcal{P}$ es $\frac{11}{2},$ y el volumen de $\mathcal{P}$ es $\frac{1}{2}.$ ¿Cuál es la longitud de la diagonal interior más larga que une dos vértices de $\mathcal{P}$ ?

A rectangular box $\mathcal{P}$ has distinct edge lengths $a,$ $b,$ and $c.$ The sum of the lengths of all $12$ edges of $\mathcal{P}$ is $13,$ the sum of the areas of all $6$ faces of $\mathcal{P}$ is $\frac{11}{2},$ and the volume of $\mathcal{P}$ is $\frac{1}{2}.$ What is the length of the longest interior diagonal connecting two vertices of $\mathcal{P}?$

$2$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{9}{8}$

$\dfrac{9}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

Respuesta: D

Conceptos:prisma rectangular manipulación algebraica Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

La suma de aristas da $a + b + c$ y la suma de áreas de caras da $ab + bc + ca$ .

The edge sum gives $a + b + c$ and the face-area sum gives $ab + bc + ca$

Pista grande:

La diagonal es $\sqrt{a^2+b^2+c^2};$ desarrolla $(a+b+c)^2$ para recuperar su radicando a partir de las dos sumas simétricas conocidas.

The diagonal is $\sqrt{a^2+b^2+c^2};$ expand $(a+b+c)^2$ to recover its radicand from the two known symmetric sums

Solución:

Las $12$ aristas dan $4(a + b + c) = 13,$ así que $a + b + c = \frac{13}{4}.$ Las $6$ caras dan $2(ab + bc + ca) = \frac{11}{2},$ así que $ab + bc + ca = \frac{11}{4}.$ La diagonal espacial es $\begin{gathered} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \\ = \small \sqrt{(a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)} \\ = \sqrt{\frac{169}{16} - \frac{11}{2}} \\ = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4}. \end{gathered}$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The $12$ edges give $4(a + b + c) = 13,$ so $a + b + c = \frac{13}{4}.$ The $6$ faces give $2(ab + bc + ca) = \frac{11}{2},$ so $ab + bc + ca = \frac{11}{4}.$ The space diagonal is $\begin{gathered} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \\ = \small \sqrt{(a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)} \\ = \sqrt{\frac{169}{16} - \frac{11}{2}} \\ = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4}. \end{gathered}$ Thus, D is the correct answer.

18.

Supón que $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos tales que $\frac{a}{14} + \frac{b}{15} = \frac{c}{210}.$ ¿Cuáles de los siguientes enunciados son necesariamente verdaderos?

I. Si $\gcd(a, 14) = 1$ o $\gcd(b, 15) = 1$ o ambos, entonces $\gcd(c, 210) = 1.$

II. Si $\gcd(c, 210) = 1,$ entonces $\gcd(a, 14) = 1$ o $\gcd(b, 15) = 1$ o ambos.

III. $\gcd(c, 210) = 1$ si y solo si $\gcd(a, 14) = \gcd(b, 15) = 1.$

Suppose $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers such that $\frac{a}{14} + \frac{b}{15} = \frac{c}{210}.$ Which of the following statements are necessarily true?

I. If $\gcd(a, 14) = 1$ or $\gcd(b, 15) = 1$ or both, then $\gcd(c, 210) = 1.$

II. If $\gcd(c, 210) = 1,$ then $\gcd(a, 14) = 1$ or $\gcd(b, 15) = 1$ or both.

III. $\gcd(c, 210) = 1$ if and only if $\gcd(a, 14) = \gcd(b, 15) = 1.$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II},$ and $\mathrm{III}$

Solo $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

Solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ only

Solo $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

Solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

Respuesta: E

Conceptos:máximo común divisor aritmética modular deducción lógica

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Elimina los denominadores para obtener $c = 15a + 14b,$ luego reduce módulo $2, 3, 5, 7$ .

Clear denominators to get $c = 15a + 14b,$ then reduce modulo $2, 3, 5, 7$

Pista grande:

$\gcd(c, 210) = 1$ impone condiciones sobre $a$ módulo $2, 7$ y sobre $b$ módulo $3, 5$ .

