1988 AIME 第 2 题

Question

对任意正整数

k

，令

f_1(k)

表示

k

的各位数字之和的平方。对

n\geq2

，令

f_n(k)=f_1(f_{n-1}(k))

。求

f_{1988}(11)

。

For any positive integer

k,

let

f_1(k)

denote the square of the sum of the digits of

k.

For

n\geq2,

let

f_n(k)=f_1(f_{n-1}(k)).

Find

f_{1988}(11).

答案

答案：169

知识点：数字递推找规律

难度评级：1690

小提示：

计算前几次迭代，直到某个值重复出现

Compute the first several iterates until a value repeats

大提示：

经过开头的若干项后，数列在两个数之间交替

After the transient values, the sequence alternates between two numbers

解答：

迭代值依次从

4

、

16

、

49

、

169

、

256

开始，随后为

169

、

256

、

\ldots

。因此从第四次迭代起，偶数下标对应

169

，奇数下标对应

256

。因为

1988

是偶数，所以

f_{1988}(11)=169

。

The iterates begin

4,

16,

49,

169,

256,

followed by

169,

256,

\ldots.

Thus from the fourth iterate onward, even indices give

169

and odd indices give

256.

Since

1988

is even,

f_{1988}(11)=169.

1988 AIME 第 2 题

答案：169

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

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