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Soluciones del 1953 AMC 12

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Un muchacho compra naranjas a razón de 33 por 1010 centavos y las vende a razón de 55 por 2020 centavos. Para obtener una ganancia de $1.00,\$1.00, debe vender:
A boy buys oranges at 33 for 1010 cents. He will sell them at 55 for 2020 cents. In order to make a profit of $1.00,\$1.00, he must sell:
6767 naranjas
6767 oranges
150150 naranjas
150150 oranges
200200 naranjas
200200 oranges
una cantidad infinita de naranjas
an infinite number of oranges
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:unit rateprofitarithmetic
Nivel de dificultad: 890
Pista pequeña:
Calcula el costo de compra y el precio de venta de cada naranja
Find the buying cost and selling price per orange
Pista grande:
La ganancia por naranja es la diferencia entre los dos precios unitarios
The profit per orange is the difference of the two unit rates
Solución:
Cada naranja cuesta 103\frac{10}{3} centavos y se vende por 44 centavos, de modo que la ganancia por naranja es de 4−103=234-\frac{10}{3}=\frac{2}{3} de centavo. Para ganar 100100 centavos, debe vender 10023=150 \frac{100}{\frac{2}{3}}=150 naranjas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Each orange costs 103\frac{10}{3} cents and sells for 44 cents, so the profit is 4−103=234-\frac{10}{3}=\frac{2}{3} cent per orange. To earn 100100 cents, he must sell 10023=150 \frac{100}{\frac{2}{3}}=150 oranges.
Thus, the correct answer is B.

2.

Se ofrece un refrigerador cuyo precio es de $250.00\$250.00 antes de aplicar descuentos sucesivos de 20%20\% y 15%.15\%. El precio de venta del refrigerador es:
A refrigerator is offered for sale at $250.00\$250.00 less successive discounts of 20%20\% and 15%.15\%. The sale price of the refrigerator is:
35%35\% menos que $250.00\$250.00
35%35\% less than $250.00\$250.00
el 65%65\% de $250.00\$250.00
65%65\% of $250.00\$250.00
el 77%77\% de $250.00\$250.00
77%77\% of $250.00\$250.00
el 68%68\% de $250.00\$250.00
68%68\% of $250.00\$250.00
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:successive discountsporcentajemultiplication
Nivel de dificultad: 890
Pista pequeña:
Aplica cada descuento al precio que queda después del descuento anterior
Apply each discount to the price remaining after the preceding discount
Pista grande:
Multiplica el precio original por (1−0.20)(1−0.15)(1-0.20)(1-0.15)
Multiply the original price by (1−0.20)(1−0.15)(1-0.20)(1-0.15)
Solución:
Después de los dos descuentos queda (0.80)(0.85)=0.68 (0.80)(0.85)=0.68 del precio original. Por lo tanto, el precio de venta es el 68%68\% de $250.00,\$250.00, es decir, $170.00.\$170.00.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The two discounts leave (0.80)(0.85)=0.68 (0.80)(0.85)=0.68 of the original price. The sale price is therefore 68%68\% of $250.00,\$250.00, or $170.00.\$170.00.
Thus, the correct answer is D.

3.

Los factores de la expresión x2+y2x^2+y^2 son:
The factors of the expression x2+y2x^2+y^2 are:
(x+y)(x−y)(x+y)(x-y)
(x+y)2(x+y)^2
(x23+y23)(x43+y43)(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}})(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}})
(x+iy)(x−iy)(x+iy)(x-iy)
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:complex numberssum of squaresfactorización
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:
En los números complejos, i2=−1i^2=-1
Over the complex numbers, i2=−1i^2=-1
Pista grande:
Reescribe y2y^2 como −(iy)2-(iy)^2 y aplica la diferencia de cuadrados
Rewrite y2y^2 as −(iy)2-(iy)^2 and use a difference of squares
Solución:
Como i2=−1,i^2=-1, (x+iy)(x−iy)=x2−(iy)2=x2+y2. \begin{aligned} (x+iy)(x-iy)&=x^2-(iy)^2\\ &=x^2+y^2. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Because i2=−1,i^2=-1, (x+iy)(x−iy)=x2−(iy)2=x2+y2. \begin{aligned} (x+iy)(x-iy)&=x^2-(iy)^2\\ &=x^2+y^2. \end{aligned}
Thus, the correct answer is D.

4.

Las raíces de x(x2+8x+16)(4−x)=0x(x^2+8x+16)(4-x)=0 son:
The roots of x(x2+8x+16)(4−x)=0x(x^2+8x+16)(4-x)=0 are:
00
0,0, 44
0,0, 4,4, −4-4
0,0, 4,4, −4,-4, −4-4
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:polynomial rootsfactorizaciónmultiplicity
Nivel de dificultad: 1290
Pista pequeña:
Factoriza por completo el trinomio cuadrático
Factor the quadratic completely
Pista grande:
El factor x2+8x+16x^2+8x+16 es un cuadrado perfecto, por lo que una raíz se repite
The factor x2+8x+16x^2+8x+16 is a perfect square, so one root is repeated
Solución:
La ecuación se factoriza como x(x+4)2(4−x)=0. x(x+4)^2(4-x)=0. Contando la multiplicidad, sus raíces son 0,0, 4,4, −4,-4, y −4.-4.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The equation factors as x(x+4)2(4−x)=0. x(x+4)^2(4-x)=0. Its roots, counted with multiplicity, are 0,0, 4,4, −4,-4, and −4.-4.
Thus, the correct answer is D.

5.

Si log⁡6x=2.5,\log_6 x=2.5, el valor de xx es:
If log⁡6x=2.5,\log_6 x=2.5, the value of xx is:
9090
3636
36636\sqrt6
0.50.5
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:logarithmsfractional exponentsradicals
Nivel de dificultad: 1260
Pista pequeña:
Reescribe la ecuación logarítmica en forma exponencial
Rewrite the logarithmic equation in exponential form
Pista grande:
Usa 2.5=2+122.5=2+\tfrac12
Use 2.5=2+122.5=2+\tfrac12
Solución:
La ecuación da x=62.5=626=366. x=6^{2.5}=6^2\sqrt6=36\sqrt6.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The equation gives x=62.5=626=366. x=6^{2.5}=6^2\sqrt6=36\sqrt6.
Thus, the correct answer is C.

6.

Charles tiene 5q+15q+1 monedas de veinticinco centavos y Richard tiene q+5q+5 monedas de veinticinco centavos. Expresada en monedas de diez centavos, la diferencia entre sus cantidades de dinero es:
Charles has 5q+15q+1 quarters and Richard has q+5q+5 quarters. The difference in their money in dimes is:
10(q−1)10(q-1)
25(4q−4)\dfrac25(4q-4)
25(q−1)\dfrac25(q-1)
52(q−1)\dfrac52(q-1)
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:currency conversionalgebraic expression
Nivel de dificultad: 1070
Pista pequeña:
Primero resta las dos cantidades de monedas de veinticinco centavos
First subtract the two numbers of quarters
Pista grande:
Una moneda de veinticinco centavos equivale a 52\frac{5}{2} monedas de diez centavos
One quarter is 52\frac{5}{2} dimes
Solución:
La diferencia es de (5q+1)−(q+5)=4q−4 (5q+1)-(q+5)=4q-4 monedas de veinticinco centavos. Al multiplicar por 52\frac{5}{2} monedas de diez centavos por cada moneda de veinticinco centavos, se obtiene 52(4q−4)=10(q−1). \frac52(4q-4)=10(q-1).
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The difference is (5q+1)−(q+5)=4q−4 (5q+1)-(q+5)=4q-4 quarters. Multiplying by 52\frac{5}{2} dimes per quarter gives 52(4q−4)=10(q−1). \frac52(4q-4)=10(q-1).
Thus, the correct answer is A.

7.

La fracción a2+x2−x2−a2a2+x2a2+x2 \frac{\sqrt{a^2+x^2}-\dfrac{x^2-a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}}{a^2+x^2} se reduce a:
The fraction a2+x2−x2−a2a2+x2a2+x2 \frac{\sqrt{a^2+x^2}-\dfrac{x^2-a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}}{a^2+x^2} reduces to:
00
2a2a2+x2\dfrac{2a^2}{a^2+x^2}
2x2(a2+x2)32\dfrac{2x^2}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}
2a2(a2+x2)32\dfrac{2a^2}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}
2x2a2+x2\dfrac{2x^2}{a^2+x^2}
Conceptos:radicalscomplex fractionsalgebraic simplification
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:
Combina los dos términos del numerador usando un denominador común
Combine the two terms in the numerator over a common denominator
Pista grande:
El nuevo numerador se simplifica a (a2+x2)−(x2−a2)(a^2+x^2)-(x^2-a^2)
The new numerator simplifies to (a2+x2)−(x2−a2)(a^2+x^2)-(x^2-a^2)
Solución:
El numerador es a2+x2−(x2−a2)a2+x2=2a2a2+x2. \begin{aligned} &\frac{a^2+x^2-(x^2-a^2)} {\sqrt{a^2+x^2}}\\ &\qquad{}=\frac{2a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}. \end{aligned} Al dividir entre a2+x2a^2+x^2, se obtiene 2a2(a2+x2)32. \frac{2a^2}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The numerator is a2+x2−(x2−a2)a2+x2=2a2a2+x2. \begin{aligned} &\frac{a^2+x^2-(x^2-a^2)} {\sqrt{a^2+x^2}}\\ &\qquad{}=\frac{2a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}. \end{aligned} Dividing by a2+x2a^2+x^2 gives 2a2(a2+x2)32. \frac{2a^2}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}.
Thus, the correct answer is D.

8.