$\gcd(c, 210) = 1$ forces conditions on $a$ modulo $2, 7$ and on $b$ modulo $3, 5$

Solución:

Elimina los denominadores para obtener $c = 15a + 14b.$ Reduce módulo los primos de $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7:$ $c \equiv a \pmod 2,$ $c \equiv 2b \pmod 3,$ $c \equiv 4b \pmod 5,$ y $c \equiv a \pmod 7.$ Así que $\gcd(c, 210) = 1$ si y solo si $a$ no es divisible ni por $2$ ni por $7$ y $b$ no es divisible ni por $3$ ni por $5,$ lo que es exactamente $\gcd(a, 14) = 1$ y $\gcd(b, 15) = 1.$ Eso resuelve III, y hace verdadero II ya que el “y” implica el “o”. El enunciado I falla, sin embargo: toma $a = 1, b = 3.$ Entonces $\gcd(a, 14) = 1,$ pero $c = 57$ es divisible entre $3.$ Así que solo II y III se cumplen. Por lo tanto, la respuesta es E.

Clear denominators to get $c = 15a + 14b.$ Reduce modulo the primes of $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7:$ $c \equiv a \pmod 2,$ $c \equiv 2b \pmod 3,$ $c \equiv 4b \pmod 5,$ and $c \equiv a \pmod 7.$ So $\gcd(c, 210) = 1$ iff $a$ is divisible by neither $2$ nor $7$ and $b$ is divisible by neither $3$ nor $5,$ which is exactly $\gcd(a, 14) = 1$ and $\gcd(b, 15) = 1.$ That settles III, and it makes II true since the “and” implies the “or.” Statement I fails, though: take $a = 1, b = 3.$ Then $\gcd(a, 14) = 1,$ yet $c = 57$ is divisible by $3.$ So only II and III hold. Therefore, the answer is E.

19.

La rana Sonya elige un punto de forma uniforme al azar dentro del cuadrado $[0, 6] \times [0, 6]$ en el plano de coordenadas y salta a ese punto. Luego elige una distancia de forma uniforme al azar de $[0, 1]$ y una dirección de forma uniforme al azar de $\{\text{norte}, \text{sur}, \text{este}, \text{oeste}\}.$ Todas sus elecciones son independientes. Ahora salta la distancia en la dirección elegida. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga fuera del cuadrado?

Sonya the frog chooses a point uniformly at random lying within the square $[0, 6] \times [0, 6]$ in the coordinate plane and hops to that point. She then chooses a distance uniformly at random from $[0, 1]$ and a direction uniformly at random from $\{\text{north}, \text{south}, \text{east}, \text{west}\}.$ All her choices are independent. She now hops the distance in the chosen direction. What is the probability that she lands outside the square?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{9}$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad geométrica simetría

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Por simetría, condiciona a una dirección, digamos este; solo importa la coordenada hacia ese borde.

By symmetry, condition on one direction, say east; only the coordinate toward that edge matters

Pista grande:

Para una distancia de salto fija $d,$ la caída queda fuera con probabilidad $\frac{d}{6};$ promedia sobre $d$ .

For a fixed hop distance $d,$ the landing is outside with probability $\frac{d}{6};$ average over $d$

Solución:

Las cuatro direcciones se comportan igual por simetría, así que digamos que salta al este. Cae fuera exactamente cuando su coordenada $x$ más la distancia de salto $d$ supera $6.$ Fija $d.$ Su coordenada $x$ es uniforme en $[0, 6],$ así que supera $6 - d$ con probabilidad $\frac{d}{6}.$ Ahora promedia sobre $d$ uniforme en $[0, 1]:$ $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The four directions behave the same by symmetry, so say she hops east. She lands outside exactly when her $x$ -coordinate plus the hop distance $d$ tops $6.$ Fix $d.$ Her $x$ -coordinate is uniform on $[0, 6],$ so it beats $6 - d$ with probability $\frac{d}{6}.$ Now average over $d$ uniform on $[0, 1]:$ $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}.$ Thus, B is the correct answer.

20.

Se dibujan cuatro semicírculos congruentes sobre la superficie de una esfera de radio $2,$ como se muestra, creando una curva cerrada que divide la superficie en dos regiones congruentes. La longitud de la curva es $\pi\sqrt{n}.$ ¿Cuánto vale $n$ ?

