2020 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

1.

Luka está preparando limonada para vender en una recaudación de fondos escolar. Su receta requiere una cantidad de agua igual a

4

veces la de azúcar y el doble de azúcar que de jugo de limón. Usa

3

tazas de jugo de limón. ¿Cuántas tazas de agua necesita?

Luka is making lemonade to sell at a school fundraiser. His recipe requires

4

times as much water as sugar and twice as much sugar as lemon juice. He uses

3

cups of lemon juice. How many cups of water does he need?

6

8

12

18

24

Respuesta: E

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

El agua es

4\cdot2

veces el jugo de limón

Water is

4\cdot2

times the lemon juice

Pista grande:

Primero halla las tazas de azúcar a partir del jugo de limón

First find the cups of sugar from the lemon juice

Solución en video:

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Solución escrita:

Como Luka necesita el doble de azúcar que de jugo de limón, necesita

2\cdot3=6

tazas de azúcar. Como también necesita

4

veces más agua que azúcar, necesita

4\cdot6=24

tazas de agua.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since Luka needs twice as much sugar as lemon, he needs

2\cdot3=6

cups of sugar. Since Luka also needs

4

times as much water as sugar, he needs

4\cdot6=24

cups of water.

Thus, the correct answer is E.

2.

Cuatro amigos hacen trabajos de jardinería para sus vecinos durante el fin de semana, ganando

\$15,

\$20,

\$25,

y

\$40

respectivamente. Deciden repartir sus ganancias en partes iguales entre ellos. En total, ¿cuánto le dará a los demás el amigo que ganó

\$40

?

Four friends do yardwork for their neighbors over the weekend, earning

\$15,

\$20,

\$25,

and

\$40

respectively. They decide to split their earnings equally among themselves. In total how much will the friend who earned

\$40

give to the others?

\$5

\$10

\$15

\$20

\$25

Respuesta: C

Conceptos:media dinero

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Halla la parte igual del total de las ganancias

Find the equal share of the total earnings

Pista grande:

Quien ganó

\$40

entrega la cantidad que excede la parte igual

The

\$40

earner gives away the amount above the equal share

Solución en video:

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Solución escrita:

Primero, la cantidad total de dinero que ganan es

\$15+\$20+\$25+\$40=\$100.

Como reparten esto en partes iguales, cada uno recibe

\frac{100}{4}=25

dólares.

Por lo tanto, la persona que ganó

\$40

entrega a los demás

\$40-\$25=\$15.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

First, the total amount of money that they make is

\$15+\$20+\$25+\$40=\$100.

Since they divide this equally, they each get

\frac{100}{4}=25

dollars.

The friend who earned

\$40

therefore gives away

\$40-\$25=\$15.

Thus, the correct answer is C.

3.

Carrie tiene un jardín rectangular que mide

6

pies por

8

pies. Planta todo el jardín con plantas de fresa. Carrie puede plantar

4

plantas de fresa por pie cuadrado, y cosecha en promedio

10

fresas por planta. ¿Cuántas fresas puede esperar cosechar?

Carrie has a rectangular garden that measures

6

feet by

8

feet. She plants the entire garden with strawberry plants. Carrie is able to plant

4

strawberry plants per square foot, and she harvests an average of

10

strawberries per plant. How many strawberries can she expect to harvest?

560

960

1120

1920

3840

Respuesta: D

Conceptos:área tasa

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Primero halla el área del jardín

First find the garden area

Pista grande:

Multiplica el área por las plantas por pie cuadrado, y luego por las fresas por planta

Multiply area by plants per square foot, then by strawberries per plant

Solución en video:

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Solución escrita:

Primero, el tamaño del jardín es

6\cdot8=48

pies cuadrados.

Luego, como hay

4

plantas por pie cuadrado, Carrie puede plantar

4\cdot 48=192

plantas en total.

Finalmente, como hay

10

fresas por planta, Carrie puede cosechar

10\cdot 192=1920

fresas en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

First, the size of the garden is

6\cdot8=48

square feet.

Next, since there are

4

plants per square foot, Carrie can plant

4\cdot 48=192

plants total.

Finally, since there are

10

strawberries per plant, Carrie can harvest

10\cdot 192=1920

strawberries total.

Thus, the correct answer is D.

4.

Abajo se muestran tres hexágonos de tamaño creciente. Supón que el patrón de puntos continúa de modo que cada hexágono sucesivo contiene una banda más de puntos. ¿Cuántos puntos hay en el siguiente hexágono?

Three hexagons of increasing size are shown below. Suppose the dot pattern continues so that each successive hexagon contains one more band of dots. How many dots are in the next hexagon?

35

37

39

43

49

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Las bandas añadidas tienen

6,

12,

18,

\ldots

puntos

The added bands have

6,

12,

18,

\ldots

dots

Pista grande:

El siguiente hexágono es el tercero más la siguiente banda

The next hexagon is the third one plus the next band

Solución en video:

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Solución escrita:

Los primeros tres hexágonos contienen

1,

7,

y

19

puntos. Cada nueva banda añade

6

puntos más que la banda anterior.

El cuarto hexágono añade

18

puntos alrededor del tercer hexágono, así que contiene

19+18=37

puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first three hexagons contain

1,

7,

and

19

dots. Each new band adds

6

more dots than the previous band.