El valor de xx en la intersección de y=8x2+4y=\dfrac8{x^2+4} y x+y=2x+y=2 es:
The value of xx at the intersection of y=8x2+4y=\dfrac8{x^2+4} and x+y=2x+y=2 is:
−2+5-2+\sqrt5
−2−5-2-\sqrt5
00
22
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:sistema de ecuacionesecuación racionalfactorización
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Sustituye y=2−xy=2-x en la ecuación racional
Substitute y=2−xy=2-x into the rational equation
Pista grande:
Después de eliminar el denominador, extrae el factor xx
After clearing the denominator, factor out xx
Solución:
La sustitución da (2−x)(x2+4)=8. (2-x)(x^2+4)=8. Al desarrollar y simplificar, x(x2−2x+4)=0. x(x^2-2x+4)=0. El factor cuadrático tiene discriminante negativo, así que la intersección real tiene x=0.x=0.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Substitution gives (2−x)(x2+4)=8. (2-x)(x^2+4)=8. Expanding and simplifying, x(x2−2x+4)=0. x(x^2-2x+4)=0. The quadratic factor has negative discriminant, so the real intersection has x=0.x=0.
Thus, the correct answer is C.

9.

La cantidad de onzas de agua necesarias para diluir 99 onzas de loción para afeitar con 50%50\% de alcohol hasta obtener una loción con 30%30\% de alcohol es:
The number of ounces of water needed to reduce 99 ounces of shaving lotion containing 50%50\% alcohol to a lotion containing 30%30\% alcohol is:
33
44
55
66
77
Conceptos:mezclaporcentajeequation
Nivel de dificultad: 1070
Pista pequeña:
La cantidad de alcohol permanece constante cuando se agrega agua
The amount of alcohol stays fixed when water is added
Pista grande:
Plantea 4.59+w=0.30\frac{4.5}{9+w}=0.30
Set 4.59+w=0.30\frac{4.5}{9+w}=0.30
Solución:
Al principio, la loción contiene 9(0.50)=4.59(0.50)=4.5 onzas de alcohol. Si se agregan ww onzas de agua, entonces 4.59+w=0.30. \frac{4.5}{9+w}=0.30. Por consiguiente, 9+w=159+w=15 y w=6.w=6.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The lotion initially contains 9(0.50)=4.59(0.50)=4.5 ounces of alcohol. If ww ounces of water are added, then 4.59+w=0.30. \frac{4.5}{9+w}=0.30. Hence 9+w=159+w=15 and w=6.w=6.
Thus, the correct answer is D.

10.

El número de vueltas que debe dar una rueda de centro fijo y diámetro exterior de 66 pies para que un punto de su borde recorra una milla es:
The number of revolutions of a wheel, with fixed center and with an outside diameter of 66 feet, required to cause a point on the rim to go one mile is:
880880
440π\dfrac{440}{\pi}
880π\dfrac{880}{\pi}
440π440\pi
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:circle circumferenceconversión de unidadesrevolutions
Nivel de dificultad: 1180
Pista pequeña:
En una vuelta, el punto del borde recorre una circunferencia
In one revolution the rim point travels one circumference
Pista grande:
Divide 52805280 pies entre la circunferencia de 6π6\pi pies
Divide 52805280 feet by the circumference 6π6\pi feet
Solución:
La circunferencia de la rueda mide 6π6\pi pies, por lo que el número de vueltas requerido es 52806π=880π. \frac{5280}{6\pi}=\frac{880}{\pi}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The wheel’s circumference is 6π6\pi feet, so the required number of revolutions is 52806π=880π. \frac{5280}{6\pi}=\frac{880}{\pi}.
Thus, the correct answer is C.

11.

Una pista de carreras es el anillo formado por dos círculos concéntricos y tiene 1010 pies de ancho. Las circunferencias de los dos círculos difieren aproximadamente en:
A running track is the ring formed by two concentric circles. It is 1010 feet wide. The circumferences of the two circles differ by about:
1010 pies
1010 feet
3030 pies
3030 feet
6060 pies
6060 feet
100100 pies
100100 feet
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:circle circumferenceapproximation
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
El radio exterior mide 1010 pies más que el radio interior
The outer radius is 1010 feet greater than the inner radius
Pista grande:
Resta las circunferencias; el radio interior desconocido se cancela
Subtract the circumferences; the unknown inner radius cancels
Solución:
Si el radio interior es r,r, la diferencia es de 2π(r+10)−2πr=20π≈62.8 2\pi(r+10)-2\pi r=20\pi\approx62.8 pies, que son aproximadamente 6060 pies.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
If the inner radius is r,r, the difference is 2π(r+10)−2πr=20π≈62.8 2\pi(r+10)-2\pi r=20\pi\approx62.8 feet, which is about 6060 feet.
Thus, the correct answer is C.

12.

Los diámetros de dos círculos miden 88 pulgadas y 1212 pulgadas, respectivamente. La razón entre el área del círculo menor y el área del círculo mayor es:
The diameters of two circles are 88 inches and 1212 inches respectively. The ratio of the area of the smaller to the area of the larger circle is:
23\dfrac23
49\dfrac49
94\dfrac94
12\dfrac12
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:área del círculosemejanzaratio
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
Las áreas de los círculos son proporcionales a los cuadrados de sus diámetros
Circle areas scale as the squares of their diameters
Pista grande:
Eleva al cuadrado la razón de diámetros 812\frac{8}{12}
Square the diameter ratio 812\frac{8}{12}
Solución:
La razón de las áreas es el cuadrado de la razón de los diámetros: (812)2=(23)2=49. \left(\frac8{12}\right)^2=\left(\frac23\right)^2=\frac49.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The area ratio is the square of the diameter ratio: (812)2=(23)2=49. \left(\frac8{12}\right)^2=\left(\frac23\right)^2=\frac49.
Thus, the correct answer is B.

13.

Un triángulo y un trapecio tienen la misma área y también la misma altura. Si la base del triángulo mide 1818 pulgadas, la mediana del trapecio mide:
A triangle and a trapezoid are equal in area. They also have the same altitude. If the base of the triangle is 1818 inches, the median of the trapezoid is:
3636 pulgadas
3636 inches
99 pulgadas
99 inches
1818 pulgadas
1818 inches
no se puede determinar con estos datos
not obtainable from these data
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:área del triángulotrapezoid areamedian
Nivel de dificultad: 1070
Pista pequeña:
El área de un trapecio es el producto de su mediana por su altura
The area of a trapezoid is its median times its altitude
Pista grande:
Compara mhmh con 12(18)h\tfrac12(18)h
Compare mhmh with 12(18)h\tfrac12(18)h
Solución:
Si la altura común es h,h, el área del triángulo es 12(18)h=9h. \frac12(18)h=9h. El área de un trapecio es el producto de su mediana por su altura, así que su mediana debe medir 99 pulgadas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
If the common altitude is h,h, the triangle has area 12(18)h=9h. \frac12(18)h=9h. A trapezoid’s area is its median times its altitude, so its median must be 99 inches.
Thus, the correct answer is B.

14.

De dos círculos, el mayor tiene centro PP y radio pp, y el menor tiene centro QQ y radio q.q. Traza PQ‾.\overline{PQ}. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
Given the larger of two circles with center PP and radius pp and the smaller with center QQ and radius q.q. Draw PQ‾.\overline{PQ}. Which of the following statements is false?
p−qp-q puede ser igual a PQ‾\overline{PQ}
p−qp-q can be equal to PQ‾\overline{PQ}
p+qp+q puede ser igual a PQ‾\overline{PQ}
p+qp+q can be equal to PQ‾\overline{PQ}
p+qp+q puede ser menor que PQ‾\overline{PQ}
p+qp+q can be less than PQ‾\overline{PQ}
p−qp-q puede ser menor que PQ‾\overline{PQ}
p−qp-q can be less than PQ‾\overline{PQ}
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:circlescenter distancetangency
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Interpreta la distancia entre los centros cuando los círculos son tangentes interiormente, tangentes exteriormente y disjuntos
Interpret the center distance for internal tangency, external tangency, and disjoint circles
Pista grande:
Para cada una de las primeras cuatro afirmaciones, intenta elegir una posición relativa válida de los círculos
For each of the first four statements, try to choose a valid relative position of the circles
Solución:
La tangencia interior produce PQ=p−q,PQ=p-q, y la tangencia exterior produce PQ=p+q.PQ=p+q. Los círculos disjuntos pueden cumplir PQ>p+q,PQ\gt p+q, y muchas configuraciones con círculos secantes o disjuntos cumplen PQ>p−q.PQ\gt p-q. Por lo tanto, cada una de las situaciones A a D puede ocurrir, así que ninguna es falsa.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Internal tangency realizes PQ=p−q,PQ=p-q, and external tangency realizes PQ=p+q.PQ=p+q. Disjoint circles can have PQ>p+q,PQ\gt p+q, and many intersecting or disjoint configurations have PQ>p−q.PQ\gt p-q. Thus each of A through D can occur, so none of them is false.
Therefore, the correct answer is E.

15.

De una pieza cuadrada de metal se corta una pieza circular del mayor tamaño posible y luego, de esta, se corta una pieza cuadrada del mayor tamaño posible. La cantidad total de metal desperdiciado es:
A circular piece of metal of maximum size is cut out of a square piece and then a square piece of maximum size is cut out of the circular piece. The total amount of metal wasted is:
14\dfrac14 del área del cuadrado original
14\dfrac14 the area of the original square
12\dfrac12 del área del cuadrado original
12\dfrac12 the area of the original square
12\dfrac12 del área de la pieza circular
12\dfrac12 the area of the circular piece
14\dfrac14 del área de la pieza circular
14\dfrac14 the area of the circular piece
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:inscribed figuressquarecírculoárea
Nivel de dificultad: 1310
Pista pequeña:
Supón que el cuadrado original tiene lado ss
Let the original square have side ss
Pista grande:
La diagonal del cuadrado final es igual al diámetro del círculo, que mide ss
The final square’s diagonal equals the circle’s diameter, which is ss
Solución:
Supón que el cuadrado original tiene lado s.s. El círculo inscrito tiene diámetro s.s. Ese diámetro es la diagonal del cuadrado más grande que se puede cortar del círculo, por lo que el cuadrado final tiene lado s2\frac{s}{\sqrt2} y área s22.\frac{s^2}{2}. El material que queda después de ambos cortes es este cuadrado final, así que el desperdicio total es s2−s22=s22.s^2-\frac{s^2}{2}=\frac{s^2}{2}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let the original square have side s.s. The inscribed circle has diameter s.s. That diameter is the diagonal of the largest square cut from the circle, so the final square has side s2\frac{s}{\sqrt2} and area s22.\frac{s^2}{2}. The material left after both cuts is this final square, so the total waste is s2−s22=s22.s^2-\frac{s^2}{2}=\frac{s^2}{2}.
Thus, the correct answer is B.