Four congruent semicircles are drawn on the surface of a sphere with radius $2,$ as shown, creating a closed curve that divides the surface into two congruent regions. The length of the curve is $\pi\sqrt{n}.$ What is $n?$

$32$

$12$

$48$

$36$

$27$

Respuesta: A

Conceptos:esfera arco Geometría 3D

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

La curva cerrada consta de cuatro arcos semicirculares congruentes, así que su longitud es $4$ veces la longitud de un semicírculo $\pi r,$ donde $r$ es el radio del arco.

The closed curve is four congruent semicircular arcs, so its length is $4$ times one semicircle’s length $\pi r,$ where $r$ is the arc radius

Pista grande:

Los cuatro extremos de los arcos forman un cuadrado inscrito en un círculo máximo, así que el diámetro de cada arco es una cuerda de longitud $2\sqrt2,$ haciendo que el radio del arco sea $\sqrt2$ .

The four arc endpoints form a square inscribed in a great circle, so each arc’s diameter is a chord of length $2\sqrt2,$ making the arc radius $\sqrt2$

Solución:

La curva consta de cuatro arcos semicirculares congruentes, así que su longitud es $4$ veces un semicírculo, $\pi r,$ donde $r$ es el radio del arco. Los arcos se encuentran en cuatro puntos que forman un cuadrado inscrito en un círculo máximo de la esfera de radio $2$ , y el diámetro de cada arco es un lado de ese cuadrado, una cuerda de longitud $2\sqrt2.$ Así que $r = \sqrt2.$ (Compruébalo de otra manera: el círculo pequeño está en un plano a distancia $\frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$ del centro, dando radio $\sqrt{2^2 - (\sqrt2)^2} = \sqrt2.$ ) La longitud total es $4 \cdot \pi\sqrt2 = \pi\sqrt{32},$ así que $n = 32.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

The curve is four congruent semicircular arcs, so its length is $4$ times one semicircle, $\pi r,$ where $r$ is the arc radius. The arcs meet at four points that form a square inscribed in a great circle of the radius- $2$ sphere, and each arc’s diameter is a side of that square, a chord of length $2\sqrt2.$ So $r = \sqrt2.$ (Check it another way: the small circle sits in a plane at distance $\frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$ from the center, giving radius $\sqrt{2^2 - (\sqrt2)^2} = \sqrt2.$ ) The total length is $4 \cdot \pi\sqrt2 = \pi\sqrt{32},$ so $n = 32.$ Therefore, the answer is A.

21.

Cada una de $2023$ bolas se coloca al azar en una de $3$ cajas. ¿Cuál de las siguientes opciones está más cerca de la probabilidad de que cada una de las cajas contenga un número impar de bolas?

Each of $2023$ balls is randomly placed into one of $3$ bins. Which of the following is closest to the probability that each of the bins will contain an odd number of balls?

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{4}$

Respuesta: E

Conceptos:raíces de la unidad paridad probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Codifica “conteo impar” en cada caja con un filtro de signos $\pm 1$ , reemplazando la imparidad por $\frac{1 - (-1)^k}{2}$ .

Encode “odd count” in each bin with a $\pm 1$ sign filter, replacing oddness by $\frac{1 - (-1)^k}{2}$

Pista grande:

Esto da $\frac{1}{8}\sum_{s \in \{\pm 1\}^3}(s_1 s_2 s_3)$ $\cdot (s_1 + s_2 + s_3)^{2023};$ solo $(1,1,1)$ y $(-1,-1,-1)$ dan términos grandes.

This gives $\frac{1}{8}\sum_{s \in \{\pm 1\}^3}(s_1 s_2 s_3)$ $\cdot (s_1 + s_2 + s_3)^{2023};$ only $(1,1,1)$ and $(-1,-1,-1)$ give large terms

Solución:

