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1984 AIME 第 2 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

2.

整数

n

是

15

的最小正倍数，并且

n

的每一位数字均为

8

或

0

。求

\frac{n}{15}

。

The integer

n

is the smallest positive multiple of

15

such that every digit of

n

is either

8

or

0.

Compute

\frac{n}{15}.

答案

答案：592

知识点：整除性数字

难度评级：1890

小提示：

被

5

整除的条件决定了末位数字

Divisibility by

5

determines the last digit

大提示：

被

3

整除的条件限制了数字

8

出现的次数

Divisibility by

3

restricts the number of digits equal to

8

解答：

15

的倍数必须以

0

结尾，且各位数字之和能被

3

整除。因为

8\equiv2\pmod3

，数字

8

的个数必须是

3

的正倍数。因此，最小的可能数由三个

8

后接一个

0

组成，即

n=8880

。所以

\frac{n}{15}=592

。

A multiple of

15

must end in

0

and have digit sum divisible by

3.

Because

8\equiv2\pmod3,

the number of

8

’s must be a positive multiple of

3.

The smallest possible number therefore has three

8

’s followed by

0,

namely

n=8880.

Thus

\frac{n}{15}=592.