16.

Adams planea obtener una ganancia equivalente al 10%10\% del precio de venta de un artículo, y sus gastos equivalen al 15%15\% de las ventas. La tasa de recargo sobre un artículo que se vende por $5.00\$5.00 es:
Adams plans a profit of 10%10\% on the selling price of an article and his expenses are 15%15\% of sales. The rate of mark-up on an article that sells for $5.00\$5.00 is:
20%20\%
25%25\%
30%30\%
3313%33\dfrac13\%
35%35\%
Conceptos:markupprofitexpensesporcentaje
Nivel de dificultad: 1490
Pista pequeña:
Resta del precio de venta tanto la ganancia como los gastos para recuperar el costo
Subtract both profit and expenses from the selling price to recover the cost
Pista grande:
El costo equivale al 75%75\% del precio de venta
The cost is 75%75\% of the selling price
Solución:
La ganancia y los gastos suman el 10%+15%=25%10\%+15\%=25\% de las ventas, así que el costo equivale al 75%75\% del precio de venta. El recargo como fracción del costo es 25%75%=13=3313%. \frac{25\%}{75\%}=\frac13=33\frac13\%.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Profit and expenses are 10%+15%=25%10\%+15\%=25\% of sales, so the cost is 75%75\% of the selling price. The markup as a fraction of cost is 25%75%=13=3313%. \frac{25\%}{75\%}=\frac13=33\frac13\%.
Thus, the correct answer is D.

17.

Un hombre invierte parte de $4500\$4500 al 4%4\% y el resto al 6%.6\%. Si su rendimiento anual es el mismo en cada inversión, la tasa promedio de interés que obtiene sobre los $4500\$4500 es:
A man has part of $4500\$4500 invested at 4%4\% and the rest at 6%.6\%. If his annual return on each investment is the same, the average rate of interest which he realizes on the $4500\$4500 is:
5%5\%
4.8%4.8\%
5.2%5.2\%
4.6%4.6\%
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:simple interestweighted averageequation
Nivel de dificultad: 1360
Pista pequeña:
Sea xx la cantidad invertida al 4%4\% e iguala los dos rendimientos
Let xx be the amount invested at 4%4\% and equate the two returns
Pista grande:
Resuelve 0.04x=0.06(4500−x)0.04x=0.06(4500-x) y luego calcula el rendimiento total
Solve 0.04x=0.06(4500−x)0.04x=0.06(4500-x), then find the total return
Solución:
Sea xx la cantidad de dólares invertida al 4%.4\%. La igualdad de los rendimientos da 0.04x=0.06(4500−x), 0.04x=0.06(4500-x), por lo que x=2700.x=2700. Cada inversión rinde $108,\$108, para un total de $216.\$216. La tasa promedio es 2164500=0.048=4.8%. \frac{216}{4500}=0.048=4.8\%.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let xx dollars be invested at 4%.4\%. Equal returns give 0.04x=0.06(4500−x), 0.04x=0.06(4500-x), so x=2700.x=2700. Each investment returns $108,\$108, for a total of $216.\$216. The average rate is 2164500=0.048=4.8%. \frac{216}{4500}=0.048=4.8\%.
Thus, the correct answer is B.

18.

Uno de los factores de x4+4x^4+4 es:
One of the factors of x4+4x^4+4 is:
x2+2x^2+2
x+1x+1
x2−2x+2x^2-2x+2
x2−4x^2-4
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:Sophie Germain identityfactorizacióndiferencia de cuadrados
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Suma y resta 4x24x^2 para crear una diferencia de cuadrados
Add and subtract 4x24x^2 to create a difference of squares
Pista grande:
Escribe x4+4=(x2+2)2−(2x)2x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2
Write x4+4=(x2+2)2−(2x)2x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2
Solución:
Usando una diferencia de cuadrados, x4+4=(x2+2)2−(2x)2=(x2−2x+2)(x2+2x+2). \begin{gathered} x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2\\ =(x^2-2x+2)(x^2+2x+2). \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Using a difference of squares, x4+4=(x2+2)2−(2x)2=(x2−2x+2)(x2+2x+2). \begin{gathered} x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2\\ =(x^2-2x+2)(x^2+2x+2). \end{gathered}
Thus, the correct answer is C.

19.

En la expresión xy2,xy^2, los valores de xx y yy disminuyen cada uno un 25%;25\%; el valor de la expresión:
In the expression xy2,xy^2, the values of xx and yy are each decreased 25%;25\%; the value of the expression is:
disminuye un 50%50\%
decreased 50%50\%
disminuye un 75%75\%
decreased 75%75\%
disminuye en 3764\frac{37}{64} de su valor
decreased 3764\frac{37}{64} of its value
disminuye en 2764\frac{27}{64} de su valor
decreased 2764\frac{27}{64} of its value
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:percentage changeexponentsmultiplicative factor
Nivel de dificultad: 1310
Pista pequeña:
Cada variable, después de la disminución, equivale a 34\frac{3}{4} de su valor original
Each decreased variable is 34\frac{3}{4} of its original value
Pista grande:
Al calcular el nuevo factor multiplicativo, ten en cuenta que yy está elevado al cuadrado
Account for the two powers of yy when finding the new multiplicative factor
Solución:
El nuevo valor es (34x)(34y)2=2764xy2. \left(\frac34x\right)\left(\frac34y\right)^2 =\frac{27}{64}xy^2. Por lo tanto, la disminución es 1−2764=37641-\frac{27}{64}=\frac{37}{64} del valor original.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The new value is (34x)(34y)2=2764xy2. \left(\frac34x\right)\left(\frac34y\right)^2 =\frac{27}{64}xy^2. Therefore the decrease is 1−2764=37641-\frac{27}{64}=\frac{37}{64} of the original value.
Thus, the correct answer is C.

20.

Si y=x+1x,y=x+\dfrac1x, entonces x4+x3−4x2+x+1=0x^4+x^3-4x^2+x+1=0 se convierte en:
If y=x+1x,y=x+\dfrac1x, then x4+x3−4x2+x+1=0x^4+x^3-4x^2+x+1=0 becomes:
x2(y2+y−2)=0x^2(y^2+y-2)=0
x2(y2+y−3)=0x^2(y^2+y-3)=0
x2(y2+y−4)=0x^2(y^2+y-4)=0
x2(y2+y−6)=0x^2(y^2+y-6)=0
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:sustituciónreciprocal polynomialalgebraic identity
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
Extrae el factor x2x^2 y agrupa los términos recíprocos
Factor out x2x^2 and group reciprocal terms
Pista grande:
Usa x2+x−2=(x+x−1)2−2x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2
Use x2+x−2=(x+x−1)2−2x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2
Solución:
Como x≠0,x\ne0, la expresión se puede factorizar como x2[(x2+1x2)+(x+1x)−4]. \begin{aligned} x^2\Bigg[& \left(x^2+\frac1{x^2}\right)\\ &+\left(x+\frac1x\right)-4 \Bigg]. \end{aligned} Puesto que x2+x−2=y2−2,x^2+x^{-2}=y^2-2, esto se convierte en x2(y2+y−6)=0. x^2(y^2+y-6)=0.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Because x≠0,x\ne0, factor the expression as x2[(x2+1x2)+(x+1x)−4]. \begin{aligned} x^2\Bigg[& \left(x^2+\frac1{x^2}\right)\\ &+\left(x+\frac1x\right)-4 \Bigg]. \end{aligned} Since x2+x−2=y2−2,x^2+x^{-2}=y^2-2, this becomes x2(y2+y−6)=0. x^2(y^2+y-6)=0.
Thus, the correct answer is D.

21.

Si log⁡10(x2−3x+6)=1,\log_{10}(x^2-3x+6)=1, el valor de xx es:
If log⁡10(x2−3x+6)=1,\log_{10}(x^2-3x+6)=1, the value of xx is:
1010 o 22
1010 or 22
44 o −2-2
44 or −2-2
33 o −1-1
33 or −1-1
44 o −1-1
44 or −1-1
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:logarithmsquadratic equationfactorización
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:
Convierte la ecuación logarítmica en x2−3x+6=10x^2-3x+6=10
Convert the logarithmic equation to x2−3x+6=10x^2-3x+6=10
Pista grande:
Factoriza la expresión cuadrática resultante
Factor the resulting quadratic
Solución:
La ecuación logarítmica equivale a x2−3x+6=10, x^2-3x+6=10, por lo que x2−3x−4=(x−4)(x+1)=0. \begin{aligned} x^2-3x-4&=(x-4)(x+1)\\ &=0. \end{aligned} Por lo tanto, x=4x=4 o x=−1.x=-1.
La respuesta correcta es D.
The logarithmic equation is equivalent to x2−3x+6=10, x^2-3x+6=10, so x2−3x−4=(x−4)(x+1)=0. \begin{aligned} x^2-3x-4&=(x-4)(x+1)\\ &=0. \end{aligned} Thus x=4x=4 or x=−1.x=-1.
The correct answer is D.