Las $3^{2023}$ asignaciones son igualmente probables. Un filtro de signos cuenta las que tienen cada caja impar: $\frac{1}{8}\sum_{s \in \{\pm 1\}^3}(s_1 s_2 s_3)$ $\cdot (s_1 + s_2 + s_3)^{2023}.$ Para $s = (1,1,1)$ y $s = (-1,-1,-1),$ ambos términos valen $3^{2023}.$ Para cada otra elección de signos, la suma entre paréntesis es $1$ o $-1,$ y el término completo vale $-1,$ así que estos seis términos suman $-6.$ Por lo tanto el conteo es $\frac{2 \cdot 3^{2023} - 6}{8} = \frac{3^{2023} - 3}{4}.$ Al dividir, la probabilidad es $\frac{3^{2023} - 3}{4 \cdot 3^{2023}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \cdot 3^{2022}},$ apenas por debajo de $\frac{1}{4}.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

All $3^{2023}$ assignments are equally likely. A sign filter counts the ones with every bin odd: $\frac{1}{8}\sum_{s \in \{\pm 1\}^3}(s_1 s_2 s_3)$ $\cdot (s_1 + s_2 + s_3)^{2023}.$ For $s = (1,1,1)$ and $s = (-1,-1,-1),$ both terms equal $3^{2023}.$ For each other sign choice, the sum in parentheses is $1$ or $-1,$ and the full term equals $-1,$ so these six terms total $-6.$ Thus the count is $\frac{2 \cdot 3^{2023} - 6}{8} = \frac{3^{2023} - 3}{4}.$ Dividing, the probability is $\frac{3^{2023} - 3}{4 \cdot 3^{2023}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \cdot 3^{2022}},$ a hair under $\frac{1}{4}.$ Thus, E is the correct answer.

22.

¿Cuántos valores distintos de $x$ satisfacen $\lfloor x \rfloor^2 - 3x + 2 = 0,$ donde $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ ?

How many distinct values of $x$ satisfy $\lfloor x \rfloor^2 - 3x + 2 = 0,$ where $\lfloor x \rfloor$ denotes the largest integer less than or equal to $x?$

un número infinito

an infinite number

$4$

$2$

$3$

$0$

Respuesta: B

Conceptos:funciones piso y techo sustitución acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Haz $n = \lfloor x \rfloor;$ entonces $x = \frac{n^2 + 2}{3}$ .

Set $n = \lfloor x \rfloor;$ then $x = \frac{n^2 + 2}{3}$

Pista grande:

Exige $n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1$ y encuentra los enteros $n$ que funcionan.

Require $n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1$ and find the integers $n$ that work

Solución:

Haz $n = \lfloor x \rfloor.$ Entonces $n^2 - 3x + 2 = 0$ da $x = \frac{n^2 + 2}{3}.$ Para que esto sea consistente necesitamos $n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1.$ El lado izquierdo, $n^2 - 3n + 2 \ge 0,$ se cumple para todo entero $n.$ El lado derecho, $n^2 - 3n - 1 \lt 0,$ se cumple solo para $n \in \{0, 1, 2, 3\}.$ Esos dan $x = \frac{2}{3}, 1, 2, \frac{11}{3},$ así que hay $4$ valores distintos. Por lo tanto, la respuesta es B.

Set $n = \lfloor x \rfloor.$ Then $n^2 - 3x + 2 = 0$ gives $x = \frac{n^2 + 2}{3}.$ For this to be consistent we need $n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1.$ The left side, $n^2 - 3n + 2 \ge 0,$ holds for every integer $n.$ The right side, $n^2 - 3n - 1 \lt 0,$ holds only for $n \in \{0, 1, 2, 3\}.$ Those give $x = \frac{2}{3}, 1, 2, \frac{11}{3},$ so there are $4$ distinct values. Therefore, the answer is B.

23.

Una progresión aritmética de enteros positivos tiene $n \ge 3$ términos, término inicial $a,$ y diferencia común $d \gt 1.$ Carl escribió correctamente todos los términos de esta progresión salvo uno, que quedó desviado en $1.$ La suma de los términos que escribió fue $222.$ ¿Cuánto valía $a + d + n$ ?

An arithmetic sequence of positive integers has $n \ge 3$ terms, initial term $a,$ and common difference $d \gt 1.$ Carl wrote down all the terms in this sequence correctly except for one term, which was off by $1.$ The sum of the terms he wrote down was $222.$ What is $a + d + n?$

$24$

$20$

$22$

$28$

$26$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética Ecuación diofántica factorización en primos

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

La suma escrita difiere de la suma verdadera $S$ en $1,$ así que $S = 221$ o $223$ .