The fourth hexagon adds

18

dots around the third hexagon, so it contains

19+18=37

dots.

Thus, the correct answer is B.

5.

Tres cuartos de una jarra se llenan con jugo de piña. La jarra se vacía vertiendo una cantidad igual de jugo en cada una de

5

tazas. ¿Qué porcentaje de la capacidad total de la jarra recibió cada taza?

Three fourths of a pitcher is filled with pineapple juice. The pitcher is emptied by pouring an equal amount of juice into each of

5

cups. What percent of the total capacity of the pitcher did each cup receive?

5

10

15

20

25

Respuesta: C

Conceptos:fracción porcentaje

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Cada taza recibe un quinto de

\frac{3}{4}

de la jarra

Each cup gets one fifth of

\frac{3}{4}

of the pitcher

Pista grande:

Convierte

\frac{3}{20}

en un porcentaje

Convert

\frac{3}{20}

to a percent

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada taza recibe una quinta parte de los

\dfrac{3}{4}

de jarra, es decir,

\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{20}=15\%.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each cup receives one fifth of the

\dfrac{3}{4}

of a pitcher, or

\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{20}=15\%.

Thus, the correct answer is C.

6.

Aaron, Darren, Karen, Maren y Sharon viajaron en un pequeño tren que tiene cinco vagones con un asiento cada uno. Maren se sentó en el último vagón. Aaron se sentó directamente detrás de Sharon. Darren se sentó en uno de los vagones delante de Aaron. Al menos una persona se sentó entre Karen y Darren. ¿Quién se sentó en el vagón del medio?

Aaron, Darren, Karen, Maren, and Sharon rode on a small train that has five cars that seat one person each. Maren sat in the last car. Aaron sat directly behind Sharon. Darren sat in one of the cars in front of Aaron. At least one person sat between Karen and Darren. Who sat in the middle car?

Aaron

Darren

Karen

Maren

Sharon

Respuesta: A

Conceptos:deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Maren está fija en el último vagón

Maren is fixed in the last car

Pista grande:

Prueba las posibles posiciones adyacentes para Sharon y Aaron

Test the possible adjacent positions for Sharon and Aaron

Solución en video:

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Solución escrita:

Maren está en el último vagón. Como Aaron está directamente detrás de Sharon y Darren está delante de Aaron, las posibles ubicaciones de Darren, Sharon y Aaron antes de Maren son limitadas.

Si Sharon y Aaron estuvieran en los vagones

1

y

2,

Darren no podría estar delante de Aaron. Si estuvieran en los vagones

3

y

4,

entonces Darren y Karen tendrían que ocupar los vagones

1

y

2,

que son adyacentes.

Por lo tanto, Sharon y Aaron deben estar en los vagones

2

y

3.

Entonces Darren está en el vagón

1,

Karen está en el vagón

4,

y Aaron está en el vagón del medio.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Maren is in the last car. Since Aaron is directly behind Sharon and Darren is in front of Aaron, the possible placements of Darren, Sharon, and Aaron before Maren are limited.

If Sharon and Aaron were in cars

1

and

2,

Darren could not be in front of Aaron. If they were in cars

3

and

4,

then Darren and Karen would have to occupy cars

1

and

2,

which are adjacent.

Thus Sharon and Aaron must be in cars

2

and

3.

Darren is then in car

1,

Karen is in car

4,

and Aaron is in the middle car.

Thus, the correct answer is A.

7.

¿Cuántos enteros entre

2020

y

2400

tienen cuatro dígitos distintos ordenados de manera creciente? (Por ejemplo,

2357

es uno de esos enteros.)

How many integers between

2020

and

2400

have four distinct digits arranged in increasing order? (For example,

2357

is one such integer.)

9

10

15

21

28

Respuesta: C

Conceptos:dígitos combinaciones

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Los dos primeros dígitos deben ser

2

y

3

The first two digits must be

2

and

3

Pista grande:

Elige los dos últimos dígitos de

4,

5,

6,

7,

8,

9

Choose the last two digits from

4,

5,

6,

7,

8,

9

Solución en video:

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Solución escrita:

El dígito de las unidades de millar debe ser

2.

Como los dígitos son distintos y crecientes, el dígito de las centenas debe ser

3.

Los dos últimos dígitos deben elegirse de

4,

5,

6,

7,

8,

9.

Una vez elegidos los dos dígitos, su orden queda determinado.

Hay

\binom{6}{2}=15

enteros de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The thousands digit must be

2.

Since the digits are distinct and increasing, the hundreds digit must be

3.

The last two digits must be chosen from

4,

5,

6,

7,

8,

9.

Once the two digits are chosen, their order is forced.

There are

\binom{6}{2}=15

such integers.

Thus, the correct answer is C.

8.

Ricardo tiene

2020

monedas, algunas de las cuales son centavos (monedas de

1

centavo) y el resto son monedas de cinco centavos (monedas de

5

centavos). Tiene al menos un centavo y al menos una moneda de cinco centavos. ¿Cuál es la diferencia en centavos entre la mayor y la menor cantidad de dinero que Ricardo puede tener?

Ricardo has

2020

coins, some of which are pennies (

1

-cent coins) and the rest of which are nickels (

5

-cent coins). He has at least one penny and at least one nickel. What is the difference in cents between the greatest possible and least possible amounts of money that Ricardo can have?