22.

El logaritmo de 27949327\sqrt[4]{9}\sqrt[3]{9} en base 33 es:
The logarithm of 27949327\sqrt[4]{9}\sqrt[3]{9} to the base 33 is:
8128\dfrac12
4164\dfrac16
55
33
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:logarithmsnested radicalsfractional exponents
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Reescribe 2727 y las dos apariciones de 99 como potencias de 33
Rewrite 2727 and both occurrences of 99 as powers of 33
Pista grande:
Suma los exponentes 3,3, 12,\frac{1}{2}, y 23\frac{2}{3}
Add the exponents 3,3, 12,\frac{1}{2}, and 23\frac{2}{3}
Solución:
La expresión impresa es el producto de dos radicales distintos: 279493=33+12+23=3256. 27\sqrt[4]{9}\sqrt[3]{9} =3^{3+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=3^{\frac{25}{6}}. Su logaritmo en base 33 es 256=416.\frac{25}{6}=4\dfrac16.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The printed expression is a product of two separate radicals: 279493=33+12+23=3256. 27\sqrt[4]{9}\sqrt[3]{9} =3^{3+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=3^{\frac{25}{6}}. Its base-33 logarithm is 256=416.\frac{25}{6}=4\dfrac16.
Thus, the correct answer is B.

23.

La ecuación x+10−6x+10=5\sqrt{x+10}-\dfrac6{\sqrt{x+10}}=5 tiene:
The equation x+10−6x+10=5\sqrt{x+10}-\dfrac6{\sqrt{x+10}}=5 has:
una raíz extraña entre −5-5 y −1-1
an extraneous root between −5-5 and −1-1
una raíz extraña entre −10-10 y −6-6
an extraneous root between −10-10 and −6-6
una raíz verdadera entre 2020 y 2525
a true root between 2020 and 2525
dos raíces verdaderas
two true roots
dos raíces extrañas
two extraneous roots
Conceptos:radical equationextraneous rootdomain
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:
Multiplica por x+10\sqrt{x+10} antes de eliminar el radical
Multiply by x+10\sqrt{x+10} before eliminating the radical
Pista grande:
Después de resolver la cuadrática resultante, sustituye ambos candidatos en la ecuación original
After solving the resulting quadratic, substitute both candidates into the original equation
Solución:
Al multiplicar por x+10\sqrt{x+10}, se obtiene x+4=5x+10. x+4=5\sqrt{x+10}. Al elevar al cuadrado, resulta x2−17x−234=(x−26)(x+9)=0. \begin{gathered} x^2-17x-234\\ =(x-26)(x+9)\\ =0. \end{gathered} El valor x=26x=26 satisface la ecuación original, mientras que x=−9x=-9 hace que el lado izquierdo sea 1−6=−5,1-6=-5, y no 5.5. Por lo tanto, −9,-9, que está entre −10-10 y −6,-6, es una raíz extraña.
La respuesta correcta es B.
Multiplying by x+10\sqrt{x+10} gives x+4=5x+10. x+4=5\sqrt{x+10}. Squaring produces x2−17x−234=(x−26)(x+9)=0. \begin{gathered} x^2-17x-234\\ =(x-26)(x+9)\\ =0. \end{gathered} The value x=26x=26 satisfies the original equation, while x=−9x=-9 makes its left side 1−6=−5,1-6=-5, not 5.5. Thus −9,-9, which lies between −10-10 and −6,-6, is extraneous.
The correct answer is B.

24.

Si a,a, bb y cc son enteros positivos menores que 10,10, entonces (10a+b)(10a+c)(10a+b)(10a+c) es igual a 100a(a+1)+bc100a(a+1)+bc si:
If a,a, bb and cc are positive integers less than 10,10, then (10a+b)(10a+c)(10a+b)(10a+c) equals 100a(a+1)+bc100a(a+1)+bc if:
b+c=10b+c=10
b=cb=c
a+b=10a+b=10
a=ba=b
a+b+c=10a+b+c=10
Conceptos:algebraic identityvalor posicionalexpansion
Nivel de dificultad: 1470
Pista pequeña:
Desarrolla ambos lados y cancela los términos comunes
Expand both sides and cancel their common terms
Pista grande:
Los únicos términos que quedan por igualar son 10a(b+c)10a(b+c) y 100a100a
The only unmatched terms are 10a(b+c)10a(b+c) and 100a100a
Solución:
Al desarrollar y cancelar 100a2+bc100a^2+bc en ambos lados, queda 10a(b+c)=100a. 10a(b+c)=100a. Como aa es positivo, esto equivale a b+c=10.b+c=10.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Expanding and canceling 100a2+bc100a^2+bc from both sides leaves 10a(b+c)=100a. 10a(b+c)=100a. Since aa is positive, this is equivalent to b+c=10.b+c=10.
Thus, the correct answer is A.

25.

En una progresión geométrica de términos positivos, cualquier término es igual a la suma de los dos términos que lo siguen. Entonces la razón común es:
In a geometric progression whose terms are positive, any term is equal to the sum of the next two following terms. Then the common ratio is:
11
aproximadamente 52\dfrac{\sqrt5}{2}
about 52\dfrac{\sqrt5}{2}
5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}
1−52\dfrac{1-\sqrt5}{2}
25\dfrac2{\sqrt5}
Conceptos:geometric progressionquadratic equationpositive root
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Divide entre el primero de ellos la relación entre tres términos consecutivos
Divide the relation among three consecutive terms by the first of them
Pista grande:
La razón común satisface 1=r+r21=r+r^2; elige su raíz positiva
The common ratio satisfies 1=r+r21=r+r^2; choose its positive root
Solución:
Si un término es t,t, los dos siguientes son trtr y tr2.tr^2. Así, t=tr+tr2 t=tr+tr^2 y r2+r−1=0.r^2+r-1=0. Como los términos son positivos, r=5−12. r=\frac{\sqrt5-1}{2}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
If a term is t,t, the next two are trtr and tr2.tr^2. Thus t=tr+tr2 t=tr+tr^2 and r2+r−1=0.r^2+r-1=0. Because the terms are positive, r=5−12. r=\frac{\sqrt5-1}{2}.
Thus, the correct answer is C.

26.

La base de un triángulo mide 1515 pulgadas. Se trazan dos segmentos paralelos a la base, con extremos en los otros dos lados, que dividen el triángulo en tres regiones de igual área. La longitud del segmento paralelo más cercano a la base es:
The base of a triangle is 1515 inches. Two lines are drawn parallel to the base, terminating in the other two sides, and dividing the triangle into three equal areas. The length of the parallel closer to the base is:
565\sqrt6 pulgadas
565\sqrt6 inches
1010 pulgadas
1010 inches
434\sqrt3 pulgadas
434\sqrt3 inches
7.57.5 pulgadas
7.57.5 inches
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:similar trianglesrazón de áreasrectas paralelas
Nivel de dificultad: 1420
Pista pequeña:
El triángulo situado sobre el segmento paralelo inferior contiene dos tercios del área total
The triangle above the lower parallel contains two-thirds of the total area
Pista grande:
En triángulos semejantes, la razón de las áreas es el cuadrado de la razón de las longitudes correspondientes
For similar triangles, the area ratio is the square of the corresponding-length ratio
Solución:
El segmento paralelo más cercano a la base delimita sobre él un triángulo menor cuya área es 23\frac{2}{3} del área del triángulo completo. Si su longitud es x,x, la semejanza da x2152=23. \frac{x^2}{15^2}=\frac23. Por consiguiente, x2=150x^2=150 y x=56.x=5\sqrt6.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The parallel closer to the base bounds a smaller triangle above it whose area is 23\frac{2}{3} of the whole triangle. If its length is x,x, similarity gives x2152=23. \frac{x^2}{15^2}=\frac23. Hence x2=150x^2=150 and x=56.x=5\sqrt6.
Thus, the correct answer is A.

27.

El radio del primer círculo mide 11 pulgada; el del segundo, 12\dfrac12 pulgada; el del tercero, 14\dfrac14 de pulgada; y así sucesivamente sin fin. La suma de las áreas de los círculos es:
The radius of the first circle is 11 inch, that of the second 12\dfrac12 inch, that of the third 14\dfrac14 inch and so on indefinitely. The sum of the areas of the circles is:
3π4\dfrac{3\pi}{4}
1.3π1.3\pi
2π2\pi
4π3\dfrac{4\pi}{3}
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:área del círculoinfinite geometric series
Nivel de dificultad: 1420
Pista pequeña:
Al elevar cada radio al cuadrado, cambia la razón común
Squaring each radius changes the common ratio
Pista grande:
Las áreas forman una serie geométrica con primer término π\pi y razón 14\frac{1}{4}
The areas form a geometric series with first term π\pi and ratio 14\frac{1}{4}
Solución:
Las áreas son π, π4, π16,… \pi,\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{16},\ldots Por lo tanto, su suma es π1−14=4π3. \frac{\pi}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4\pi}{3}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The areas are π, π4, π16,… \pi,\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{16},\ldots Therefore their sum is π1−14=4π3. \frac{\pi}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4\pi}{3}.
Thus, the correct answer is D.

28.