The written sum differs from the true sum $S$ by $1,$ so $S = 221$ or $223$

Pista grande:

Como $2S = n\bigl(2a + (n-1)d\bigr),$ factoriza $S$ y usa $n \ge 3,$ $d \gt 1,$ $a \ge 1$ .

Since $2S = n\bigl(2a + (n-1)d\bigr),$ factor $S$ and use $n \ge 3,$ $d \gt 1,$ $a \ge 1$

Solución:

La suma verdadera es $S = na + \frac{n(n-1)}{2}d.$ Como un término está desviado en $1,$ el total escrito satisface $222 = S \pm 1,$ así que $S = 221$ o $223.$ Además $2S = n\bigl(2a + (n-1)d\bigr),$ así que $n$ divide a $2S.$ Como $a \ge 1$ y $d \ge 2,$ tenemos $2S \ge 2n^2,$ de donde $n^2 \le S.$ Para $S = 223,$ ningún divisor de $446$ está entre $3$ y $\sqrt{223}.$ Para $S = 221 = 13 \cdot 17,$ el único divisor de $442$ en este rango es $n = 13.$ Así $2a + 12d = 34,$ o $a + 6d = 17.$ Como $a$ y $d$ son enteros positivos con $d \gt 1,$ obtenemos $a = 5,$ $d = 2.$ Entonces $a + d + n = 5 + 2 + 13 = 20.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The true sum is $S = na + \frac{n(n-1)}{2}d.$ Since one term is off by $1,$ the written total satisfies $222 = S \pm 1,$ so $S = 221$ or $223.$ Also $2S = n\bigl(2a + (n-1)d\bigr),$ so $n$ divides $2S.$ Since $a \ge 1$ and $d \ge 2,$ we have $2S \ge 2n^2,$ hence $n^2 \le S.$ For $S = 223,$ no divisor of $446$ lies between $3$ and $\sqrt{223}.$ For $S = 221 = 13 \cdot 17,$ the only divisor of $442$ in this range is $n = 13.$ Thus $2a + 12d = 34,$ or $a + 6d = 17.$ Since $a$ and $d$ are positive integers with $d \gt 1,$ we get $a = 5,$ $d = 2.$ Then $a + d + n = 5 + 2 + 13 = 20.$ Thus, B is the correct answer.

24.

¿Cuál es el perímetro de la frontera de la región formada por todos los puntos que pueden expresarse como $(2u - 3w,\ v + 4w)$ con $0 \le u \le 1,$ $0 \le v \le 1,$ y $0 \le w \le 1$ ?

What is the perimeter of the boundary of the region consisting of all points which can be expressed as $(2u - 3w,\ v + 4w)$ with $0 \le u \le 1,$ $0 \le v \le 1,$ and $0 \le w \le 1?$

$10\sqrt{3}$

$13$

$12$

$18$

$16$

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica vector perímetro

Nivel de dificultad: 2470

Pista pequeña:

Al fijar $w,$ el par $(u, v)$ barre un rectángulo $2 \times 1$ ; variar $w$ lo desliza a lo largo de $(-3, 4)$ .

Fixing $w,$ the pair $(u, v)$ sweeps a $2 \times 1$ rectangle; varying $w$ slides it along $(-3, 4)$

Pista grande:

La frontera es un hexágono cuyos lados opuestos miden $2, 1,$ y $\sqrt{(-3)^2+4^2}$ .

The boundary is a hexagon with opposite side lengths $2, 1,$ and $\sqrt{(-3)^2+4^2}$

Solución:

Fija $w.$ Cuando $u, v$ barren $[0, 1]^2,$ el punto $(2u - 3w,\ v + 4w)$ llena un rectángulo $2 \times 1$ alineado con los ejes, con esquina inferior izquierda $(-3w, 4w).$ Cuando $w$ va de $0$ a $1,$ este rectángulo se desliza a lo largo del vector $(-3,4),$ cuya longitud es $5.$ La región barrida es un hexágono con simetría central. Sus pares de lados opuestos miden $2, 1,$ y $5,$ heredados de los dos lados del rectángulo y del segmento de deslizamiento. Por lo tanto, su perímetro es $2(2+1+5)=16.$ Por lo tanto, la respuesta es E.

