Soluciones del 2024 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de $9901 \cdot 101 - 99 \cdot 10101$ ?

What is the value of $9901 \cdot 101 - 99 \cdot 10101?$

$2$

$20$

$21$

$200$

$2020$

Conceptos:operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Desarrolla cada producto escribiendo $101 = 100 + 1$ y $10101 = 10000 + 100 + 1$ .

Expand each product by writing $101 = 100 + 1$ and $10101 = 10000 + 100 + 1$

Pista grande:

Ambos productos están muy cerca de $10^6;$ calcula cada uno y réstalos.

Both products are very close to $10^6;$ compute each and subtract

Solución:

Simplemente calcula cada parte. Tenemos $9901 \cdot 101 = 990100 + 9901$ $= 1000001,$ y $99 \cdot 10101 = 999999.$ Restando, $1000001 - 999999 = 2.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Just compute each piece. We have $9901 \cdot 101 = 990100 + 9901$ $= 1000001,$ and $99 \cdot 10101 = 999999.$ Subtracting, $1000001 - 999999 = 2.$ Thus, A is the correct answer.

2.

Un modelo usado para estimar el tiempo que tomará subir a la cima de una montaña por un sendero tiene la forma $T = aL + bG,$ donde $a$ y $b$ son constantes, $T$ es el tiempo en minutos, $L$ es la longitud del sendero en millas, y $G$ es el desnivel de altitud en pies. El modelo estima que tomará $69$ minutos subir a la cima si un sendero mide $1.5$ millas de largo y asciende $800$ pies, así como si un sendero mide $1.2$ millas de largo y asciende $1100$ pies. ¿Cuántos minutos estima el modelo que tomará subir a la cima si el sendero mide $4.2$ millas de largo y asciende $4000$ pies?

A model used to estimate the time it will take to hike to the top of the mountain on a trail is of the form $T = aL + bG,$ where $a$ and $b$ are constants, $T$ is the time in minutes, $L$ is the length of the trail in miles, and $G$ is the altitude gain in feet. The model estimates that it will take $69$ minutes to hike to the top if a trail is $1.5$ miles long and ascends $800$ feet, as well as if a trail is $1.2$ miles long and ascends $1100$ feet. How many minutes does the model estimate it will take to hike to the top if the trail is $4.2$ miles long and ascends $4000$ feet?

$240$

$246$

$252$

$258$

$264$

Conceptos:sistema de ecuaciones ecuación lineal

Nivel de dificultad: 990

Pista pequeña:

Escribe los dos recorridos dados como $1.5a + 800b = 69$ y $1.2a + 1100b = 69$ .

Write the two given trips as $1.5a + 800b = 69$ and $1.2a + 1100b = 69$

Pista grande:

Resta las ecuaciones para eliminar la constante $69$ y hallar $a$ y $b$ .

Subtract the equations to eliminate the constant $69$ and find $a$ and $b$

Solución:

Resta las dos ecuaciones $1.5a + 800b = 69$ y $1.2a + 1100b = 69$ para eliminar el $69.$ Queda $0.3a - 300b = 0,$ así que $a = 1000b.$ Ahora sustituye: $1500b + 800b = 2300b = 69,$ por lo que $b = 0.03$ y $a = 30.$ Entonces $T = 30(4.2) + 0.03(4000)$ $= 126 + 120$ $= 246.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

Subtract the two equations $1.5a + 800b = 69$ and $1.2a + 1100b = 69$ to kill the $69.$ That leaves $0.3a - 300b = 0,$ so $a = 1000b.$ Now substitute: $1500b + 800b = 2300b = 69,$ so $b = 0.03$ and $a = 30.$ Then $T = 30(4.2) + 0.03(4000)$ $= 126 + 120$ $= 246.$ Therefore, the answer is B.

3.

¿Cuál es la suma de los dígitos del menor primo que puede escribirse como suma de $5$ primos distintos?

What is the sum of the digits of the smallest prime that can be written as a sum of $5$ distinct primes?

$5$

$7$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:primo paridad optimización

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

Usar $2$ hace que la suma sea par y mayor que $2,$ así que no puede ser primo; usa cinco primos impares.

Using $2$ makes the sum even and larger than $2,$ so it cannot be prime; use five odd primes

Pista grande:

Los cinco primos impares más pequeños suman $39,$ que no es primo; aumenta hasta la siguiente suma que sea prima.

The five smallest odd primes sum to $39,$ which is not prime; increase to the next prime sum

Solución:

Supongamos que $2$ es uno de los cinco primos. Entonces el total es par y mayor que $2,$ así que es compuesto. Eso significa que los cinco primos deben ser impares. Los cinco primos impares más pequeños dan $3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39$ $= 3 \cdot 13,$ que no es primo. La siguiente suma posible se obtiene reemplazando $13$ por el siguiente primo, $17;$ cambiar cualquier término anterior obliga a un aumento al menos igual de grande para mantener los primos distintos. Esto da $3 + 5 + 7 + 11 + 17 = 43,$ que es primo. Su suma de dígitos es $4 + 3 = 7.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Suppose $2$ is one of the five primes. Then the total is even and bigger than $2,$ so it is composite. Thus all five primes must be odd. The five smallest odd primes give $3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39$ $= 3 \cdot 13,$ which is not prime. The next possible sum is obtained by replacing $13$ with the next prime, $17;$ changing any earlier term forces at least as large an increase to keep the primes distinct. This gives $3 + 5 + 7 + 11 + 17 = 43,$ which is prime. Its digit sum is $4 + 3 = 7.$ Thus, B is the correct answer.

4.

El número $2024$ se escribe como suma de números de dos dígitos no necesariamente distintos. ¿Cuál es la menor cantidad de números de dos dígitos necesarios para escribir esta suma?

The number $2024$ is written as the sum of not necessarily distinct two-digit numbers. What is the least number of two-digit numbers needed to write this sum?

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

Conceptos:desigualdad acotación a casos límite optimización

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

El mayor número de dos dígitos es $99,$ así que $k$ números suman a lo más $99k$ .

The largest two-digit number is $99,$ so $k$ numbers sum to at most $99k$

Pista grande:

Halla el menor $k$ con $99k \ge 2024,$ luego confirma que esa cantidad de números de dos dígitos puede alcanzar $2024$ .

Find the least $k$ with $99k \ge 2024,$ then confirm that many two-digit numbers can reach $2024$

Solución:

Cada número de dos dígitos es a lo más $99,$ así que $k$ de ellos suman a lo más $99k.$ Necesitamos $99k \ge 2024,$ lo que obliga a $k \ge 20.4,$ por lo que $k \ge 21.$ Y $21$ realmente funciona: veinte $99$ más un $44$ dan $1980 + 44 = 2024.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

Each two-digit number is at most $99,$ so $k$ of them sum to at most $99k.$ We need $99k \ge 2024,$ which forces $k \ge 20.4,$ so $k \ge 21.$ And $21$ really works: twenty $99$ s plus one $44$ give $1980 + 44 = 2024.$ Therefore, the answer is B.

5.

¿Cuál es el menor valor de $n$ tal que $n!$ sea múltiplo de $2024$ ?

What is the least value of $n$ such that $n!$ is a multiple of $2024?$

$11$

$21$

$22$

$23$

$253$

Conceptos:factorial divisibilidad factorización en primos

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Factoriza $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23$ .

Factor $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23$

Pista grande:

El mayor factor primo es $23,$ así que debe aparecer como factor en $n!$ .