En el triángulo ABC,ABC, los lados a,a, bb y cc están opuestos a los ángulos A,A, BB y CC, respectivamente. AD‾\overline{AD} biseca el ángulo AA y corta a BC‾\overline{BC} en D.D. Si x=CDx=CD y y=BDy=BD, la proporción correcta es:
In triangle ABC,ABC, sides a,a, bb and cc are opposite angles A,A, BB and CC respectively. AD‾\overline{AD} bisects angle AA and meets BC‾\overline{BC} at D.D. Then if x=CDx=CD and y=BDy=BD the correct proportion is:
xa=ab+c\dfrac xa=\dfrac a{b+c}
xb=aa+c\dfrac xb=\dfrac a{a+c}
yc=cb+c\dfrac yc=\dfrac c{b+c}
yc=ab+c\dfrac yc=\dfrac a{b+c}
xy=cb\dfrac xy=\dfrac cb
Conceptos:teorema de la bisectriztriangleproportion
Nivel de dificultad: 1470
Pista pequeña:
Aplica el teorema de la bisectriz a BDDC\frac{BD}{DC}
Apply the angle bisector theorem to BDDC\frac{BD}{DC}
Pista grande:
Usa x+y=ax+y=a después de escribir yc=xb\frac{y}{c}=\frac{x}{b}
Use x+y=ax+y=a after writing yc=xb\frac{y}{c}=\frac{x}{b}
Solución:
El teorema de la bisectriz da yx=cb, \frac{y}{x}=\frac{c}{b}, o bien yc=xb.\frac{y}{c}=\frac{x}{b}. Como x+y=a,x+y=a, yc=xb=x+yb+c=ab+c. \frac yc=\frac xb=\frac{x+y}{b+c}=\frac a{b+c}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The angle bisector theorem gives yx=cb, \frac{y}{x}=\frac{c}{b}, or yc=xb.\frac{y}{c}=\frac{x}{b}. Since x+y=a,x+y=a, yc=xb=x+yb+c=ab+c. \frac yc=\frac xb=\frac{x+y}{b+c}=\frac a{b+c}.
Thus, the correct answer is D.

29.

El número de cifras significativas en la medida del lado de un cuadrado cuya área calculada es de 1.10251.1025 pulgadas cuadradas, redondeada a la diezmilésima de pulgada cuadrada más cercana, es:
The number of significant digits in the measurement of the side of a square whose computed area is 1.10251.1025 square inches to the nearest ten-thousandth of a square inch is:
22
33
44
55
11
Conceptos:measurement errorsignificant digitssquare root
Nivel de dificultad: 1810
Pista pequeña:
El área real está entre 1.102451.10245 y 1.102551.10255 pulgadas cuadradas
The true area lies from 1.102451.10245 up to 1.102551.10255 square inches
Pista grande:
Extrae las raíces cuadradas de los extremos del intervalo de error y observa cuántas cifras del lado quedan determinadas
Take square roots of the error interval and see how many digits of the side are fixed
Solución:
El área indicada significa que el área real está en 1.10245≤A<1.10255. 1.10245\le A\lt1.10255. Al extraer raíces cuadradas se obtiene, aproximadamente, 1.049976≤A<1.050024. 1.049976\le\sqrt A\lt1.050024. Por lo tanto, toda longitud posible del lado se redondea a 1.05001.0500 a la diezmilésima más cercana. Los ceros finales después del punto decimal son significativos, así que 1.05001.0500 tiene cinco cifras significativas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The reported area means the true area lies in 1.10245≤A<1.10255. 1.10245\le A\lt1.10255. Taking square roots gives approximately 1.049976≤A<1.050024. 1.049976\le\sqrt A\lt1.050024. Every possible side length therefore rounds to 1.05001.0500 to the nearest ten-thousandth. The trailing zeros after the decimal are significant, so 1.05001.0500 has five significant digits.
Thus, the correct answer is D.

30.

El señor AA vende al señor BB, con una pérdida del 10%10\%, una casa que vale $9000\$9000. El señor BB vuelve a venderle la casa al señor AA con una ganancia del 10%10\%. El resultado de las dos transacciones es:
A house worth $9000\$9000 is sold by Mr. AA to Mr. BB at a 10%10\% loss. Mr. BB sells the house back to Mr. AA at a 10%10\% gain. The result of the two transactions is:
el señor AA no gana ni pierde
Mr. AA breaks even
el señor BB gana $900\$900
Mr. BB gains $900\$900
el señor AA pierde $900\$900
Mr. AA loses $900\$900
el señor AA pierde $810\$810
Mr. AA loses $810\$810
el señor BB gana $1710\$1710
Mr. BB gains $1710\$1710
Conceptos:porcentajeprofit and losstransactions
Nivel de dificultad: 1070
Pista pequeña:
Calcula por separado el precio de cada venta
Find the price of each sale separately
Pista grande:
El segundo 10%10\% se calcula sobre el precio de la primera venta, no sobre $9000\$9000
The second 10%10\% is taken from the first sale price, not from $9000\$9000
Solución:
El señor BB paga primero 9000(0.90)=8100 9000(0.90)=8100 dólares. Luego vuelve a vender la casa por 8100(1.10)=89108100(1.10)=8910 dólares. El señor AA recibe $8100\$8100 y paga $8910,\$8910, por lo que pierde $810.\$810.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Mr. BB first pays 9000(0.90)=8100 9000(0.90)=8100 dollars. He then sells the house back for 8100(1.10)=89108100(1.10)=8910 dollars. Mr. AA receives $8100\$8100 and pays $8910,\$8910, so he loses $810.\$810.
Thus, the correct answer is D.

31.

Los rieles de una vía férrea miden 3030 pies. Cuando el tren pasa sobre cada unión de los rieles, se oye un chasquido. La velocidad del tren en millas por hora es aproximadamente igual al número de chasquidos que se oyen en:
The rails on a railroad are 3030 feet long. As the train passes over the point where the rails are joined, there is an audible click. The speed of the train in miles per hour is approximately the number of clicks heard in:
2020 segundos
2020 seconds
22 minutos
22 minutes
1121\dfrac12 minutos
1121\dfrac12 minutes
55 minutos
55 minutes
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:conversión de unidadestasaapproximation
Nivel de dificultad: 1540
Pista pequeña:
Convierte una milla por hora a pies por segundo y luego divide entre 3030 pies por chasquido
Convert one mile per hour to feet per second, then divide by 3030 feet per click
Pista grande:
Encuentra el intervalo durante el cual el número de chasquidos es aproximadamente igual al valor numérico de la velocidad en millas por hora
Find the time interval for which the click count is approximately the numerical speed in miles per hour
Solución:
Una velocidad de vv millas por hora equivale a 22v15\frac{22v}{15} pies por segundo. Como cada chasquido representa 3030 pies, la frecuencia es de 22v1530=11v225 \frac{\frac{22v}{15}}{30}=\frac{11v}{225} chasquidos por segundo. En 22511≈20.45\frac{225}{11}\approx20.45 segundos, el número de chasquidos es v.v. El intervalo más cercano entre las opciones es de 2020 segundos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
A speed of vv miles per hour is 22v15\frac{22v}{15} feet per second. Since each click represents 3030 feet, the click rate is 22v1530=11v225 \frac{\frac{22v}{15}}{30}=\frac{11v}{225} clicks per second. In 22511≈20.45\frac{225}{11}\approx20.45 seconds, the number of clicks is v.v. The closest listed interval is 2020 seconds.
Thus, the correct answer is A.

32.

Se triseca cada ángulo de un rectángulo. Las intersecciones de cada par de trisectrices adyacentes al mismo lado siempre forman:
Each angle of a rectangle is trisected. The intersections of the pairs of trisectors adjacent to the same side always form:
un cuadrado
a square
un rectángulo
a rectangle
un paralelogramo con lados desiguales
a parallelogram with unequal sides
un rombo
a rhombus
un cuadrilátero sin propiedades especiales
a quadrilateral with no special properties
Conceptos:rectánguloangle trisectorsrombosimetría
Nivel de dificultad: 1830
Pista pequeña:
Usa los ejes de simetría horizontal y vertical del rectángulo
Use the horizontal and vertical symmetry axes of the rectangle
Pista grande:
Los cuatro puntos de intersección forman diagonales perpendiculares que se bisecan
The four intersection points have perpendicular diagonals that bisect each other
Solución:
Para cada lado, las dos trisectrices adyacentes a él se encuentran sobre su mediatriz. Los puntos de intersección opuestos son reflejos respecto del centro del rectángulo, de modo que las diagonales del cuadrilátero resultante se bisecan. Una diagonal está sobre el eje de simetría horizontal y la otra sobre el eje vertical, por lo que son perpendiculares.
Un cuadrilátero cuyas diagonales se bisecan es un paralelogramo; si además son perpendiculares, sus cuatro lados son iguales. Por consiguiente, el cuadrilátero es un rombo. No tiene que ser un cuadrado porque las dos diagonales no tienen que medir lo mismo.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
For each side, the two trisectors adjacent to it meet on that side’s perpendicular bisector. Opposite such intersection points are reflections across the center of the rectangle, so the diagonals of the resulting quadrilateral bisect each other. One diagonal lies on the horizontal symmetry axis and the other on the vertical symmetry axis, so they are perpendicular.
A quadrilateral whose diagonals bisect each other is a parallelogram; if those diagonals are perpendicular, its four sides are equal. Hence the quadrilateral is a rhombus. It need not be a square because the two diagonals need not have equal length.
Thus, the correct answer is D.

33.

El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles es 2p.2p. Su área es:
The perimeter of an isosceles right triangle is 2p.2p. Its area is:
(2+2)p(2+\sqrt2)p
(2−2)p(2-\sqrt2)p
(3−22)p2(3-2\sqrt2)p^2
(1−22)p2(1-2\sqrt2)p^2
(3+22)p2(3+2\sqrt2)p^2
Conceptos:isosceles right triangleperímetroárearadicals
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Sea ss la longitud de cada cateto; entonces la hipotenusa mide s2s\sqrt2
Let each leg have length ss, so the hypotenuse is s2s\sqrt2
Pista grande:
Resuelve s(2+2)=2ps(2+\sqrt2)=2p y luego usa el área s22\frac{s^2}{2}
Solve s(2+2)=2ps(2+\sqrt2)=2p, then use area s22\frac{s^2}{2}
Solución:
Si cada cateto mide s,s, entonces s(2+2)=2p, s(2+\sqrt2)=2p, por lo que s=p(2−2).s=p(2-\sqrt2). Por lo tanto, el área es s22=p2(2−2)22=(3−22)p2. \begin{gathered} \frac{s^2}{2} =\frac{p^2(2-\sqrt2)^2}{2}\\ =(3-2\sqrt2)p^2. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
If each leg is s,s, then s(2+2)=2p, s(2+\sqrt2)=2p, so s=p(2−2).s=p(2-\sqrt2). Therefore the area is s22=p2(2−2)22=(3−22)p2. \begin{gathered} \frac{s^2}{2} =\frac{p^2(2-\sqrt2)^2}{2}\\ =(3-2\sqrt2)p^2. \end{gathered}
Thus, the correct answer is C.