8062

8068

8072

8076

8082

Respuesta: C

Conceptos:ecuación lineal optimización

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Deja fija una moneda de cada tipo

Leave one coin of each type fixed

Pista grande:

Cambiar un centavo por una moneda de cinco centavos cambia el valor en

4

centavos

Changing one penny to one nickel changes the value by

4

cents

Solución en video:

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Solución escrita:

El valor máximo se obtiene con

2019

monedas de cinco centavos y

1

moneda de un centavo; el mínimo, con

1

moneda de cinco centavos y

2019

monedas de un centavo.

Entre ambos casos, se sustituyen

2018

monedas de un centavo por monedas de cinco. Cada sustitución añade

5-1=4

centavos, así que la diferencia es

2018\cdot4=8072

centavos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The greatest value occurs with

2019

nickels and

1

penny, while the least occurs with

1

nickel and

2019

pennies.

Between these two cases,

2018

pennies have been replaced by nickels. Each replacement adds

5-1=4

cents, so the difference is

2018\cdot4=8072

cents.

Thus, the correct answer is C.

9.

El pastel de cumpleaños de Akash tiene la forma de un cubo de

4 \times 4 \times 4

pulgadas. El pastel tiene glaseado en la parte superior y en las cuatro caras laterales, y no tiene glaseado en la parte inferior. Supón que el pastel se corta en

64

cubos más pequeños, cada uno de

1 \times 1 \times 1

pulgada, como se muestra abajo. ¿Cuántas piezas pequeñas tendrán glaseado exactamente en dos lados?

Akash’s birthday cake is in the form of a

4 \times 4 \times 4

inch cube. The cake has icing on the top and the four side faces, and no icing on the bottom. Suppose the cake is cut into

64

smaller cubes, each measuring

1 \times 1 \times 1

inch, as shown below. How many small pieces will have icing on exactly two sides?

12

16

18

20

24

Respuesta: D

Conceptos:geometría del cubo análisis por casos

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Separa la capa superior de las demás capas

Separate the top layer from the other layers

Pista grande:

Las piezas de las aristas superiores y las piezas de las esquinas inferiores son las que tienen exactamente dos lados glaseados

Top edge pieces and lower corner pieces are the exactly-two-sided pieces

Solución en video:

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Solución escrita:

En la capa superior, las piezas de las aristas que no están en las esquinas tienen glaseado exactamente en dos lados. Hay

4

aristas con

2

piezas de este tipo cada una, para

8

piezas.

En cada una de las otras

3

capas, las únicas piezas con exactamente dos lados glaseados son las

4

piezas de las esquinas. Esto añade

3\cdot4=12

piezas.

El total es

8+12=20.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

In the top layer, the non-corner edge pieces have icing on exactly two sides. There are

4

edges with

2

such pieces each, for

8

pieces.

In each of the other

3

layers, the only pieces with exactly two iced sides are the

4

corner pieces. This adds

3\cdot4=12

pieces.

The total is

8+12=20.

Thus, the correct answer is D.

10.

Zara tiene una colección de

4

canicas: una Aggie, una Bumblebee, una Steelie y una Tiger. Quiere exhibirlas en una fila sobre un estante, pero no quiere poner la Steelie y la Tiger una al lado de la otra. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?

Zara has a collection of

4

marbles: an Aggie, a Bumblebee, a Steelie, and a Tiger. She wants to display them in a row on a shelf, but does not want to put the Steelie and the Tiger next to one another. In how many ways can she do this?

6

8

12

18

24

Respuesta: C

Conceptos:arreglos con restricciones conteo complementario

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Primero cuenta todos los arreglos

Count all arrangements first

Pista grande:

Resta los arreglos donde la Steelie y la Tiger se tratan como un solo bloque

Subtract arrangements where Steelie and Tiger are treated as one block

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay

4!=24

arreglos en total de las canicas.

Si la Steelie y la Tiger son adyacentes, trátalas como un solo bloque. Entonces hay

3!

maneras de ordenar el bloque con las otras dos canicas, y

2

órdenes dentro del bloque, para

3!\cdot2=12

arreglos adyacentes.

Por lo tanto,

24-12=12

arreglos mantienen la Steelie y la Tiger separadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

There are

4!=24

total arrangements of the marbles.

If the Steelie and Tiger are adjacent, treat them as one block. Then there are

3!

ways to arrange the block with the other two marbles, and

2

orders inside the block, for

3!\cdot2=12

adjacent arrangements.

Therefore,

24-12=12

arrangements keep the Steelie and Tiger separated.

Thus, the correct answer is C.

11.

Después de la escuela, Maya y Naomi fueron a la playa, a

6

millas de distancia. Maya decidió ir en bicicleta mientras que Naomi tomó un autobús. La gráfica de abajo muestra sus recorridos, indicando el tiempo y la distancia recorrida. ¿Cuál fue la diferencia, en millas por hora, entre las velocidades promedio de Naomi y Maya?

After school, Maya and Naomi headed to the beach,

6

miles away. Maya decided to bike while Naomi took a bus. The graph below shows their journeys, indicating the time and distance traveled. What was the difference, in miles per hour, between Naomi’s and Maya’s average speeds?