The largest prime factor is $23,$ so it must appear as a factor in $n!$

Solución:

Factoriza $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23.$ El primo $23$ es el cuello de botella: para que $23$ divida a $n!,$ necesitamos $n \ge 23.$ En $n = 23,$ el producto $23!$ ya contiene $23,$ $11,$ y muchos factores de $2,$ así que $23!$ es divisible por $2024.$ El menor valor es $23.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Factor $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23.$ The prime $23$ is the bottleneck: for $23$ to divide $n!,$ we need $n \ge 23.$ At $n = 23,$ the product $23!$ already has $23,$ $11,$ and plenty of factors of $2,$ so $23!$ is divisible by $2024.$ The least value is $23.$ Thus, D is the correct answer.

6.

¿Cuál es el mínimo número de intercambios sucesivos de letras adyacentes en la cadena ABCDEF necesarios para cambiar la cadena a FEDCBA?

Por ejemplo, se requieren $3$ intercambios para cambiar ABC a CBA; una de esas secuencias de intercambios es ABC $\to$ BAC $\to$ BCA $\to$ CBA.

What is the minimum number of successive swaps of adjacent letters in the string ABCDEF that are needed to change the string to FEDCBA?

(For example, $3$ swaps are required to change ABC to CBA; one such sequence of swaps is ABC $\to$ BAC $\to$ BCA $\to$ CBA.)

$6$

$10$

$12$

$15$

$24$

Conceptos:permutaciones conteo de pares invariante

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Cada intercambio de adyacentes cambia el orden relativo de exactamente un par de letras.

Each adjacent swap changes the relative order of exactly one pair of letters

Pista grande:

En la cadena completamente invertida cada par de letras queda desordenado; cuenta los pares con $\binom{6}{2}$ .

In the fully reversed string every pair of letters is out of order; count the pairs with $\binom{6}{2}$

Solución:

Invertir las seis letras cambia el orden relativo de cada par, así que los $\binom{6}{2} = 15$ pares terminan invertidos. Cada intercambio de adyacentes corrige exactamente una inversión. Así que necesitamos al menos $15$ intercambios, y llevar cada letra a su lugar por burbujeo alcanza exactamente $15$ . Por lo tanto, la respuesta es D.

Reversing all six letters flips the relative order of every pair, so all $\binom{6}{2} = 15$ pairs end up inverted. Each adjacent swap fixes exactly one inversion. So we need at least $15$ swaps, and bubbling each letter into place hits $15$ exactly. Therefore, the answer is D.

7.

El producto de tres enteros es $60.$ ¿Cuál es el menor valor positivo posible de la suma de los tres enteros?

The product of three integers is $60.$ What is the least possible positive sum of the three integers?

$2$

$3$

$5$

$6$

$13$

Conceptos:factor optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Un producto positivo usa o bien tres factores positivos, o bien uno positivo y dos negativos.

A positive product uses either three positive factors or one positive and two negative factors

Pista grande:

Dos factores negativos permiten que el factor positivo sea grande; minimiza el factor positivo menos la suma de las dos magnitudes.

Two negative factors let the positive factor be large; minimize the positive factor minus the sum of the two magnitudes

Solución:

Un producto positivo proviene de tres enteros positivos o de un entero positivo y dos negativos. Tres enteros positivos tienen suma al menos $3.$ En el segundo caso, escribimos los números como $-x,-y,z,$ donde $x,y,z$ son positivos y $xyz=60.$ Una suma positiva exige $z \gt x+y \ge 2\sqrt{xy},$ así que $\frac{60}{xy} \gt 2\sqrt{xy}$ , y por tanto $xy \lt 10.$ Los posibles productos $xy$ que dividen a $60$ son $1,2,3,4,5,6.$ Al comprobar sus pares de factores, el menor valor positivo de $\frac{60}{xy}-x-y$ es $10-1-6=3.$ Así, $(-1)(-6)(10)=60,$ y no es posible una suma positiva menor que $3$ . Por lo tanto, la respuesta es B.

A positive product comes from three positive integers or one positive and two negative integers. Three positive integers have sum at least $3.$ In the second case write the numbers as $-x,-y,z,$ where $x,y,z$ are positive and $xyz=60.$ A positive sum requires $z \gt x+y \ge 2\sqrt{xy},$ so $\frac{60}{xy} \gt 2\sqrt{xy}$ and hence $xy \lt 10.$ The possible products $xy$ that divide $60$ are $1,2,3,4,5,6.$ Checking their factor pairs, the smallest positive value of $\frac{60}{xy}-x-y$ is $10-1-6=3.$ Thus $(-1)(-6)(10)=60,$ and no positive sum below $3$ is possible. Therefore, the answer is B.

8.

Amy, Bomani, Charlie y Daria trabajan en una fábrica de chocolate. El lunes, Amy, Bomani y Charlie empezaron a trabajar a la $1{:}00$ PM y podían empaquetar $4,$ $3,$ y $3$ paquetes, respectivamente, cada $3$ minutos. En algún momento posterior, Daria se unió al grupo, y Daria podía empaquetar $5$ paquetes cada $4$ minutos. Juntos, terminaron de empaquetar $450$ paquetes exactamente a las $2{:}45$ PM. ¿A qué hora se unió Daria al grupo?

Amy, Bomani, Charlie, and Daria work in a chocolate factory. On Monday Amy, Bomani, and Charlie started working at $1{:}00$ PM and were able to pack $4,$ $3,$ and $3$ packages, respectively, every $3$ minutes. At some later time, Daria joined the group, and Daria was able to pack $5$ packages every $4$ minutes. Together, they finished packing $450$ packages at exactly $2{:}45$ PM. At what time did Daria join the group?

$1{:}25$ PM

$1{:}35$ PM

$1{:}45$ PM

$1{:}55$ PM

$2{:}05$ PM

Conceptos:tasa fecha y hora

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Amy, Bomani y Charlie juntos empaquetan $10$ paquetes cada $3$ minutos; de la $1{:}00$ a las $2{:}45$ hay $105$ minutos.

Amy, Bomani, and Charlie together pack $10$ packages every $3$ minutes; $1{:}00$ to $2{:}45$ is $105$ minutes

Pista grande:

Resta lo que empaquetan los primeros tres en $105$ minutos de $450;$ Daria empaqueta el resto a razón de $5$ cada $4$ minutos.

Subtract what the first three pack in $105$ minutes from $450;$ Daria packs the rest at $5$ per $4$ minutes

Solución:

De la $1{:}00$ a las $2{:}45$ hay $105$ minutos. Amy, Bomani y Charlie empaquetan $4 + 3 + 3 = 10$ paquetes cada $3$ minutos, es decir $\tfrac{10}{3}$ por minuto, lo que da $\tfrac{10}{3} \cdot 105 = 350$ paquetes. Eso deja $450 - 350 = 100$ para Daria, que empaqueta $\tfrac54$ por minuto y por tanto necesita $\frac{100}{\tfrac54} = 80$ minutos. Trabajó los últimos $80$ minutos, uniéndose $105 - 80 = 25$ minutos después de la $1{:}00.$ Eso es la $1{:}25$ PM. Por lo tanto, la respuesta es A.

From $1{:}00$ to $2{:}45$ is $105$ minutes. Amy, Bomani, and Charlie pack $4 + 3 + 3 = 10$ packages every $3$ minutes, so $\tfrac{10}{3}$ per minute, which is $\tfrac{10}{3} \cdot 105 = 350$ packages. That leaves $450 - 350 = 100$ for Daria, who packs $\tfrac54$ per minute and so needs $\frac{100}{\tfrac54} = 80$ minutes. She worked the last $80$ minutes, joining $105 - 80 = 25$ minutes after $1{:}00.$ That’s $1{:}25$ PM. Therefore, the answer is A.

9.

¿De cuántas maneras pueden $6$ estudiantes de penúltimo año y $6$ de último año formar $3$ equipos disjuntos de $4$ personas de modo que cada equipo tenga $2$ de penúltimo año y $2$ de último año?

In how many ways can $6$ juniors and $6$ seniors form $3$ disjoint teams of $4$ people so that each team has $2$ juniors and $2$ seniors?

$720$

$1350$

$2700$

$3280$

$8100$

Conceptos:combinaciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Divide a los de penúltimo año en tres parejas sin orden y a los de último año en tres parejas sin orden.

Split the juniors into three unordered pairs and the seniors into three unordered pairs

Pista grande:

Hay $\frac{6!}{2^3 \cdot 3!} = 15$ divisiones de este tipo para cada grupo; luego empareja las parejas de penúltimo año con las de último año de $3!$ maneras.

There are $\frac{6!}{2^3 \cdot 3!} = 15$ such splits for each group; then match junior-pairs to senior-pairs in $3!$ ways

Solución:

Divide a los $6$ de penúltimo año en tres parejas sin orden. Hay $\frac{6!}{2!^3 3!} = 15$ maneras, y las mismas $15$ para los de último año. Cada equipo es una pareja de penúltimo año unida a una pareja de último año, así que emparejamos las tres parejas de penúltimo año con las tres de último año de $3! = 6$ maneras. Eso da $15 \cdot 15 \cdot 6 = 1350$ conjuntos de equipos. Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Split the $6$ juniors into three unordered pairs. There are $\frac{6!}{2!^3 3!} = 15$ ways, and the same $15$ for the seniors. Each team is one junior-pair paired with one senior-pair, so we match the three junior-pairs to the three senior-pairs in $3! = 6$ ways. That’s $15 \cdot 15 \cdot 6 = 1350$ sets of teams. Thus, B is the correct answer.

10.

Considera la siguiente operación. Dado un entero positivo $n,$ si $n$ es múltiplo de $3,$ entonces reemplazas $n$ por $\tfrac{n}{3}.$ Si $n$ no es múltiplo de $3,$ entonces reemplazas $n$ por $n + 10.$ Luego continúas este proceso. Por ejemplo, comenzando con $n = 4,$ este procedimiento da $4 \to 14 \to 24 \to 8$ $\to 18 \to 6 \to 2 \to 12 \to \cdots.$

Supón que empiezas con $n = 100.$ ¿Qué valor resulta si realizas esta operación exactamente $100$ veces?

Consider the following operation. Given a positive integer $n,$ if $n$ is a multiple of $3,$ then you replace $n$ by $\tfrac{n}{3}.$ If $n$ is not a multiple of $3,$ then you replace $n$ by $n + 10.$ Then continue this process. For example, beginning with $n = 4,$ this procedure gives $4 \to 14 \to 24 \to 8$ $\to 18 \to 6 \to 2 \to 12 \to \cdots.$

Suppose you start with $n = 100.$ What value results if you perform this operation exactly $100$ times?

$10$

$20$

$30$

$40$

$50$

Conceptos:recursión aritmética modular simulación de procesos reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Calcula los primeros términos a partir de $100;$ los valores pronto empiezan a repetirse.

Compute the first several terms from $100;$ the values soon start repeating

Pista grande:

Una vez que la sucesión llega a $10$ entra en el ciclo $10 \to 20 \to 30$ con periodo $3;$ localiza el paso $100$ en el ciclo.

Once the sequence reaches $10$ it cycles $10 \to 20 \to 30$ with period $3;$ locate step $100$ in the cycle

Solución:

Simplemente ejecútalo desde $100:$ $100 \to 110 \to 120 \to 40$ $\to 50 \to 60 \to 20$ $\to 30 \to 10 \to 20$ $\to 30 \to 10 \to \cdots.$ Tras el $8$ º paso estamos en $10,$ y desde ahí entra en el ciclo $10, 20, 30$ con periodo $3.$ Así que el paso $8 + k$ es la $k$ ésima entrada del ciclo. Para el paso $100,$ $k = 92,$ y $92 \equiv 2 \pmod 3,$ lo que cae en $30.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

Just run it from $100:$ $100 \to 110 \to 120 \to 40$ $\to 50 \to 60 \to 20$ $\to 30 \to 10 \to 20$ $\to 30 \to 10 \to \cdots.$ After the $8$ th step we’re at $10,$ and from there it cycles $10, 20, 30$ with period $3.$ So step $8 + k$ is the $k$ th entry of the cycle. For step $100,$ $k = 92,$ and $92 \equiv 2 \pmod 3,$ which lands on $30.$ Therefore, the answer is C.

11.

¿Cuántos pares ordenados de enteros $(m, n)$ satisfacen

$\sqrt{n^2 - 49} = m?$

How many ordered pairs of integers $(m, n)$ satisfy

$\sqrt{n^2 - 49} = m?$

$1$

$2$

$3$

$4$

Infinitos

Infinitely many

Conceptos:Ecuación diofántica diferencia de cuadrados radical

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Al elevar al cuadrado se obtiene $n^2 - 49 = m^2,$ así que $(n - m)(n + m) = 49$ .

Squaring gives $n^2 - 49 = m^2,$ so $(n - m)(n + m) = 49$

Pista grande:

$49$ tiene pocas factorizaciones; además $m = \sqrt{\cdots} \ge 0,$ mientras que $n$ puede ser negativo.

$49$ has few factorizations; also $m = \sqrt{\cdots} \ge 0,$ while $n$ may be negative

Solución:

Nota que $m = \sqrt{n^2 - 49} \ge 0$ debe ser un entero, así que $n^2 - 49 = m^2,$ lo que significa $(n - m)(n + m) = 49.$ Las factorizaciones de $49$ dan $|n| = 25, m = 24$ o $|n| = 7, m = 0.$ Así que los pares ordenados $(m, n)$ son $(24, 25),$ $(24, -25),$ $(0, 7),$ $(0, -7).$ Son $4$ de ellos. Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note $m = \sqrt{n^2 - 49} \ge 0$ has to be an integer, so $n^2 - 49 = m^2,$ which means $(n - m)(n + m) = 49.$ The factorizations of $49$ give $|n| = 25, m = 24$ or $|n| = 7, m = 0.$ So the ordered pairs $(m, n)$ are $(24, 25),$ $(24, -25),$ $(0, 7),$ $(0, -7).$ That’s $4$ of them. Thus, D is the correct answer.

12.

Zelda jugó el juego Adventures of Math el $1$ de agosto y obtuvo $1700$ puntos. Continuó jugando a diario durante los siguientes $5$ días. El diagrama de barras de abajo muestra el cambio diario en su puntaje comparado con el día anterior. (Por ejemplo, el puntaje de Zelda el $2$ de agosto fue $1700 + 80 = 1780$ puntos.) ¿Cuál fue el puntaje promedio de Zelda en puntos durante los $6$ días?

Zelda played the Adventures of Math game on August $1$ and scored $1700$ points. She continued to play daily over the next $5$ days. The bar chart below shows the daily change in her score compared to the day before. (For example, Zelda’s score on August $2$ was $1700 + 80 = 1780$ points.) What was Zelda’s average score in points over the $6$ days?

$1700$

$1702$

$1703$

$1713$

$1715$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas media

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Construye el puntaje de cada día sumando el cambio de ese día al puntaje del día anterior.

Build each day’s score by adding that day’s change to the previous day’s score

Pista grande:

Promedia los seis puntajes diarios $1700, 1780, 1690,$ $1680, 1740, 1700$ .

Average the six daily scores $1700, 1780, 1690,$ $1680, 1740, 1700$

Solución:

Aplica los cambios diarios $+80, -90, -10, +60, -40$ al valor inicial $1700.$ Los seis puntajes son $1700, 1780, 1690,$ $1680, 1740, 1700.$ Suman $10290,$ así que el promedio es $\frac{10290}{6} = 1715.$ Por lo tanto, la respuesta es E.

Apply the daily changes $+80, -90, -10, +60, -40$ to the starting $1700.$ The six scores are $1700, 1780, 1690,$ $1680, 1740, 1700.$ They add to $10290,$ so the average is $\frac{10290}{6} = 1715.$ Therefore, the answer is E.

13.

Se dice que dos transformaciones conmutan si aplicar la primera seguida de la segunda da el mismo resultado que aplicar la segunda seguida de la primera. Considera estas cuatro transformaciones del plano de coordenadas:

• una traslación de $2$ unidades a la derecha;

• una rotación de $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen;

• una reflexión respecto al eje $x$ ; y

• una dilatación centrada en el origen con factor de escala $2.$

De los $6$ pares de transformaciones distintas de esta lista, ¿cuántos conmutan?

Two transformations are said to commute if applying the first followed by the second gives the same result as applying the second followed by the first. Consider these four transformations of the coordinate plane:

• a translation $2$ units to the right,

• a $90^\circ$ rotation counterclockwise about the origin,

• a reflection across the $x$ -axis, and

• a dilation centered at the origin with scale factor $2.$

Of the $6$ pairs of distinct transformations from this list, how many commute?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:transformación función análisis por casos

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Una dilatación y una rotación, ambas centradas en el origen, siempre conmutan.

A dilation and a rotation, both centered at the origin, always commute

Pista grande:

Revisa cada uno de los $6$ pares; una traslación por lo general no conmuta con transformaciones que mueven el origen.

Check each of the $6$ pairs; a translation usually fails to commute with maps that move the origin

Solución:

La dilatación solo escala respecto al origen, así que conmuta tanto con la rotación como con la reflexión. Eso da $2$ pares. La traslación también conmuta con la reflexión respecto al eje $x$ , ya que cualquiera de los dos órdenes envía $(x, y) \to (x + 2, -y).$ Los otros tres pares fallan: la traslación choca con la rotación y con la dilatación, y la rotación choca con la reflexión. Así que $3$ pares conmutan. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The dilation just scales about the origin, so it commutes with both the rotation and the reflection. That’s $2$ pairs. The translation commutes with the reflection across the $x$ -axis too, since either order sends $(x, y) \to (x + 2, -y).$ The other three pairs fail: the translation clashes with the rotation and with the dilation, and the rotation clashes with the reflection. So $3$ pairs commute. Thus, C is the correct answer.

14.

Un lado de un triángulo equilátero de altura $24$ está sobre la recta $\ell.$ Un círculo de radio $12$ es tangente a $\ell$ y es tangente externamente al triángulo. El área de la región exterior al triángulo y al círculo, acotada por el triángulo, el círculo y la recta $\ell$ , puede escribirse como $a\sqrt{b} - c\pi,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos y $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

One side of an equilateral triangle of height $24$ lies on line $\ell.$ A circle of radius $12$ is tangent to $\ell$ and is externally tangent to the triangle. The area of the region exterior to the triangle and the circle and bounded by the triangle, the circle, and line $\ell$ can be written as $a\sqrt{b} - c\pi,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $b$ is not divisible by the square of any prime. What is $a + b + c?$

$72$

$73$

$74$

$75$

$76$

Conceptos:recta tangente triángulo rectángulo especial sector circular cometa

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

La altura $24$ da lado $16\sqrt3;$ coloca $\ell$ sobre el eje $x$ , de modo que el centro del círculo está a altura $12$ .

Height $24$ gives side $16\sqrt3;$ put $\ell$ on the $x$ -axis, so the circle’s center is at height $12$

Pista grande:

Desde el vértice de la base del triángulo, la región está acotada por dos tangentes al círculo y el arco entre ellas; usa la longitud de la tangente y un sector de $60^\circ$ .

From the triangle’s base vertex the region is bounded by two tangents to the circle and the arc between them; use the tangent length and a $60^\circ$ sector

Solución:

El triángulo equilátero tiene lado $16\sqrt3.$ Coloca $\ell$ sobre el eje $x$ con vértice de la base $V = (16\sqrt3, 0)$ ; el lado inclinado está sobre $\sqrt3\,x + y = 48.$ El círculo se apoya en $\ell,$ tiene radio $12,$ y toca ese lado externamente, así que su centro es $O = (20\sqrt3, 12).$ Sea $T = (20\sqrt3, 0)$ su punto de tangencia sobre $\ell,$ y sea $P$ el punto de tangencia sobre el lado inclinado. Las dos longitudes tangentes desde $V$ cumplen $VT = VP = 4\sqrt3,$ así que la cometa $VTOP$ tiene área $4\sqrt3 \cdot 12 = 48\sqrt3.$ El ángulo en $V$ es $120^\circ,$ así que el sector eliminado tiene ángulo $60^\circ$ y área $\tfrac16 \pi (12)^2 = 24\pi.$ La región tiene área $48\sqrt3 - 24\pi,$ lo que da $a + b + c = 48 + 3 + 24 = 75.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

The equilateral triangle has side $16\sqrt3.$ Put $\ell$ on the $x$ -axis with base vertex $V = (16\sqrt3, 0)$ ; the slanted side lies on $\sqrt3\,x + y = 48.$ The circle sits on $\ell,$ has radius $12,$ and touches that side externally, so its center is $O = (20\sqrt3, 12).$ Let $T = (20\sqrt3, 0)$ be its tangency point on $\ell,$ and let $P$ be the tangency point on the slanted side. The two tangent lengths from $V$ satisfy $VT = VP = 4\sqrt3,$ so kite $VTOP$ has area $4\sqrt3 \cdot 12 = 48\sqrt3.$ The angle at $V$ is $120^\circ,$ so the removed sector has angle $60^\circ$ and area $\tfrac16 \pi (12)^2 = 24\pi.$ The region has area $48\sqrt3 - 24\pi,$ giving $a + b + c = 48 + 3 + 24 = 75.$ Therefore, the answer is D.

15.

Sea $M$ el mayor entero tal que tanto $M + 1213$ como $M + 3773$ sean cuadrados perfectos. ¿Cuál es el dígito de las unidades de $M$ ?

Let $M$ be the greatest integer such that both $M + 1213$ and $M + 3773$ are perfect squares. What is the units digit of $M?$

$1$

$2$

$3$

$6$

$8$

Conceptos:cuadrado perfecto diferencia de cuadrados paridad optimización

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Plantea $M + 1213 = y^2$ , $M + 3773 = x^2;$ resta para obtener $(x - y)(x + y) = 2560$ .

Set $M + 1213 = y^2$ and $M + 3773 = x^2;$ subtract to get $(x - y)(x + y) = 2560$

Pista grande:

Ambos factores son pares; el mayor $M$ proviene del menor $x - y,$ haciendo $y$ lo más grande posible.

Both factors are even; the greatest $M$ comes from the smallest $x - y,$ making $y$ as large as possible

Solución:

Plantea $M + 1213 = y^2$ , $M + 3773 = x^2.$ Restando, $x^2 - y^2 = 2560,$ así que $(x - y)(x + y) = 2560.$ Los dos factores tienen la misma paridad, y su producto es par, así que ambos son pares: escribe $x - y = 2s,$ $x + y = 2t,$ con $st = 640.$ Para hacer $M$ lo más grande posible queremos $y = t - s$ lo más grande posible, así que $s$ lo más pequeño posible. Toma $s = 1, t = 640,$ lo que da $y = 639.$ Entonces $M = 639^2 - 1213 = 407108,$ cuyo dígito de las unidades es $8.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Set $M + 1213 = y^2$ and $M + 3773 = x^2.$ Subtracting, $x^2 - y^2 = 2560,$ so $(x - y)(x + y) = 2560.$ The two factors share a parity, and their product is even, so both are even: write $x - y = 2s,$ $x + y = 2t,$ with $st = 640.$ To make $M$ as large as possible we want $y = t - s$ as large as possible, so $s$ as small as possible. Take $s = 1, t = 640,$ giving $y = 639.$ Then $M = 639^2 - 1213 = 407108,$ whose units digit is $8.$ Thus, E is the correct answer.

16.

Todos los rectángulos de la figura de abajo, que está dibujada a escala, son semejantes al rectángulo que los contiene. Cada número representa el área del rectángulo. ¿Cuál es la longitud $AB$ ?

All of the rectangles in the figure below, which is drawn to scale, are similar to the enclosing rectangle. Each number represents the area of the rectangle. What is length $AB?$

$4 + 4\sqrt5$

$10\sqrt2$

$5 + 5\sqrt5$

$10\sqrt[4]{8}$

$20$

Conceptos:semejanza razón de áreas rectángulo

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Las piezas tienen área total $200;$ sea $h$ la altura del rectángulo exterior y $AB=w$ su anchura

The pieces have total area $200;$ let the enclosing rectangle have height $h$ and width $AB=w$

Pista grande:

En el borde izquierdo, los lados verticales de las piezas de área $32$ y $36$ miden $h\sqrt{\frac{32}{200}}$ y $w\sqrt{\frac{36}{200}}$

Along the left edge, the vertical sides of the area- $32$ and area- $36$ pieces have lengths $h\sqrt{\frac{32}{200}}$ and $w\sqrt{\frac{36}{200}}$

Solución:

Las áreas de las once piezas suman $200.$ Sea $h$ la altura del rectángulo que las contiene y sea $w=AB.$ Las longitudes correspondientes de figuras semejantes están en la razón de las raíces cuadradas de sus áreas. En el diagrama, la pieza de área $32$ aporta su lado corto al borde izquierdo, cuya longitud es $h\sqrt{\frac{32}{200}}=\tfrac25h.$ Encima de ella, la pieza de área $36$ aporta su lado largo, cuya longitud es $w\sqrt{\frac{36}{200}}=\tfrac{3\sqrt2}{10}w.$ Estos dos segmentos forman la altura completa, así que $h=\tfrac25h+\tfrac{3\sqrt2}{10}w,$ lo cual se simplifica a $h=\frac{w}{\sqrt2}.$ Como $wh=200,$ obtenemos $\frac{w^2}{\sqrt2}=200$ y $w=\sqrt{200\sqrt2}=10\sqrt[4]{8}.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

The areas of the eleven pieces sum to $200.$ Let the enclosing rectangle have height $h$ and width $w=AB.$ Similar figures have corresponding side lengths in the square-root ratio of their areas. From the diagram, the area- $32$ piece contributes its short side to the left edge, of length $h\sqrt{\frac{32}{200}}=\tfrac25h.$ Above it, the area- $36$ piece contributes its long side, of length $w\sqrt{\frac{36}{200}}=\tfrac{3\sqrt2}{10}w.$ These two segments make the full height, so $h=\tfrac25h+\tfrac{3\sqrt2}{10}w,$ which simplifies to $h=\frac{w}{\sqrt2}.$ Since $wh=200,$ we get $\frac{w^2}{\sqrt2}=200$ and $w=\sqrt{200\sqrt2}=10\sqrt[4]{8}.$ Therefore, the answer is D.

17.

Dos equipos disputan una serie al mejor de tres: los equipos jugarán a lo más $3$ partidos, y el ganador de la serie es el primer equipo en ganar $2$ partidos. El primer partido se juega en el campo local del Equipo A, y los partidos restantes se juegan en el campo local del Equipo B. El Equipo A tiene una probabilidad de $\tfrac23$ de ganar en casa, y su probabilidad de ganar jugando fuera de casa es $p.$ Los resultados de los partidos son independientes. La probabilidad de que el Equipo A gane la serie es $\tfrac12.$ Entonces $p$ puede escribirse en la forma $\tfrac12\!\left(m - \sqrt{n}\right),$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Two teams are in a best-two-out-of-three playoff: the teams will play at most $3$ games, and the winner of the playoff is the first team to win $2$ games. The first game is played on Team A’s home field, and the remaining games are played on Team B’s home field. Team A has a $\tfrac23$ chance of winning at home, and its probability of winning when playing away from home is $p.$ Outcomes of the games are independent. The probability that Team A wins the playoff is $\tfrac12.$ Then $p$ can be written in the form $\tfrac12\!\left(m - \sqrt{n}\right),$ where $m$ and $n$ are positive integers. What is $m + n?$

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

Conceptos:eventos independientes cuadrática análisis por casos

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Enumera las formas en que el Equipo A gana dos partidos: ganar los partidos $1$ y $2;$ ganar $1,$ perder $2,$ ganar $3;$ perder $1,$ ganar $2,$ ganar $3$ .

List the ways Team A wins two games: win games $1$ and $2;$ win $1,$ lose $2,$ win $3;$ lose $1,$ win $2,$ win $3$

Pista grande:

Iguala la probabilidad total a $\tfrac12$ y resuelve la ecuación cuadrática resultante en $p$ .

Set the total probability equal to $\tfrac12$ and solve the resulting quadratic in $p$

Solución:

El Equipo A gana el partido $1$ en casa con probabilidad $\tfrac23,$ y cada partido de visitante con probabilidad $p.$ Puede ganar la serie de tres maneras disjuntas: ganar los partidos $1, 2;$ ganar $1,$ perder $2,$ ganar $3;$ perder $1,$ ganar $2, 3.$ Sumando esas, $\tfrac23 p + \tfrac23(1 - p)p + \tfrac13 p^2 = \tfrac12.$ Esto se simplifica a $2p^2 - 8p + 3 = 0,$ así que $p = \tfrac{4 - \sqrt{10}}{2} = \tfrac12\!\left(4 - \sqrt{10}\right).$ Entonces $m = 4,$ $n = 10,$ y $m + n = 14.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Team A takes game $1$ at home with probability $\tfrac23,$ and each away game with probability $p.$ It can win the playoff three disjoint ways: win games $1, 2;$ win $1,$ lose $2,$ win $3;$ lose $1,$ win $2, 3.$ Adding those, $\tfrac23 p + \tfrac23(1 - p)p + \tfrac13 p^2 = \tfrac12.$ This cleans up to $2p^2 - 8p + 3 = 0,$ so $p = \tfrac{4 - \sqrt{10}}{2} = \tfrac12\!\left(4 - \sqrt{10}\right).$ Then $m = 4,$ $n = 10,$ and $m + n = 14.$ Thus, E is the correct answer.

18.

Hay exactamente $K$ enteros positivos $b$ con $5 \le b \le 2024$ tales que el entero $2024_b$ en base $b$ es divisible por $16$ (donde $16$ está en base diez). ¿Cuál es la suma de los dígitos de $K$ ?

There are exactly $K$ positive integers $b$ with $5 \le b \le 2024$ such that the base- $b$ integer $2024_b$ is divisible by $16$ (where $16$ is in base ten). What is the sum of the digits of $K?$

$16$

$17$

$18$

$20$

$21$

Conceptos:base numérica aritmética modular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

$2024_b = 2b^3 + 2b + 4;$ ser divisible por $16$ requiere que $b^3 + b + 2$ sea divisible por $8$ .

$2024_b = 2b^3 + 2b + 4;$ dividing by $16$ requires $b^3 + b + 2$ to be divisible by $8$

Pista grande:

Revisa $b \bmod 8;$ los residuos $3, 6, 7$ funcionan, así que cuenta esos $b$ en $[5, 2024]$ .

Check $b \bmod 8;$ the residues $3, 6, 7$ work, so count those $b$ in $[5, 2024]$

Solución:

En base $b,$ $2024_b = 2b^3 + 2b + 4$ $= 2(b^3 + b + 2),$ así que $2024_b$ es divisible por $16$ exactamente cuando $b^3 + b + 2$ es divisible por $8.$ Prueba los residuos módulo $8:$ esto se cumple precisamente para $b \equiv 3, 6, 7 \pmod 8.$ Contar los $b$ con $5 \le b \le 2024$ en esas tres clases da $K = 758,$ cuya suma de dígitos es $7 + 5 + 8 = 20.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

In base $b,$ $2024_b = 2b^3 + 2b + 4$ $= 2(b^3 + b + 2),$ so $2024_b$ is divisible by $16$ exactly when $b^3 + b + 2$ is divisible by $8.$ Test the residues modulo $8:$ this holds precisely for $b \equiv 3, 6, 7 \pmod 8.$ Counting the $b$ with $5 \le b \le 2024$ in those three classes gives $K = 758,$ whose digit sum is $7 + 5 + 8 = 20.$ Therefore, the answer is D.

19.

Los primeros tres términos de una progresión geométrica son los enteros $a,$ $720,$ y $b,$ donde $a \lt 720 \lt b.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos del menor valor posible de $b$ ?

The first three terms of a geometric sequence are the integers $a,$ $720,$ and $b,$ where $a \lt 720 \lt b.$ What is the sum of the digits of the least possible value of $b?$

$9$

$12$

$16$

$18$

$21$

Conceptos:sucesión geométrica divisibilidad optimización

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Por $720^2 = ab,$ la razón común es racional; escríbela como $\tfrac{p}{q}$ en su forma más simple con $p \gt q$ .

$720^2 = ab,$ so the common ratio is rational; write it as $\tfrac{p}{q}$ in lowest terms with $p \gt q$

Pista grande:

Tanto $p$ como $q$ deben dividir a $720;$ minimiza $b = 720 \cdot \tfrac{p}{q}$ usando la menor razón $\tfrac{p}{q} \gt 1$ .

Both $p$ and $q$ must divide $720;$ minimize $b = 720 \cdot \tfrac{p}{q}$ using the smallest ratio $\tfrac{p}{q} \gt 1$

Solución:

Como $720^2 = ab,$ la razón común $r = \tfrac{720}{a} = \tfrac{b}{720}$ es racional. Escribe $r = \tfrac{p}{q}$ en su forma más simple con $p \gt q.$ Entonces $a = \tfrac{720q}{p}$ y $b = \tfrac{720p}{q}$ son enteros, lo que obliga a que $720$ sea divisible por $p$ y por $q.$ Para hacer $b$ lo más pequeño posible, queremos la menor razón $\tfrac{p}{q} \gt 1$ con $720$ divisible por $p$ y por $q,$ que es $\tfrac{16}{15}.$ Eso da $b = 720 \cdot \tfrac{16}{15} = 768$ (y $a = 675$ ). La suma de dígitos es $7 + 6 + 8 = 21.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Since $720^2 = ab,$ the common ratio $r = \tfrac{720}{a} = \tfrac{b}{720}$ is rational. Write $r = \tfrac{p}{q}$ in lowest terms with $p \gt q.$ Then $a = \tfrac{720q}{p}$ and $b = \tfrac{720p}{q}$ are integers, which forces $720$ to be divisible by $p$ and by $q.$ To make $b$ smallest, we want the smallest ratio $\tfrac{p}{q} \gt 1$ with $720$ divisible by both $p$ and $q,$ which is $\tfrac{16}{15}.$ That gives $b = 720 \cdot \tfrac{16}{15} = 768$ (and $a = 675$ ). The digit sum is $7 + 6 + 8 = 21.$ Thus, E is the correct answer.

20.

Sea $S$ un subconjunto de $\{1, 2, 3, \ldots, 2024\}$ tal que se cumplan las dos condiciones siguientes:

• Si $x$ e $y$ son elementos distintos de $S,$ entonces $|x - y| \gt 2.$

• Si $x$ e $y$ son elementos impares distintos de $S,$ entonces $|x - y| \gt 6.$

¿Cuál es el máximo número posible de elementos en $S$ ?

Let $S$ be a subset of $\{1, 2, 3, \ldots, 2024\}$ such that the following two conditions hold:

• If $x$ and $y$ are distinct elements of $S,$ then $|x - y| \gt 2.$

• If $x$ and $y$ are distinct odd elements of $S,$ then $|x - y| \gt 6.$

What is the maximum possible number of elements in $S?$

$436$

$506$

$608$

$654$

$675$

Conceptos:arreglos con restricciones argumento extremal optimización

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Cualesquiera dos números elegidos difieren en al menos $3,$ y cualesquiera dos números impares elegidos difieren en al menos $7$ .

Any two chosen numbers differ by at least $3,$ and any two chosen odd numbers differ by at least $7$

Pista grande:

Un bloque repetido de $10$ puede contener a lo más $3$ números elegidos con solo uno impar; prueba los residuos $1, 4, 8$ .

A repeating block of $10$ can hold at most $3$ chosen numbers with only one odd; try residues $1, 4, 8$

Solución:

Las dos condiciones dicen que los números elegidos difieren en al menos $3$ , y que los impares elegidos difieren en al menos $7$ . Cuatro números en un bloque de $10$ necesitarían tres separaciones de al menos $3,$ así que tendrían que ocupar las posiciones $r,r+3,r+6,r+9.$ Dos de las posiciones impares diferirían entonces en $6,$ lo cual está prohibido. Por tanto, cada bloque completo de $10$ contiene como máximo $3$ números elegidos, y las últimas cuatro posiciones contienen como máximo $2.$ Esto da la cota superior $202\cdot3+2=608.$ La cota se alcanza con el patrón $1,4,8,11,14,18,\ldots$ (los residuos $1,4,8\pmod{10}$ ), junto con $2021,2024.$ Los valores elegidos adyacentes difieren en al menos $3,$ y los impares elegidos difieren en $10$ . Por lo tanto, la respuesta es C.

The two conditions say chosen numbers are at least $3$ apart, and chosen odd numbers at least $7$ apart. Any four numbers in a block of $10$ would need three gaps of at least $3,$ so they would have to occupy positions $r,r+3,r+6,r+9.$ Two of the odd entries would then differ by $6,$ which is forbidden. Thus each full block of $10$ contains at most $3$ choices, and the last four positions contain at most $2.$ This gives the upper bound $202\cdot3+2=608.$ It is attained by the pattern $1,4,8,11,14,18,\ldots$ (residues $1,4,8\pmod{10}$ ), together with $2021,2024.$ Adjacent selected values differ by at least $3,$ and the selected odd values are $10$ apart. Therefore, the answer is C.

21.

Los números, en orden, de cada fila y los números, en orden, de cada columna de un arreglo de enteros $5 \times 5$ forman una progresión aritmética de longitud $5.$ Los números en las posiciones $(5, 5),$ $(2, 4),$ $(4, 3),$ y $(3, 1)$ son $0,$ $48,$ $16,$ y $12,$ respectivamente. ¿Qué número está en la posición $(1, 2)$ ?

$\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}$

The numbers, in order, of each row and the numbers, in order, of each column of a $5 \times 5$ array of integers form an arithmetic progression of length $5.$ The numbers in positions $(5, 5),$ $(2, 4),$ $(4, 3),$ and $(3, 1)$ are $0,$ $48,$ $16,$ and $12,$ respectively. What number is in position $(1, 2)?$

$\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}$

$19$

$24$

$29$

$34$

$39$

Conceptos:sucesión aritmética sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Una cuadrícula en la que cada fila y columna es aritmética tiene la entrada $f(i, j) = A + Bi + Cj + Dij$ en la fila $i,$ columna $j$ .

A grid whose every row and column is arithmetic has entry $f(i, j) = A + Bi + Cj + Dij$ at row $i,$ column $j$

Pista grande:

Sustituye las cuatro entradas conocidas en esta forma y resuelve para $A, B, C, D$ .

Substitute the four known entries into this form and solve for $A, B, C, D$

Solución:

Si cada fila y cada columna es una progresión aritmética, la entrada en la fila $i,$ columna $j$ debe tomar la forma bilineal $f(i, j) = A + Bi + Cj + Dij.$ Sustituye $f(5, 5) = 0,$ $f(2, 4) = 48,$ $f(4, 3) = 16,$ $f(3, 1) = 12$ y resuelve: $A = -10,$ $B = 5,$ $C = 22,$ $D = -5.$ Así que la posición $(1, 2)$ es $-10 + 5 + 2 \cdot 22 - 2 \cdot 5 = 29.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

If every row and every column is an arithmetic progression, the entry at row $i,$ column $j$ must take the bilinear form $f(i, j) = A + Bi + Cj + Dij.$ Plug in $f(5, 5) = 0,$ $f(2, 4) = 48,$ $f(4, 3) = 16,$ $f(3, 1) = 12$ and solve: $A = -10,$ $B = 5,$ $C = 22,$ $D = -5.$ So position $(1, 2)$ is $-10 + 5 + 2 \cdot 22 - 2 \cdot 5 = 29.$ Thus, C is the correct answer.

22.

Sea $\mathcal{K}$ la cometa formada al unir dos triángulos rectángulos con catetos $1$ y $\sqrt3$ a lo largo de una hipotenusa común. Se usan ocho copias de $\mathcal{K}$ para formar el polígono que se muestra abajo. ¿Cuál es el área del triángulo $\triangle ABC$ ?

Let $\mathcal{K}$ be the kite formed by joining two right triangles with legs $1$ and $\sqrt3$ along a common hypotenuse. Eight copies of $\mathcal{K}$ are used to form the polygon shown below. What is the area of $\triangle ABC?$

$2 + 3\sqrt3$

$\dfrac{9}{2}\sqrt3$

$\dfrac{10 + 8\sqrt3}{3}$

$8$

$5\sqrt3$

Conceptos:cometa triángulo rectángulo especial geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Cada cometa son dos triángulos $30$ - $60$ - $90$ (catetos $1$ y $\sqrt3,$ hipotenusa $2$ ); establece coordenadas a partir de estas longitudes.

Each kite is two $30$ - $60$ - $90$ triangles (legs $1$ and $\sqrt3,$ hypotenuse $2$ ); set up coordinates from these lengths

Pista grande:

Toma $A=(0,0)$ y haz $AB$ horizontal; $AB$ mide seis unidades, mientras que la frontera de $A$ a $C$ usa longitudes $\sqrt3,\sqrt3,1$ en ángulos $30^\circ,90^\circ,0^\circ$

Take $A=(0,0)$ and $AB$ horizontal; $AB$ is six unit lengths, while the boundary from $A$ to $C$ uses lengths $\sqrt3,\sqrt3,1$ at angles $30^\circ,90^\circ,0^\circ$

Solución:

Cada mitad de una cometa es un triángulo $30$ - $60$ - $90$ , así que sus aristas tienen las longitudes y direcciones mostradas. Tomemos $A=(0,0)$ y hagamos $AB$ horizontal. La extensión horizontal de la figura es de seis unidades, por lo que $B=(6,0).$ A lo largo de la frontera exterior de $A$ a $C,$ las tres aristas tienen vectores $\sqrt3(\cos30^\circ,\sin30^\circ),$ $\sqrt3(\cos90^\circ,\sin90^\circ),$ y $(1,0).$ Su suma es $(\tfrac52,\tfrac{3\sqrt3}{2}),$ así que $C=(\tfrac52,\tfrac{3\sqrt3}{2}).$ Entonces $AB=6$ y la altura desde $C$ es $\tfrac{3\sqrt3}{2},$ lo que da área $\tfrac12\cdot6\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}=\tfrac{9\sqrt3}{2}.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

Each half of a kite is a $30$ - $60$ - $90$ triangle, so its edges have the shown lengths and directions. Take $A=(0,0)$ and $AB$ horizontal. The horizontal span in the figure is six unit lengths, so $B=(6,0).$ Along the outer boundary from $A$ to $C,$ the three edges have vectors $\sqrt3(\cos30^\circ,\sin30^\circ),$ $\sqrt3(\cos90^\circ,\sin90^\circ),$ and $(1,0).$ Their sum is $(\tfrac52,\tfrac{3\sqrt3}{2}),$ so $C=(\tfrac52,\tfrac{3\sqrt3}{2}).$ Thus $AB=6$ and the altitude from $C$ is $\tfrac{3\sqrt3}{2},$ giving area $\tfrac12\cdot6\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}=\tfrac{9\sqrt3}{2}.$ Therefore, the answer is B.

23.

Los enteros $a,$ $b,$ y $c$ satisfacen

$\begin{aligned} ab + c &= 100, \\ bc + a &= 87, \\ ca + b &= 60. \end{aligned}$

¿Cuánto vale $ab + bc + ca$ ?

Integers $a,$ $b,$ and $c$ satisfy

$\begin{aligned} ab + c &= 100, \\ bc + a &= 87, \\ ca + b &= 60. \end{aligned}$

What is $ab + bc + ca?$

$212$

$247$

$258$

$276$

$284$

Conceptos:sistema de ecuaciones factorización Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Suma las tres ecuaciones para relacionar $ab + bc + ca$ y $a + b + c$ .

Add all three equations to relate $ab + bc + ca$ and $a + b + c$

Pista grande:

Resta las dos primeras ecuaciones para obtener $(a-c)(b-1)=13;$ enumera los cuatro pares de factores con signo de $13$

Subtract the first two equations to get $(a-c)(b-1)=13;$ enumerate the four signed factor pairs of $13$

Solución:

Resta la segunda ecuación de la primera: $(a-c)(b-1)=13.$ Pon $u=a-c$ y $v=b-1.$ Las cuatro posibilidades $(u,v)=(1,13),$ $(13,1),$ $(-1,-13),$ y $(-13,-1)$ dan, tras sustituir en $bc+a=87,$ respectivamente $c=\frac{86}{15},$ $c=\frac{74}{3},$ $c=-8,$ y $c=100.$ Solo la tercera es una solución entera de las tres ecuaciones originales: $(a,b,c)=(-9,-12,-8).$ (El último candidato es $(87,0,100),$ que no cumple $ca+b=60.$ ) Al sumar las ecuaciones originales se obtiene $ab+bc+ca$ ${}+(a+b+c)=247.$ Como $a+b+c=-29,$ obtenemos $ab+bc+ca$ $=247-(-29)=276.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Subtract the second equation from the first: $(a-c)(b-1)=13.$ Put $u=a-c$ and $v=b-1.$ The four possibilities $(u,v)=(1,13),$ $(13,1),$ $(-1,-13),$ and $(-13,-1)$ give, after substitution into $bc+a=87,$ respectively $c=\frac{86}{15},$ $c=\frac{74}{3},$ $c=-8,$ and $c=100.$ Only the third is an integer solution of all three original equations: $(a,b,c)=(-9,-12,-8).$ (The last candidate is $(87,0,100),$ which fails $ca+b=60.$ ) Adding the original equations gives $ab+bc+ca$ ${}+(a+b+c)=247.$ Since $a+b+c=-29,$ we obtain $ab+bc+ca$ $=247-(-29)=276.$ Thus, D is the correct answer.