34.

Si un lado de un triángulo mide 1212 pulgadas y el ángulo opuesto mide 3030 grados, entonces el diámetro del círculo circunscrito es:
If one side of a triangle is 1212 inches and the opposite angle is 3030 degrees, then the diameter of the circumscribed circle is:
1818 pulgadas
1818 inches
3030 pulgadas
3030 inches
2424 pulgadas
2424 inches
2020 pulgadas
2020 inches
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:extended law of sinescircumcircletriangle
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:
Relaciona un lado, su ángulo opuesto y el diámetro de la circunferencia circunscrita
Relate a side, its opposite angle, and the circumdiameter
Pista grande:
La ley de senos extendida da d=asin⁡Ad=\frac{a}{\sin A}
The extended law of sines gives d=asin⁡Ad=\frac{a}{\sin A}
Solución:
Por la ley de senos extendida, el diámetro de la circunferencia circunscrita es d=12sin⁡30∘=1212=24 d=\frac{12}{\sin30^\circ}=\frac{12}{\frac{1}{2}}=24 pulgadas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
By the extended law of sines, the circumdiameter is d=12sin⁡30∘=1212=24 d=\frac{12}{\sin30^\circ}=\frac{12}{\frac{1}{2}}=24 inches.
Thus, the correct answer is C.

35.

Si f(x)=x(x−1)2,f(x)=\dfrac{x(x-1)}2, entonces f(x+2)f(x+2) es igual a:
If f(x)=x(x−1)2,f(x)=\dfrac{x(x-1)}2, then f(x+2)f(x+2) equals:
f(x)+f(2)f(x)+f(2)
(x+2)f(x)(x+2)f(x)
x(x+2)f(x)x(x+2)f(x)
xf(x)x+2\dfrac{xf(x)}{x+2}
(x+2)f(x+1)x\dfrac{(x+2)f(x+1)}x
Conceptos:function notationalgebraic identity
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:
Escribe fórmulas explícitas para f(x+2)f(x+2) y f(x+1)f(x+1)
Write explicit formulas for both f(x+2)f(x+2) and f(x+1)f(x+1)
Pista grande:
En una de las opciones se cancela el factor xx de f(x+1)=x(x+1)2f(x+1)=\frac{x(x+1)}{2}
The factor xx in f(x+1)=x(x+1)2f(x+1)=\frac{x(x+1)}{2} cancels in one choice
Solución:
Directamente, f(x+2)=(x+2)(x+1)2. f(x+2)=\frac{(x+2)(x+1)}2. Además, f(x+1)=x(x+1)2,f(x+1)=\frac{x(x+1)}{2}, por lo que (x+2)f(x+1)x=(x+2)(x+1)2. \begin{gathered} \frac{(x+2)f(x+1)}x\\ =\frac{(x+2)(x+1)}2. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Directly, f(x+2)=(x+2)(x+1)2. f(x+2)=\frac{(x+2)(x+1)}2. Also f(x+1)=x(x+1)2,f(x+1)=\frac{x(x+1)}{2}, so (x+2)f(x+1)x=(x+2)(x+1)2. \begin{gathered} \frac{(x+2)f(x+1)}x\\ =\frac{(x+2)(x+1)}2. \end{gathered}
Thus, the correct answer is E.

36.

Determina mm de modo que 4x2−6x+m4x^2-6x+m sea divisible entre x−3.x-3. El valor obtenido, m,m, es un divisor exacto de:
Determine mm so that 4x2−6x+m4x^2-6x+m is divisible by x−3.x-3. The obtained value, m,m, is an exact divisor of:
1212
2020
3636
4848
6464
Conceptos:factor theoremdivisibilidadpolinomio
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Usa el teorema del factor en x=3x=3
Use the factor theorem at x=3x=3
Pista grande:
Después de hallar m,m, comprueba cuál de los números indicados es divisible entre él
After finding m,m, test which listed number is divisible by it
Solución:
La divisibilidad entre x−3x-3 exige que 4(3)2−6(3)+m=0, 4(3)^2-6(3)+m=0, así que 18+m=018+m=0 y m=−18.m=-18. De los números indicados, solo 3636 es un múltiplo exacto de −18.-18.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Divisibility by x−3x-3 requires 4(3)2−6(3)+m=0, 4(3)^2-6(3)+m=0, so 18+m=018+m=0 and m=−18.m=-18. Of the listed numbers, only 3636 is an exact multiple of −18.-18.
Thus, the correct answer is C.

37.

La base de un triángulo isósceles mide 66 pulgadas y cada uno de los lados iguales mide 1212 pulgadas. El radio del círculo que pasa por los vértices del triángulo es:
The base of an isosceles triangle is 66 inches and one of the equal sides is 1212 inches. The radius of the circle through the vertices of the triangle is:
7155\dfrac{7\sqrt{15}}5
434\sqrt3
353\sqrt5
636\sqrt3
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:triángulo isóscelescircumradiusHeron formula
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
Traza la altura para dividir la base en dos segmentos de longitud 33
Drop the altitude to split the base into two segments of length 33
Pista grande:
Calcula el área y luego usa R=abc4KR=\frac{abc}{4K}
Find the area, then use R=abc4KR=\frac{abc}{4K}
Solución:
La altura es 122−32=315, \sqrt{12^2-3^2}=3\sqrt{15}, así que el área es K=12(6)(315)=915.K=\tfrac12(6)(3\sqrt{15})=9\sqrt{15}. Por lo tanto, el circunradio es R=(12)(12)(6)4(915)=8155. R=\frac{(12)(12)(6)}{4(9\sqrt{15})} =\frac{8\sqrt{15}}5. Este valor no aparece entre las opciones.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The altitude is 122−32=315, \sqrt{12^2-3^2}=3\sqrt{15}, so the area is K=12(6)(315)=915.K=\tfrac12(6)(3\sqrt{15})=9\sqrt{15}. Hence the circumradius is R=(12)(12)(6)4(915)=8155. R=\frac{(12)(12)(6)}{4(9\sqrt{15})} =\frac{8\sqrt{15}}5. This value is not listed.
Thus, the correct answer is E.

38.

Si f(a)=a−2f(a)=a-2 y F(a,b)=b2+a,F(a,b)=b^2+a, entonces F[3,f(4)]F[3,f(4)] es:
If f(a)=a−2f(a)=a-2 and F(a,b)=b2+a,F(a,b)=b^2+a, then F[3,f(4)]F[3,f(4)] is:
a2−4a+7a^2-4a+7
2828
77
88
1111
Conceptos:function notationcompositionsustitución
Nivel de dificultad: 1390
Pista pequeña:
Evalúa primero la función interior f(4)f(4)
Evaluate the inner function f(4)f(4) first
Pista grande:
Luego sustituye a=3a=3 y el valor resultante de bb en F(a,b)F(a,b)
Then substitute a=3a=3 and the resulting value for bb into F(a,b)F(a,b)
Solución:
Primero, f(4)=4−2=2.f(4)=4-2=2. Por lo tanto, F[3,f(4)]=F(3,2)=22+3=7. \begin{aligned} F[3,f(4)]&=F(3,2)\\ &=2^2+3=7. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
First f(4)=4−2=2.f(4)=4-2=2. Therefore F[3,f(4)]=F(3,2)=22+3=7. \begin{aligned} F[3,f(4)]&=F(3,2)\\ &=2^2+3=7. \end{aligned}
Thus, the correct answer is C.

39.

El producto log⁡ab⋅log⁡ba\log_a b\cdot\log_b a es igual a:
The product, log⁡ab⋅log⁡ba\log_a b\cdot\log_b a is equal to:
11
aa
bb
abab
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:logarithmschange of base
Nivel de dificultad: 1180
Pista pequeña:
Usa la fórmula de cambio de base en ambos logaritmos
Use the change-of-base formula on both logarithms
Pista grande:
Las dos fracciones resultantes son recíprocas
The two resulting fractions are reciprocals
Solución:
Para bases y argumentos admisibles, log⁡ab⋅log⁡ba=log⁡blog⁡a⋅log⁡alog⁡b=1. \begin{aligned} \log_a b\cdot\log_b a &=\frac{\log b}{\log a}\\ &\quad{}\cdot\frac{\log a}{\log b}\\ &=1. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
For permissible bases and arguments, log⁡ab⋅log⁡ba=log⁡blog⁡a⋅log⁡alog⁡b=1. \begin{aligned} \log_a b\cdot\log_b a &=\frac{\log b}{\log a}\\ &\quad{}\cdot\frac{\log a}{\log b}\\ &=1. \end{aligned}
Thus, the correct answer is A.

40.

La negación de la afirmación «todos los hombres son honrados» es:
The negation of the statement “all men are honest,” is:
ningún hombre es honrado
no men are honest
todos los hombres son deshonestos
all men are dishonest
algunos hombres son deshonestos
some men are dishonest
ningún hombre es deshonesto
no men are dishonest
algunos hombres son honrados
some men are honest
Conceptos:logicquantifiersnegation
Nivel de dificultad: 1360
Pista pequeña:
Para refutar una afirmación universal, basta un solo contraejemplo
To disprove a universal statement, only one counterexample is needed
Pista grande:
Negar «todo hombre es honrado» afirma que al menos un hombre no lo es
Negating “every man is honest” asserts that at least one man is not honest
Solución:
La negación de «todo hombre es honrado» es «existe un hombre que no es honrado». En los términos de las opciones, algunos hombres son deshonestos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The negation of “every man is honest” is “there exists a man who is not honest.” In the language of the choices, some men are dishonest.
Thus, the correct answer is C.

