1952 AMC 12 Problema 50

Question

Un segmento que inicialmente mide

1

pulgada crece según la siguiente ley, donde el primer término es la longitud inicial.

\begin{gathered} 1+\frac14\sqrt2+\frac14+\frac1{16}\sqrt2\\ {}+\frac1{16}+\frac1{64}\sqrt2+\frac1{64}+\cdots. \end{gathered}

Si el proceso de crecimiento continúa indefinidamente, el límite de la longitud del segmento es:

A line initially

1

inch long grows according to the following law, where the first term is the initial length.

\begin{gathered} 1+\frac14\sqrt2+\frac14+\frac1{16}\sqrt2\\ {}+\frac1{16}+\frac1{64}\sqrt2+\frac1{64}+\cdots. \end{gathered}

If the growth process continues forever, the limit of the length of the line is:

\infty

\dfrac43

\dfrac38

\dfrac13(4+\sqrt2)

\dfrac23(4+\sqrt2)

Agrupa cada par que tenga la misma potencia de

\frac{1}{4}

Group each pair having the same power of

\frac{1}{4}

Los términos posteriores al

1

inicial suman

(1+\sqrt2)\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}

The terms after the initial

1

equal

(1+\sqrt2)\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}

Después del término inicial, cada potencia

4^{-k}

aparece una vez por sí sola y una vez multiplicada por

\sqrt2.

Como

\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}=\frac{1}{3},

el límite es

1+\frac{1+\sqrt2}{3}=\frac{4+\sqrt2}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

After the initial term, each power

4^{-k}

appears once by itself and once multiplied by

\sqrt2.

Since

\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}=\frac{1}{3},

the limit is

1+\frac{1+\sqrt2}{3}=\frac{4+\sqrt2}{3}.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 50 en otros años