6

12

18

20

24

Respuesta: E

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Lee el tiempo de cada persona para recorrer

6

millas

Read each person’s time to travel

6

miles

Pista grande:

Convierte

10

minutos y

30

minutos a horas

Convert

10

minutes and

30

minutes to hours

Solución en video:

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Solución escrita:

Naomi recorrió

6

millas en

10

minutos, así que su velocidad promedio fue

\dfrac{6}{\frac{10}{60}}=36

millas por hora.

Maya recorrió

6

millas en

30

minutos, así que su velocidad promedio fue

\dfrac{6}{\frac{30}{60}}=12

millas por hora.

Esta diferencia es

36-12=24.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Naomi traveled

6

miles in

10

minutes, so her average speed was

\dfrac{6}{\frac{10}{60}}=36

miles per hour.

Maya traveled

6

miles in

30

minutes, so her average speed was

\dfrac{6}{\frac{30}{60}}=12

miles per hour.

This difference is

36-12=24.

Thus, the correct answer is E.

12.

Para un entero positivo

n,

la notación factorial

n!

representa el producto de los enteros desde

n

hasta

1.

Por ejemplo:

6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

¿Qué valor de

N

satisface la siguiente ecuación?

5! \times 9! = 12 \times N!

For a positive integer

n,

the factorial notation

n!

represents the product of the integers from

n

to

1.

For example:

6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

What value of

N

satisfies the following equation?

5! \times 9! = 12 \times N!

10

11

12

13

14

Respuesta: A

Conceptos:factorial

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Cancela el factor

12

de

5!

Cancel the factor

12

from

5!

Pista grande:

Reescribe

5!

para que el factor

12

se cancele limpiamente

Rewrite

5!

so the factor

12

cancels cleanly

Solución en video:

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Solución escrita:

Como

5!=120=12\cdot10,

la ecuación se convierte en

12\cdot10\cdot9!=12\cdot N!.

Al cancelar

12

, obtenemos

N!=10\cdot9!=10!,

así que

N=10.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because

5!=120=12\cdot10,

the equation becomes

12\cdot10\cdot9!=12\cdot N!.

Canceling

12

gives

N!=10\cdot9!=10!,

so

N=10.

Thus, the correct answer is A.

13.

Jamal tiene un cajón con

6

calcetines verdes,

18

calcetines morados y

12

calcetines naranjas. Después de agregar más calcetines morados, Jamal notó que ahora hay una probabilidad del

60\%

de que un calcetín seleccionado al azar del cajón sea morado. ¿Cuántos calcetines morados agregó Jamal?

Jamal has a drawer containing

6

green socks,

18

purple socks, and

12

orange socks. After adding more purple socks, Jamal noticed that there is now a

60\%

chance that a sock randomly selected from the drawer is purple. How many purple socks did Jamal add?

6

9

12

18

24

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad básica ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Los calcetines no morados se quedan en

18

The non-purple socks stay at

18

Pista grande:

Si morado es

60\%

, no morado es

40\%

If purple is

60\%

, non-purple is

40\%

Solución en video:

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Solución escrita:

Supón que Jamal agrega

s

calcetines morados. Entonces, habrá

s+18

calcetines morados.

Además, como al principio hay

36

calcetines en total, tenemos

s+36

calcetines después de agregar los calcetines.

Como después tenemos una probabilidad del

60\%

de elegir un calcetín morado, sabemos que

\dfrac{s+18}{s+36}=0.6.

Resolviendo para

s

se obtiene:

\begin{align*}s+18 &= 0.6s+21.6 \\ 0.4s &= 3.6\\ s &= 9.\end{align*}

Por lo tanto, se agregan

9

calcetines.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Suppose Jamal adds

s

purple socks. Then, there will be

s+18

purple socks.

Also, since there are

36

total socks to begin with, we have

s+36

socks after adding the socks.

Since we have a

60\%

chance of choosing a purple sock afterwards, we know

\dfrac{s+18}{s+36}=0.6.

Solving for

s

yields:

\begin{align*}s+18 &= 0.6s+21.6 \\ 0.4s &= 3.6\\ s &= 9.\end{align*}

Therefore,

9

socks are added.

Thus, the correct answer is B.

14.

Hay

20

ciudades en el Condado de Newton. Sus poblaciones se muestran en el gráfico de barras de abajo. La población promedio de todas las ciudades está indicada por la línea horizontal discontinua. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a la población total de las

20

ciudades?

There are

20

cities in the County of Newton. Their populations are shown in the bar chart below. The average population of all the cities is indicated by the horizontal dashed line. Which of the following is closest to the total population of all

20

cities?

65{,}000

75{,}000

85{,}000

95{,}000

105{,}000

Respuesta: D

Conceptos:media interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

La línea discontinua está justo por debajo de

5000

The dashed line is just under

5000

Pista grande:

Población total = población promedio por

20

Total population = average population times

20

Solución en video:

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Solución escrita:

Mirando la línea horizontal discontinua, la población promedio es de alrededor de

4750.

Como hay

20

ciudades, la población total es aproximadamente

20\cdot4750=95{,}000.

Por lo tanto, la población total es aproximadamente

95{,}000.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Looking at the horizontal dashed line, the average population is around

4750.

Since there are

20

cities, the total population is approximately

20\cdot4750=95{,}000.

Therefore, the total population is approximately

95{,}000.

Thus, the correct answer is D.

15.

Supón que

15\%

de

x

es igual a

20\%

de

y.

¿Qué porcentaje de

x

es

y

?

Suppose

15\%

of

x

equals

20\%

of

y.

What percentage of

x

is

y?

5

35

75

133 \frac{1}{3}

300

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje razón y proporción

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Traduce la oración como

0.15x=0.20y

Translate the sentence as

0.15x=0.20y

Pista grande:

Despeja

\frac{y}{x}

Solve for

\frac{y}{x}

Solución en video:

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Solución escrita:

El enunciado da

0.15x=0.20y.

Despejando

y

se obtiene

y=\dfrac{0.15}{0.20}x=\dfrac{3}{4}x.

Por lo tanto,

y

es

75\%

de

x.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The statement gives

0.15x=0.20y.

Solving for

y

gives

y=\dfrac{0.15}{0.20}x=\dfrac{3}{4}x.

Therefore,

y

is

75\%

of

x.

Thus, the correct answer is C.

16.

Cada uno de los puntos

A,

B,

C,

D,

E,

y

F

en la figura de abajo representa un dígito diferente del

1

al

6.

Cada una de las cinco líneas mostradas pasa por algunos de estos puntos. Los dígitos a lo largo de cada línea se suman para producir cinco sumas, una por cada línea. El total de las cinco sumas es

47.

¿Cuál es el dígito representado por

B

?

Each of the points

A,

B,

C,

D,

E,

and

F

in the figure below represents a different digit from

1

to

6.

Each of the five lines shown passes through some of these points. The digits along each line are added to produce five sums, one for each line. The total of the five sums is

47.

What is the digit represented by

B?

1

2

3

4

5

Respuesta: E

Conceptos:doble conteo sumatoria

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

La mayoría de los puntos se cuentan dos veces en las cinco sumas de líneas

Most points are counted twice in the five line sums

Pista grande:

El punto

B

se cuenta una vez adicional

Point

B

is counted one extra time

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada punto aparece en dos de las sumas de línea, excepto

B,

que aparece en tres. Por tanto, el total de las cinco sumas es el doble de la suma de los seis dígitos, más una copia adicional de

B.

Los dígitos son exactamente

1,

2,

3,

4,

5,

y

6,

cuya suma es

21.

Por lo tanto,

2\cdot21+B=47,

así que

B=5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Every point is counted in two of the line sums except

B,

which is counted in three. Thus the total of the five line sums is twice the sum of all six digits, plus one extra

B.

The digits are exactly

1,

2,

3,

4,

5,

and

6,

whose sum is

21.

Therefore

2\cdot21+B=47,

so

B=5.

Thus, the correct answer is E.

17.

¿Cuántos factores de

2020

tienen más de

3

factores? (Como ejemplo,

12

tiene

6

factores, a saber

1,

2,

3,

4,

6,

y

12.

)

How many factors of

2020

have more than

3

factors? (As an example,

12

has

6

factors, namely

1,

2,

3,

4,

6,

and

12.

)

6

7

8

9

10

Respuesta: B

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

Enumera o factoriza los divisores de

2020

List or factor the divisors of

2020

Pista grande:

Solo

1

, los primos y

4

tienen a lo sumo

3

factores

Only

1

, primes, and

4

have at most

3

factors

Solución en video:

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Solución escrita:

Como

2020=2^2\cdot5\cdot101,

tiene

(2+1)(1+1)(1+1)=12

divisores positivos.

Entre esos divisores, solo

1

y los primos

2,

5,

y

101

tienen menos de tres divisores, mientras que

4

tiene exactamente tres. Por lo tanto, los otros

12-5=7

divisores tienen más de tres divisores.

Así, la respuesta correcta es B.

Since

2020=2^2\cdot5\cdot101,

it has

(2+1)(1+1)(1+1)=12

positive factors.

Among those factors, only

1

and the primes

2,

5,

and

101

have fewer than three factors, while

4

has exactly three. The other

12-5=7

factors therefore have more than three factors.

Thus, the correct answer is B.

18.

El rectángulo

ABCD

está inscrito en un semicírculo con diámetro

\overline{FE},

como se muestra en la figura. Sea

DA=16,

y sea

FD=AE=9.

¿Cuál es el área de

ABCD

?

Rectangle

ABCD

is inscribed in a semicircle with diameter

\overline{FE},

as shown in the figure. Let

DA=16,

and let

FD=AE=9.

What is the area of

ABCD?

240

248

256

264

272

Respuesta: A

Conceptos:círculo Teorema de Pitágoras rectángulo

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

El diámetro es

9+16+9

The diameter is

9+16+9

Pista grande:

Usa el radio y la mitad de la base del rectángulo en un triángulo rectángulo

Use the radius and half the rectangle base in a right triangle

Solución en video:

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Solución escrita:

Como

FE

es el diámetro del semicírculo, sabemos que la longitud del diámetro es

34,

y por lo tanto el radio es

17.

Sea

O

el centro del diámetro.

La longitud de

OF

es por lo tanto

17.

Como

D

está sobre

OF,

sabemos que

\begin{align*} OD + FD &= OF\\ OD + 9 &= 17 \\ OD &= 8. \end{align*}

Además, como tenemos un semicírculo, sabemos que

OC = 17.

Finalmente, como

ABCD

es un rectángulo, sabemos que

\angle ODC

es un ángulo recto. Esto significa que podemos hallar

DC

por el Teorema de Pitágoras. Sabemos que

\begin{align*} OD^2+DC^2&=OC^2 \\ 8^2+DC^2 &= 17^2 \\ DC &= 15. \end{align*}

Así, el área del rectángulo es

DC\cdot DA = 15\cdot 16=240.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since

FE

is the diameter of the semicircle, we know the length of the diameter is

34,

and so the radius is

17.

Let

O

be the center of the diameter.

The length from

OF

therefore is

17.

Since

D

is on

OF,

we know

\begin{align*} OD + FD &= OF\\ OD + 9 &= 17 \\ OD &= 8. \end{align*}

Also, since we have a semicircle, we know

OC = 17.

Finally, since

ABCD

is a rectangle, we know

\angle ODC

is a right angle. This means we can find

DC

by the Pythagorean Theorem. We know

\begin{align*} OD^2+DC^2&=OC^2 \\ 8^2+DC^2 &= 17^2 \\ DC &= 15. \end{align*}

Thus, the area of the rectangle is

DC\cdot DA = 15\cdot 16=240.

Thus, the correct answer is A.

19.

Un número se llama flippy si sus dígitos se alternan entre dos dígitos distintos. Por ejemplo,

2020

y

37373

son flippy, pero

3883

y

123123

no lo son. ¿Cuántos números flippy de cinco dígitos son divisibles entre

15

?

A number is called flippy if its digits alternate between two distinct digits. For example,

2020

and

37373

are flippy, but

3883

and

123123

are not. How many five-digit flippy numbers are divisible by

15?

3

4

5

6

8

Respuesta: B

Conceptos:divisibilidad dígitos

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Un número flippy de cinco dígitos tiene la forma

ABABA

A five-digit flippy number has form

ABABA

Pista grande:

La divisibilidad entre

5

obliga a

A=5

Divisibility by

5

forces

A=5

Solución en video:

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Solución escrita:

Un número flippy de cinco cifras tiene la forma

ABABA,

donde

A\ne0

y

A\ne B.

La divisibilidad entre

5

exige que la última cifra

A

sea

0

o

5.

Como

A\ne0,

debe cumplirse

A=5.

El número tiene entonces la forma

5B5B5.

La suma de sus cifras es

15+2B,

así que la divisibilidad entre

3

exige que

B

sea múltiplo de

3.

Las posibilidades son

B=0,

B=3,

B=6,

y

B=9,

que dan

4

números.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A five-digit flippy number has the form

ABABA,

where

A\ne0

and

A\ne B.

Divisibility by

5

requires the last digit

A

to be

0

or

5.

Since

A\ne0,

we must have

A=5.

The number therefore has the form

5B5B5.

Its digit sum is

15+2B,

so divisibility by

3

requires

B

to be a multiple of

3.

The possibilities are

B=0,

B=3,

B=6,

and

B=9,

giving

4

numbers.

Thus, the correct answer is B.

20.

Una científica que caminaba por un bosque registró como enteros las alturas de

5

árboles alineados en una fila. Observó que cada árbol era o bien el doble de alto o bien la mitad de alto que el que estaba a su derecha. Desafortunadamente, parte de sus datos se perdió cuando la lluvia cayó sobre su cuaderno. Sus notas se muestran abajo, con los espacios en blanco indicando los números faltantes. Basándose en sus observaciones, la científica pudo reconstruir los datos perdidos. ¿Cuál fue la altura promedio de los árboles, en metros?

\begin{array}{|c|c|}\hline T_1&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_2&11\,\mathrm m\\T_3&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_4&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_5&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\\hline\overline T&\underline{\phantom{00}}.2\,\mathrm m\\\hline\end{array}

A scientist walking through a forest recorded as integers the heights of

5

trees standing in a row. She observed that each tree was either twice as tall or half as tall as the one to its right. Unfortunately some of her data was lost when rain fell on her notebook. Her notes are shown below, with blanks indicating the missing numbers. Based on her observations, the scientist was able to reconstruct the lost data. What was the average height of the trees, in meters?

\begin{array}{|c|c|}\hline T_1&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_2&11\,\mathrm m\\T_3&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_4&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_5&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\\hline\overline T&\underline{\phantom{00}}.2\,\mathrm m\\\hline\end{array}

22.2

24.2

33.2

35.2

37.2

Respuesta: B

Conceptos:análisis por casos media

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Las alturas enteras obligan a que los vecinos de

11

sean

22

Integer heights force the neighbors of

11

to be

22

Pista grande:

El promedio que termina en

0.2

significa que el total termina en

1

módulo

5

The average ending in

0.2

means the total ends in

1

mod

5

Solución en video:

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Solución escrita:

El árbol

2

mide

11

metros. Como todas las alturas son enteras y los árboles vecinos difieren por un factor de

2,

los árboles

1

y

3

deben medir ambos

22

metros.

Los primeros tres árboles suman

22+11+22=55

metros. Los pares de alturas enteras posibles para los árboles

4

y

5

son

(11,22),

(44,22),

y

(44,88).

Estos pares dan los promedios

17.6,

24.2,

y

37.4,

respectivamente. El cuaderno muestra que el promedio termina en

0.2,

así que debe ser

24.2.

Así, la respuesta correcta es B.

Tree

2

is

11

meters tall. Since all heights are integers and neighboring trees differ by a factor of

2,

trees

1

and

3

must both be

22

meters tall.

The first three trees total

22+11+22=55

meters. The possible integer pairs for trees

4

and

5

are

(11,22),

(44,22),

and

(44,88).

These give averages

17.6,

24.2,

and

37.4,

respectively. The notebook shows that the average ends in

0.2,

so it must be

24.2.

Thus, the correct answer is B.

21.

Un tablero de juego consta de

64

casillas que se alternan entre sombreadas y no sombreadas. La figura de abajo muestra la casilla

P

en la fila inferior y la casilla

Q

en la fila superior. Se coloca un marcador en

P.

Un paso consiste en mover el marcador a una de las casillas no sombreadas contiguas de la fila superior. ¿Cuántos caminos de

7

pasos hay desde

P

hasta

Q

? (La figura muestra un camino de ejemplo.)

A game board consists of

64

squares that alternate between shaded and unshaded. The figure below shows square

P

in the bottom row and square

Q

in the top row. A marker is placed at

P.

A step consists of moving the marker onto one of the adjoining unshaded squares in the row above. How many

7

-step paths are there from

P

to

Q?

(The figure shows a sample path.)

28

30

32

33

35

Respuesta: A

Conceptos:caminos reticulares Triángulo de Pascal

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Cada movimiento sube una fila y una columna a la izquierda o a la derecha

Each move goes one row up and one column left or right

Pista grande:

Suma los conteos de caminos de las dos casillas contiguas de abajo

Add path counts from the two adjoining squares below

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada movimiento debe subir una fila y ser hacia la izquierda o hacia la derecha. Contando fila por fila desde

P,

cada casilla alcanzable obtiene la suma de los conteos de las dos casillas contiguas de abajo.

El conteo en

Q

es

28,

así que hay

28

caminos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each move must go up one row and either left or right. Counting row by row from

P,

each reachable square gets the sum of the counts from the two adjoining squares below it.

The count at

Q

is

28,

so there are

28

paths.

Thus, the correct answer is A.

22.

Cuando un entero positivo

N

se introduce en una máquina, la salida es un número calculado según la regla que se muestra abajo.

Por ejemplo, comenzando con una entrada de

N=7,

la máquina dará como salida

3 \cdot 7 + 1 = 22.

Luego, si la salida se introduce repetidamente en la máquina cinco veces más, la salida final es

26:

\begin{align*} &7 \to 22 \to 11 \to 34 \\ &\to 17 \to 52 \to 26 \end{align*}

Cuando el mismo proceso de

6

pasos se aplica a un valor inicial diferente de

N,

la salida final es

1.

¿Cuál es la suma de todos esos enteros

N

?

\begin{align*} &N \to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}}\\ &\to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}} \to 1 \end{align*}

When a positive integer

N

is fed into a machine, the output is a number calculated according to the rule shown below.

For example, starting with an input of

N=7,

the machine will output

3 \cdot 7 + 1 = 22.

Then if the output is repeatedly inserted into the machine five more times, the final output is

26.

\begin{align*} &7 \to 22 \to 11 \to 34 \\ &\to 17 \to 52 \to 26 \end{align*}

When the same

6

-step process is applied to a different starting value of

N,

the final output is

1.

What is the sum of all such integers

N?

\begin{align*} &N \to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}}\\ &\to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}} \to 1 \end{align*}

73

74

75

82

83

Respuesta: E

Conceptos:trabajar hacia atrás diagrama de árbol

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Trabaja hacia atrás desde la salida final

1

Work backward from the final output

1

Pista grande:

Un valor anterior puede ser

2m

, y a veces

\frac{m-1}{3}

A previous value can be

2m

, and sometimes

\frac{m-1}{3}

Solución en video:

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Solución escrita:

Trabajemos hacia atrás desde

1.

Un valor

m

siempre puede provenir de la entrada par

2m.

También puede provenir de la entrada impar

\frac{m-1}{3}

cuando esta expresión es un entero impar positivo.

Al enumerar los valores posibles después de cada paso hacia atrás se obtiene

\begin{aligned} \{1\}&\leftarrow\{2\}\leftarrow\{4\}\leftarrow\{1,8\}\\ &\leftarrow\{2,16\}\leftarrow\{4,5,32\}\\ &\leftarrow\{1,8,10,64\}. \end{aligned}

Por tanto, los valores iniciales posibles son

1,

8,

10,

y

64,

cuya suma es

83.

Así, la respuesta correcta es E.

Work backward from

1.

A value

m

can always come from the even input

2m.

It can also come from the odd input

\frac{m-1}{3}

when that expression is a positive odd integer.

Listing the possible values after each backward step gives

\begin{aligned} \{1\}&\leftarrow\{2\}\leftarrow\{4\}\leftarrow\{1,8\}\\ &\leftarrow\{2,16\}\leftarrow\{4,5,32\}\\ &\leftarrow\{1,8,10,64\}. \end{aligned}

Thus the possible starting values are

1,

8,

10,

64,

whose sum is

83.

Thus, the correct answer is E.

23.

Se van a dar cinco premios diferentes a tres estudiantes. Cada estudiante recibirá al menos un premio. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden distribuir los premios?

Five different awards are to be given to three students. Each student will receive at least one award. In how many different ways can the awards be distributed?

120

150

180

210

240

Respuesta: B

Conceptos:inclusión-exclusión principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Comienza con

3^5

distribuciones sin restricciones

Start with

3^5

unrestricted distributions

Pista grande:

Usa inclusión-exclusión para los estudiantes que no reciben premios

Use inclusion-exclusion for students receiving no awards

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay

3^5=243

maneras de dar cada uno de los

5

premios distintos a uno de los

3

estudiantes.

Resta las distribuciones en las que al menos un estudiante no recibe ningún premio. Si un estudiante en particular no recibe ninguno, los premios van a los otros dos estudiantes de

2^5

maneras. Esto da

3\cdot2^5

conteos, pero los

3

casos en los que un estudiante recibe todos los premios se han restado dos veces cada uno.

Por inclusión-exclusión, el número buscado es

3^5-3\cdot2^5+3=150.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are

3^5=243

ways to give each of the

5

distinct awards to one of the

3

students.

Subtract the distributions in which at least one student receives no award. If a particular student receives none, the awards go to the other two students in

2^5

ways. This gives

3\cdot2^5

counts, but the

3

cases in which one student receives all awards have each been subtracted twice.

By inclusion-exclusion, the desired number is

3^5-3\cdot2^5+3=150.

Thus, the correct answer is B.

24.

Una región cuadrada grande está pavimentada con

n^2

baldosas cuadradas sombreadas, cada una de

s

pulgadas por lado. Un borde de

d

pulgadas de ancho rodea cada baldosa. La figura de abajo muestra el caso para

n=3.

Cuando

n=24,

las

576

baldosas sombreadas cubren el

64\%

del área de la región cuadrada grande. ¿Cuál es la razón

\frac{d}{s}

para este valor más grande de

n

?

A large square region is paved with

n^2

shaded square tiles, each measuring

s

inches on a side. A border

d

inches wide surrounds each tile. The figure below shows the case for

n=3.

When

n=24,

the

576

shaded tiles cover

64\%

of the area of the large square region. What is the ratio

\frac{d}{s}

for this larger value of

n?

\dfrac{6}{25}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{9}{25}

\dfrac{7}{16}

\dfrac{9}{16}

Respuesta: A

Conceptos:razón de áreas cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

El lado grande mide

24s+25d

The large side length is

24s+25d

Pista grande:

Compara el área sombreada

24^2s^2

con el área total

Compare shaded area

24^2s^2

with total area

Solución en video:

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Solución escrita:

Para

n=24,

el área de las baldosas sombreadas es

24^2s^2.

Cada lado del cuadrado grande consta de

24

baldosas y

25

bordes, así que su longitud de lado es

24s+25d.

Las baldosas sombreadas cubren

64\%=\dfrac{16}{25}

del cuadrado grande, así que

\dfrac{24^2s^2}{(24s+25d)^2}=\dfrac{16}{25}.

Tomando raíces cuadradas positivas se obtiene

\dfrac{24s}{24s+25d}=\dfrac{4}{5}.

Así

120s=96s+100d,

por lo que

24s=100d

y

\dfrac{d}{s}=\dfrac{6}{25}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For

n=24,

the shaded tile area is

24^2s^2.

Each side of the large square consists of

24

tiles and

25

borders, so its side length is

24s+25d.

The shaded tiles cover

64\%=\dfrac{16}{25}

of the large square, so

\dfrac{24^2s^2}{(24s+25d)^2}=\dfrac{16}{25}.

Taking positive square roots gives

\dfrac{24s}{24s+25d}=\dfrac{4}{5}.

Thus

120s=96s+100d,

so

24s=100d

and

\dfrac{d}{s}=\dfrac{6}{25}.

Thus, the correct answer is A.

25.

Los rectángulos

R_1

y

R_2,

y los cuadrados

S_1,

S_2,

y

S_3,

que se muestran abajo, se combinan para formar un rectángulo de

3322

unidades de ancho y

2020

unidades de alto. ¿Cuál es la longitud del lado de

S_2

en unidades?

Rectangles

R_1

and

R_2,

and squares

S_1,

S_2,

and

S_3,

shown below, combine to form a rectangle that is

3322

units wide and

2020

units high. What is the side length of

S_2

in units?

651

655

656

662

666

Respuesta: A

Conceptos:sistema de ecuaciones rectángulo

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Sean las longitudes de los lados de los cuadrados

s_1,s_2,s_3

Let the square side lengths be

s_1,s_2,s_3

Pista grande:

Resta la ecuación de la altura de la ecuación del ancho

Subtract the height equation from the width equation

Solución en video:

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Solución escrita:

Sean

s_1,s_2,s_3

las longitudes de los lados de los tres cuadrados. A lo largo del ancho del rectángulo grande,

s_1+s_2+s_3=3322.

La altura de

R_2

es

s_1-s_2,

así que la altura total es

s_1-s_2+s_3=2020.

Al restar la ecuación de la altura de la ecuación del ancho se obtiene

2s_2=1302,

y por tanto

s_2=651.

Así, la respuesta correcta es A.

Let

s_1,s_2,s_3

be the side lengths of the three squares. Across the width of the large rectangle,

s_1+s_2+s_3=3322.

The height of

R_2

is

s_1-s_2,

so the total height is

s_1-s_2+s_3=2020.

Subtracting the height equation from the width equation gives

2s_2=1302,

so

s_2=651.

Thus, the correct answer is A.

Problemas del 2020 AMC 8

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1020

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