41.

Un campamento de niñas está situado a 300300 varas inglesas de un camino recto. Sobre ese camino hay un campamento de niños situado a 500500 varas inglesas del campamento de niñas. Se desea construir sobre el camino una cantina que esté exactamente a la misma distancia de ambos campamentos. La distancia de la cantina a cada campamento es:
A girls’ camp is located 300300 rods from a straight road. On this road, a boys’ camp is located 500500 rods from the girls’ camp. It is desired to build a canteen on the road which shall be exactly the same distance from each camp. The distance of the canteen from each of the camps is:
400400 varas inglesas
400400 rods
250250 varas inglesas
250250 rods
87.587.5 varas inglesas
87.587.5 rods
200200 varas inglesas
200200 rods
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:geometría analíticaPythagorean theoremequidistance
Nivel de dificultad: 1470
Pista pequeña:
La distancia perpendicular y la distancia entre los campamentos forman un triángulo rectángulo 300300-400400-500500
The perpendicular and camp-to-camp distances form a 300300-400400-500500 right triangle
Pista grande:
Coloca los campamentos en (0,300)(0,300) y (400,0)(400,0), y la cantina en (t,0)(t,0)
Place the camps at (0,300)(0,300) and (400,0)(400,0), and put the canteen at (t,0)(t,0)
Solución:
Sea (0,0)(0,0) el pie de la perpendicular trazada desde el campamento de niñas. Los campamentos se pueden colocar en G=(0,300)G=(0,300) y B=(400,0).B=(400,0). Si la cantina está en C=(t,0),C=(t,0), la igualdad de distancias da t2+3002=(400−t)2, t^2+300^2=(400-t)^2, por lo que t=87.5.t=87.5. La distancia común es de BC=400−87.5=312.5 BC=400-87.5=312.5 varas inglesas, valor que no aparece entre las opciones.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Let the foot of the perpendicular from the girls’ camp be (0,0).(0,0). The camps can be placed at G=(0,300)G=(0,300) and B=(400,0).B=(400,0). If the canteen is C=(t,0),C=(t,0), equidistance gives t2+3002=(400−t)2, t^2+300^2=(400-t)^2, so t=87.5.t=87.5. The common distance is BC=400−87.5=312.5 BC=400-87.5=312.5 rods, which is not listed.
Thus, the correct answer is E.

42.

Los centros de dos círculos están separados 4141 pulgadas. El círculo menor tiene radio 44 pulgadas y el mayor tiene radio 55 pulgadas. La longitud de la tangente común interior es:
The centers of two circles are 4141 inches apart. The smaller circle has a radius of 44 inches and the larger one has a radius of 55 inches. The length of the common internal tangent is:
4141 pulgadas
4141 inches
3939 pulgadas
3939 inches
39.839.8 pulgadas
39.839.8 inches
40.140.1 pulgadas
40.140.1 inches
4040 pulgadas
4040 inches
Conceptos:circlescommon internal tangentPythagorean theorem
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Para una tangente común interior, la separación perpendicular de los centros respecto de la tangente es la suma de los radios
For an internal common tangent, the perpendicular separation of the centers from the tangent is the sum of the radii
Pista grande:
Usa un triángulo rectángulo con hipotenusa 4141 y un cateto 4+54+5
Use a right triangle with hypotenuse 4141 and one leg 4+54+5
Solución:
El segmento entre los centros, el segmento tangente y un cateto perpendicular de longitud 4+5=94+5=9 forman un triángulo rectángulo. Por lo tanto, la longitud de la tangente es 412−92=1600=40 \sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{1600}=40 pulgadas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The center segment, the tangent segment, and a perpendicular leg of length 4+5=94+5=9 form a right triangle. Thus the tangent length is 412−92=1600=40 \sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{1600}=40 inches.
Thus, the correct answer is E.

43.

Si el precio de un artículo aumenta en un porcentaje p,p, entonces, para obtener el mismo ingreso, el porcentaje de disminución en las ventas no debe exceder dd. El valor de dd es:
If the price of an article is increased by per cent p,p, then the decrease in per cent of sales must not exceed dd in order to yield the same income. The value of dd is:
11+p\dfrac1{1+p}
11−p\dfrac1{1-p}
p1+p\dfrac p{1+p}
pp−1\dfrac p{p-1}
1−p1+p\dfrac{1-p}{1+p}
Conceptos:revenuepercentage changealgebraic equation
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:
Representa el nuevo precio y la nueva cantidad vendida mediante los factores 1+p1+p y 1−d1-d
Represent the new price and number sold by factors 1+p1+p and 1−d1-d
Pista grande:
Para que el ingreso sea el mismo se requiere (1+p)(1−d)=1(1+p)(1-d)=1
Equal revenue requires (1+p)(1−d)=1(1+p)(1-d)=1
Solución:
Al escribir las tasas porcentuales como fracciones de las cantidades originales, la igualdad de ingresos exige (1+p)(1−d)=1. (1+p)(1-d)=1. Por consiguiente, p−d−pd=0,p-d-pd=0, de modo que d=p1+p. d=\frac p{1+p}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Writing the percentage rates as fractions of the original quantities, equal income requires (1+p)(1−d)=1. (1+p)(1-d)=1. Hence p−d−pd=0,p-d-pd=0, so d=p1+p. d=\frac p{1+p}.
Thus, the correct answer is C.

44.

Al resolver un problema que se reduce a una ecuación cuadrática, un estudiante se equivoca solo en el término constante de la ecuación y obtiene 88 y 22 como raíces. Otro estudiante se equivoca solo en el coeficiente del término de primer grado y obtiene −9-9 y −1-1 como raíces. La ecuación correcta era:
In solving a problem that reduces to a quadratic equation one student makes a mistake only in the constant term of the equation and obtains 88 and 22 for the roots. Another student makes a mistake only in the coefficient of the first degree term and finds −9-9 and −1-1 for the roots. The correct equation was:
x2−10x+9=0x^2-10x+9=0
x2+10x+9=0x^2+10x+9=0
x2−10x+16=0x^2-10x+16=0
x2−8x−9=0x^2-8x-9=0
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:quadratic rootsVieta formulascoefficients
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:
El coeficiente lineal correcto de la ecuación del primer estudiante se determina con la suma 8+28+2
The first student’s correct linear coefficient is determined by the sum 8+28+2
Pista grande:
El término constante correcto de la ecuación del segundo estudiante se determina con el producto (−9)(−1)(-9)(-1)
The second student’s correct constant term is determined by the product (−9)(−1)(-9)(-1)
Solución:
El primer estudiante cambió solo el término constante, así que el coeficiente correcto de xx es el de la cuadrática mónica con raíces 88 y 2:2: es decir, −(8+2)=−10.-(8+2)=-10. El segundo estudiante cambió solo ese coeficiente lineal, así que el término constante correcto es (−9)(−1)=9.(-9)(-1)=9. Por lo tanto, la ecuación correcta es x2−10x+9=0. x^2-10x+9=0.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The first student changed only the constant term, so the correct coefficient of xx is the one in the monic quadratic with roots 88 and 2:2: it is −(8+2)=−10.-(8+2)=-10. The second student changed only that linear coefficient, so the correct constant is (−9)(−1)=9.(-9)(-1)=9. Therefore the correct equation is x2−10x+9=0. x^2-10x+9=0.
Thus, the correct answer is A.

45.

Las longitudes de dos segmentos son aa unidades y bb unidades, respectivamente. Entonces la relación correcta entre ellas es:
The lengths of two line segments are aa units and bb units respectively. Then the correct relation between them is:
a+b2>ab\dfrac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}
a+b2<ab\dfrac{a+b}{2}\lt\sqrt{ab}
a+b2=ab\dfrac{a+b}{2}=\sqrt{ab}
a+b2≤ab\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt{ab}
a+b2≥ab\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}
Conceptos:AM-GM inequalityequality case
Nivel de dificultad: 1180
Pista pequeña:
Comienza con el cuadrado no negativo (a−b)2(a-b)^2
Start with the nonnegative square (a−b)2(a-b)^2
Pista grande:
La igualdad debe seguir siendo posible cuando los dos segmentos tienen la misma longitud
Equality must remain possible when the two segment lengths are equal
Solución:
Como (a−b)2≥0, (a-b)^2\ge0, se tiene (a+b)2≥4ab.(a+b)^2\ge4ab. Ambos lados son no negativos, así que a+b2≥ab. \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}. La igualdad ocurre cuando a=b.a=b.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Since (a−b)2≥0, (a-b)^2\ge0, we have (a+b)2≥4ab.(a+b)^2\ge4ab. Both sides are nonnegative, so a+b2≥ab. \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}. Equality occurs when a=b.a=b.
Thus, the correct answer is E.

46.

En lugar de caminar a lo largo de dos lados adyacentes de un campo rectangular, un muchacho tomó un atajo por la diagonal y ahorró una distancia igual a 12\frac{1}{2} del lado mayor. La razón entre el lado menor y el lado mayor del rectángulo era:
Instead of walking along two adjacent sides of a rectangular field, a boy took a short-cut along the diagonal of the field and saved a distance equal to 12\frac{1}{2} the longer side. The ratio of the shorter side of the rectangle to the longer side was:
12\dfrac12
25\dfrac25
14\dfrac14
34\dfrac34
25\dfrac25
Conceptos:rectánguloPythagorean theoremratio
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:
Sean LL y WW los lados mayor y menor, respectivamente
Let the longer and shorter sides be LL and WW
Pista grande:
La condición es L+W−L2+W2=L2L+W-\sqrt{L^2+W^2}=\frac{L}{2}
The condition is L+W−L2+W2=L2L+W-\sqrt{L^2+W^2}=\frac{L}{2}
Solución:
La condición del ahorro da L2+W2=L2+W. \sqrt{L^2+W^2}=\frac L2+W. Al elevar al cuadrado y cancelar W2W^2, se obtiene L2=L24+LW, L^2=\frac{L^2}{4}+LW, por lo que WL=34.\frac{W}{L}=\frac{3}{4}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The saving condition gives L2+W2=L2+W. \sqrt{L^2+W^2}=\frac L2+W. Squaring and canceling W2W^2 yields L2=L24+LW, L^2=\frac{L^2}{4}+LW, so WL=34.\frac{W}{L}=\frac{3}{4}.
Thus, the correct answer is D.

47.

Si xx es mayor que cero, entonces la relación correcta es:
If xx is greater than zero, then the correct relationship is:
log⁡(1+x)=x1+x\log(1+x)=\dfrac{x}{1+x}
log⁡(1+x)<x1+x\log(1+x)\lt\dfrac{x}{1+x}
log⁡(1+x)>x\log(1+x)\gt x
log⁡(1+x)<x\log(1+x)\lt x
ninguna de las anteriores
none of these
Conceptos:logarithmic inequalityexponential function
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:
Compara 1+x1+x con una función exponencial para x>0x\gt0
Compare 1+x1+x with an exponential function for x>0x\gt0
Pista grande:
La desigualdad estándar ln⁡(1+x)<x\ln(1+x)\lt x es aún más fuerte para los logaritmos comunes
The standard inequality ln⁡(1+x)<x\ln(1+x)\lt x is even stronger for common logarithms
Solución:
Para x>0,x\gt0, la desigualdad exponencial estándar da 1+x<ex.1+x\lt e^x. Al tomar logaritmos naturales se obtiene ln⁡(1+x)<x. \ln(1+x)\lt x. Si log⁡\log denota el logaritmo común, entonces log⁡(1+x)=ln⁡(1+x)ln⁡10<ln⁡(1+x), \begin{aligned} \log(1+x)&=\frac{\ln(1+x)}{\ln10}\\ &\lt\ln(1+x), \end{aligned} por lo que también se cumple la desigualdad indicada.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
For x>0,x\gt0, the standard exponential inequality gives 1+x<ex.1+x\lt e^x. Taking natural logarithms yields ln⁡(1+x)<x. \ln(1+x)\lt x. If log⁡\log denotes the common logarithm, then log⁡(1+x)=ln⁡(1+x)ln⁡10<ln⁡(1+x), \begin{aligned} \log(1+x)&=\frac{\ln(1+x)}{\ln10}\\ &\lt\ln(1+x), \end{aligned} so the same listed inequality holds.
Thus, the correct answer is D.

48.

Si la base mayor de un trapecio isósceles es igual a una diagonal y la base menor es igual a la altura, entonces la razón entre la base menor y la base mayor es:
If the larger base of an isosceles trapezoid equals a diagonal and the smaller base equals the altitude, then the ratio of the smaller base to the larger base is:
12\frac{1}{2}
23\frac{2}{3}
34\frac{3}{4}
35\frac{3}{5}
25\frac{2}{5}
Conceptos:isosceles trapezoidPythagorean theoremratio
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
La proyección horizontal de una diagonal es la mitad de la suma de las dos bases
A diagonal’s horizontal projection is half the sum of the two bases
Pista grande:
Escala la base mayor a 11 y supón que tanto la base menor como la altura son rr
Scale the larger base to 11, and let the smaller base and altitude both be rr
Solución:
Sea 11 la base mayor, y sean rr tanto la base menor como la altura. Una diagonal tiene proyección horizontal 1+r2\frac{1+r}{2} y longitud 1.1. Por lo tanto, 1=r2+(1+r2)2. 1=r^2+\left(\frac{1+r}{2}\right)^2. Esto se simplifica a 5r2+2r−3=(5r−3)(r+1)=0. \begin{aligned} 5r^2+2r-3&=(5r-3)(r+1)\\ &=0. \end{aligned} La razón positiva es r=35.r=\frac{3}{5}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let the larger base be 1,1, and let the smaller base and altitude both be r.r. A diagonal has horizontal projection 1+r2\frac{1+r}{2} and length 1.1. Thus 1=r2+(1+r2)2. 1=r^2+\left(\frac{1+r}{2}\right)^2. This simplifies to 5r2+2r−3=(5r−3)(r+1)=0. \begin{aligned} 5r^2+2r-3&=(5r-3)(r+1)\\ &=0. \end{aligned} The positive ratio is r=35.r=\frac{3}{5}.
Thus, the correct answer is D.

49.

Las coordenadas de A,A, BB y CC son (5,5),(5,5), (2,1)(2,1) y (0,k)(0,k), respectivamente. El valor de kk que hace que AC‾+BC‾\overline{AC}+\overline{BC} sea lo menor posible es:
The coordinates of A,A, BB and CC are (5,5),(5,5), (2,1)(2,1) and (0,k)(0,k) respectively. The value of kk that makes AC‾+BC‾\overline{AC}+\overline{BC} as small as possible is:
33
4124\dfrac12
3673\dfrac67
4564\dfrac56
2172\dfrac17
Conceptos:reflectionshortest pathgeometría analítica
Nivel de dificultad: 1910
Pista pequeña:
Refleja BB respecto del eje yy para que BCBC se convierta en la distancia de CC al punto reflejado
Reflect BB across the yy-axis so that BCBC becomes the distance from CC to the reflected point
Pista grande:
El camino quebrado más corto ocurre donde la recta de AA al punto reflejado corta el eje yy
The shortest broken path occurs where the straight line from AA to the reflected point meets the yy-axis
Solución:
Refleja B=(2,1)B=(2,1) respecto del eje yy para obtener B′=(−2,1).B'=(-2,1). Para CC sobre el eje yy, BC=B′C,BC=B'C, así que AC+BCAC+BC se minimiza cuando A,C,B′A,C,B' son colineales. La recta de A=(5,5)A=(5,5) a B′=(−2,1)B'=(-2,1) tiene pendiente 47.\frac{4}{7}. En x=0,x=0, su altura es 5−47(5)=157=217. 5-\frac47(5)=\frac{15}{7}=2\frac17. Por consiguiente, k=157.k=\frac{15}{7}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Reflect B=(2,1)B=(2,1) across the yy-axis to B′=(−2,1).B'=(-2,1). For CC on the yy-axis, BC=B′C,BC=B'C, so AC+BCAC+BC is minimized when A,C,B′A,C,B' are collinear. The line from A=(5,5)A=(5,5) to B′=(−2,1)B'=(-2,1) has slope 47.\frac{4}{7}. At x=0,x=0, its height is 5−47(5)=157=217. 5-\frac47(5)=\frac{15}{7}=2\frac17. Hence k=157.k=\frac{15}{7}.
Thus, the correct answer is E.

50.

El punto de tangencia del círculo inscrito divide uno de los lados de un triángulo en segmentos de 66 y 88 unidades. Si el radio del círculo es 4,4, entonces la longitud del lado más corto del triángulo es:
One of the sides of a triangle is divided into segments of 66 and 88 units by the point of tangency of the inscribed circle. If the radius of the circle is 4,4, then the length of the shortest side of the triangle is:
1212 unidades
1212 units
1313 unidades
1313 units
1414 unidades
1414 units
1515 unidades
1515 units
1616 unidades
1616 units
Conceptos:incircletangent lengthsHeron formulatriangle
Nivel de dificultad: 1950
Pista pequeña:
Los segmentos tangentes desde un mismo vértice son iguales, de modo que los tres lados son 14,14, 6+z,6+z, y 8+z8+z para algún zz
Equal tangent segments from a vertex make the three sides 14,14, 6+z,6+z, and 8+z8+z for some zz
Pista grande:
Usa tanto K=rsK=rs como la fórmula de Herón con semiperímetro s=14+zs=14+z
Use both K=rsK=rs and Heron’s formula with semiperimeter s=14+zs=14+z
Solución:
Sean de longitud zz los dos segmentos tangentes trazados desde el tercer vértice. La igualdad de los segmentos tangentes desde un mismo vértice hace que las longitudes de los lados sean 14,6+z,8+z, 14,\qquad 6+z,\qquad 8+z, con semiperímetro s=14+z.s=14+z. Como el inradio es 4,4, K=rs=4(14+z). K=rs=4(14+z). La fórmula de Herón da K2=(14+z)z⋅8⋅6=48z(14+z). \begin{aligned} K^2 &=(14+z)z\cdot8\cdot6\\ &=48z(14+z). \end{aligned} Al igualar los cuadrados se obtiene 16(14+z)=48z,16(14+z)=48z, de donde z=7.z=7. Los lados son 14,14, 13,13, y 15,15, y el menor mide 13.13.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let the two tangent segments from the third vertex each have length z.z. Equal tangents from a common vertex make the side lengths 14,6+z,8+z, 14,\qquad 6+z,\qquad 8+z, with semiperimeter s=14+z.s=14+z. Since the inradius is 4,4, K=rs=4(14+z). K=rs=4(14+z). Heron’s formula gives K2=(14+z)z⋅8⋅6=48z(14+z). \begin{aligned} K^2 &=(14+z)z\cdot8\cdot6\\ &=48z(14+z). \end{aligned} Equating the squares yields 16(14+z)=48z,16(14+z)=48z, so z=7.z=7. The sides are 14,14, 13,13, and 15,15, and the shortest is 13.13.
Thus, the correct answer is B.
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