Fix $w.$ As $u, v$ sweep $[0, 1]^2,$ the point $(2u - 3w,\ v + 4w)$ fills a $2 \times 1$ axis-aligned rectangle with lower-left corner $(-3w, 4w).$ As $w$ runs from $0$ to $1,$ this rectangle slides along the vector $(-3,4),$ whose length is $5.$ The swept region is a centrally symmetric hexagon. Its opposite pairs of sides have lengths $2, 1,$ and $5,$ inherited from the two sides of the rectangle and the sliding segment. Therefore its perimeter is $2(2+1+5)=16.$ Therefore, the answer is E.

25.

Un pentágono regular de área $1 + \sqrt{5}$ se imprime en papel y se recorta. Los cinco vértices del pentágono se doblan hacia el centro del pentágono, creando un pentágono más pequeño. ¿Cuál es el área del nuevo pentágono?

A regular pentagon with area $1 + \sqrt{5}$ is printed on paper and cut out. All five vertices are folded to the center of the pentagon, creating a smaller pentagon. What is the area of the new pentagon?

$4 - \sqrt{5}$

$\sqrt{5} - 1$

$8 - 3\sqrt{5}$

$\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$

$\dfrac{2 + \sqrt{5}}{3}$

Respuesta: B

Conceptos:polígono regular plegado de papel semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Doblar un vértice hacia el centro pliega a lo largo de la mediatriz del segmento de ese vértice al centro, una recta a distancia $\tfrac{R}{2}$ del centro.

Folding a vertex to the center creases along the perpendicular bisector of the segment from that vertex to the center, a line at distance $\tfrac{R}{2}$ from the center

Pista grande:

La apotema $\tfrac{R}{2}$ reemplaza a $R\cos36^\circ,$ así que el área escala por $\left(\tfrac{1}{2\cos36^\circ}\right)^2;$ usa $\cos36^\circ=\tfrac{1+\sqrt5}{4}$ .

Apothem $\tfrac{R}{2}$ replaces $R\cos36^\circ,$ so the area scales by $\left(\tfrac{1}{2\cos36^\circ}\right)^2;$ use $\cos36^\circ=\tfrac{1+\sqrt5}{4}$

Solución:

El pentágono original tiene circunradio $R.$ Doblar un vértice hacia el centro pliega a lo largo de la mediatriz del segmento centro-vértice, una recta a distancia $\tfrac{R}{2}$ del centro. Esos cinco pliegues delimitan el nuevo pentágono regular, cuya apotema es $\tfrac{R}{2}$ (la apotema original era $R\cos 36^\circ$ ). Así que el nuevo pentágono es semejante con razón $\frac{1}{2\cos 36^\circ},$ y su área es el área anterior por $\left(\tfrac{1}{2\cos 36^\circ}\right)^2.$ Sustituye $\cos 36^\circ = \tfrac{1+\sqrt5}{4}:$ el factor se vuelve $\tfrac{2}{3+\sqrt5} = \tfrac{3-\sqrt5}{2}.$ Así que la nueva área es $(\sqrt5+1)\cdot\tfrac{3-\sqrt5}{2} = \sqrt{5} - 1.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let the original pentagon have circumradius $R.$ Folding a vertex to the center creases along the perpendicular bisector of the center-to-vertex segment, a line at distance $\tfrac{R}{2}$ from the center. Those five creases bound the new regular pentagon, whose apothem is $\tfrac{R}{2}$ (the original apothem was $R\cos 36^\circ$ ). So the new pentagon is similar with ratio $\frac{1}{2\cos 36^\circ},$ and its area is the old area times $\left(\tfrac{1}{2\cos 36^\circ}\right)^2.$ Plug in $\cos 36^\circ = \tfrac{1+\sqrt5}{4}:$ the factor becomes $\tfrac{2}{3+\sqrt5} = \tfrac{3-\sqrt5}{2}.$ So the new area is $(\sqrt5+1)\cdot\tfrac{3-\sqrt5}{2} = \sqrt{5} - 1.$ Thus, B is the correct answer.

Problemas del 2023 AMC 10B

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1080

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande: