Question

Los números de Fibonacci se definen por $F_1 = 1,$ $F_2 = 1,$ y $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ para $n \ge 3.$ ¿Cuánto vale

$\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?$

The Fibonacci numbers are defined by $F_1 = 1,$ $F_2 = 1,$ and $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ for $n \ge 3.$ What is

$\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?$

$318$

$319$

$320$

$321$

$322$

Respuesta: B

Conceptos:Fibonacci sumatoria

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Cada término es $\dfrac{F_{2k}}{F_k};$ usa la identidad $F_{2k} = F_k L_k,$ donde $L_k$ es el número de Lucas.

Each term is $\dfrac{F_{2k}}{F_k};$ use the identity $F_{2k} = F_k L_k,$ where $L_k$ is the Lucas number

Pista grande:

La suma se convierte en $L_1 + L_2 + \cdots + L_{10};$ las sumas de números de Lucas satisfacen $\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3$ .

The sum becomes $L_1 + L_2 + \cdots + L_{10};$ sums of Lucas numbers satisfy $\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3$

Solución:

Usa $F_{2k} = F_k L_k,$ así que cada término $\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k,$ el $k$ º número de Lucas. Eso reduce la suma a $\sum_{k=1}^{10} L_k.$ Con $L_1 = 1,$ $L_2 = 3,$ $L_3 = 4,$ $\ldots,$ $L_{10} = 123,$ la identidad $\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3$ da $L_{12} - 3 = 322 - 3 = 319.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Use $F_{2k} = F_k L_k,$ so each term $\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k,$ the $k$ th Lucas number. That collapses the sum to $\sum_{k=1}^{10} L_k.$ With $L_1 = 1,$ $L_2 = 3,$ $L_3 = 4,$ $\ldots,$ $L_{10} = 123,$ the identity $\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3$ gives $L_{12} - 3 = 322 - 3 = 319.$ Thus, B is the correct answer.

2024 AMC 10B Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años