24.

Una abeja se mueve en el espacio tridimensional. Se lanza un dado justo de seis caras con caras etiquetadas $A^+,$ $A^-,$ $B^+,$ $B^-,$ $C^+,$ y $C^-$ . Supón que la abeja ocupa el punto $(a, b, c).$ Si el dado muestra $A^+,$ entonces la abeja se mueve al punto $(a + 1, b, c),$ y si el dado muestra $A^-,$ entonces la abeja se mueve al punto $(a - 1, b, c).$ Se hacen movimientos análogos con los otros cuatro resultados.

Supón que la abeja parte del punto $(0, 0, 0)$ y el dado se lanza cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la abeja recorra cuatro aristas distintas de algún cubo unitario?

A bee is moving in three-dimensional space. A fair six-sided die with faces labeled $A^+,$ $A^-,$ $B^+,$ $B^-,$ $C^+,$ and $C^-$ is rolled. Suppose the bee occupies the point $(a, b, c).$ If the die shows $A^+,$ then the bee moves to the point $(a + 1, b, c),$ and if the die shows $A^-,$ then the bee moves to the point $(a - 1, b, c).$ Analogous moves are made with the other four outcomes.

Suppose the bee starts at the point $(0, 0, 0)$ and the die is rolled four times. What is the probability that the bee traverses four distinct edges of some unit cube?

$\dfrac{1}{54}$

$\dfrac{7}{54}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{5}{18}$

$\dfrac{2}{5}$

Conceptos:probabilidad básica geometría del cubo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Hay $6^4$ secuencias de movimientos igualmente probables; los cuatro pasos deben ser cuatro aristas distintas de un mismo cubo unitario.

There are $6^4$ equally likely move sequences; the four steps must be four different edges of one unit cube

Pista grande:

Separa los caminos que usan dos direcciones coordenadas (una cara cuadrada) de los caminos que usan las tres direcciones, donde un eje se repite en pasos no adyacentes.

Separate paths using two coordinate directions (one square face) from paths using all three directions, where one axis repeats in nonadjacent steps

Solución:

Cada lanzamiento mueve a la abeja una unidad a lo largo de $\pm x,\pm y,$ o $\pm z,$ así que hay $6^4=1296$ secuencias igualmente probables. Hay dos tipos de caminos válidos. Un camino alrededor de una cara cuadrada tiene $3$ opciones de plano coordenado, $4$ opciones de signo, y $2$ opciones para la primera dirección, dando $24.$ En caso contrario se usan las tres direcciones coordenadas, con una repetida: elige esa dirección de $3$ maneras, sus dos posiciones no adyacentes de $3$ maneras, el orden de las otras direcciones de $2$ maneras, y los signos de $2^3=8$ maneras. Esto da $3\cdot3\cdot2\cdot8=144.$ Por lo tanto hay $24+144=168$ secuencias favorables, y la probabilidad es $\frac{168}{1296}=\frac{7}{54}.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

Every roll moves the bee one unit along $\pm x,\pm y,$ or $\pm z,$ so there are $6^4=1296$ equally likely sequences. There are two types of valid paths. A path around one square face has $3$ choices of coordinate plane, $4$ choices for the signs of its two axes, and $2$ choices for which axis is used first, giving $24.$ Otherwise all three coordinate directions are used, with one repeated: choose that axis in $3$ ways, choose its two nonadjacent positions in $3$ ways, order the other two axes in $2$ ways, and choose their three initial signs in $2^3=8$ ways. (The second step on the repeated axis must have the opposite sign.) This gives $3\cdot3\cdot2\cdot8=144.$ Hence there are $24+144=168$ favorable sequences, and the probability is $\frac{168}{1296}=\frac{7}{54}.$ Therefore, the answer is B.

25.

La figura de abajo muestra una cuadrícula de puntos de $8$ celdas de ancho y $3$ celdas de alto formada por cuadrados de $1'' \times 1''$ . Carl coloca palillos de $1$ pulgada a lo largo de algunos de los lados de los cuadrados para crear un lazo cerrado que no se interseca a sí mismo. Los números en las celdas indican cuántos lados de ese cuadrado deben quedar cubiertos por palillos, y se permite cualquier cantidad de palillos si no hay número escrito. ¿De cuántas maneras puede Carl colocar los palillos?

The figure below shows a dotted grid $8$ cells wide and $3$ cells tall consisting of $1'' \times 1''$ squares. Carl places $1$ -inch toothpicks along some of the sides of the squares to create a closed loop that does not intersect itself. The numbers in the cells indicate the number of sides of that square that are to be covered by toothpicks, and any number of toothpicks are allowed if no number is written. In how many ways can Carl place the toothpicks?

$130$

$144$

$146$

$162$

$196$

Conceptos:biyección análisis por casos enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Cada celda de la fila central debe tocar exactamente un palillo; una vez fijadas las dos columnas de retorno, el palillo de cada celda interior está independientemente arriba o abajo de ella.

Each middle-row cell must touch exactly one toothpick; after the two turnaround columns are fixed, each interior cell’s toothpick is independently above or below it

Pista grande:

Un lazo que cruza el centro usa las $8,$ las primeras $7,$ las últimas $7,$ o las $6$ columnas centrales; sus columnas interiores se doblan independientemente hacia arriba o hacia abajo

A loop crossing the middle uses all $8,$ the first $7,$ the last $7,$ or the middle $6$ columns; its interior columns independently bend above or below

Solución:

Cada celda de la fila central debe tocar exactamente un palillo. Consideremos primero los lazos que pasan de un lado de la franja central al otro. El lazo puede abarcar las $8$ columnas, las primeras $7,$ las últimas $7,$ o las $6$ centrales; una extensión menor dejaría intacta una celda central exterior. Una vez fijados los dos extremos, cada celda central interior elige independientemente si su único palillo está arriba o abajo, y el resto del lazo no autointersecante queda determinado. Los cuatro casos aportan $2^6,2^5,2^5,$ y $2^4$ lazos. También hay exactamente dos lazos que no cruzan la franja central: el rectángulo horizontal que pasa por completo por arriba o por abajo. Así, el total es $2^6+2^5+2^5+2^4+2$ $=64+32+32+16+2$ $=146.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Each middle-row cell must touch exactly one toothpick. First consider loops that pass from one side of the middle strip to the other. The loop can span all $8$ columns, the first $7,$ the last $7,$ or the middle $6;$ a narrower span would leave an outer middle cell untouched. Once the two ends are fixed, each interior middle cell independently has its one toothpick on its top or bottom side, and the rest of the non-self-intersecting loop is forced. The four cases therefore contribute $2^6,2^5,2^5,$ and $2^4$ loops. There are also exactly two loops that do not cross the middle strip: the horizontal rectangle running entirely along the top or entirely along the bottom. Hence the total is $2^6+2^5+2^5+2^4+2$ $=64+32+32+16+2$ $=146.$ Thus, C is the correct answer.