1985 AIME 第 11 题

Question

在

xy

平面中，一个椭圆的两个焦点为

(9,20)

和

(49,55)

，且该椭圆与

x

轴相切。它的长轴长是多少？

An ellipse has foci at

(9,20)

and

(49,55)

in the

xy

-plane and is tangent to the

x

-axis. What is the length of its major axis?

答案

答案：85

知识点：椭圆反射（几何）距离公式

难度评级：2360

小提示：

在切点处，椭圆上各点到两焦点的恒定距离和，等于

x

轴上点到两焦点距离之和的最小值

At tangency, the constant sum of distances is the minimum such sum for a point on the

x

-axis

大提示：

将一个焦点关于

x

轴反射，把折线路径化为直线段

Reflect one focus across the

x

-axis to turn the broken path into a straight segment

解答：

将

(49,55)

关于

x

轴反射到

(49,-55)

。对

x

轴上的点

P

，它到原来两个焦点的距离之和，等于从

(9,20)

经

P

到

(49,-55)

的折线路径长度。其最小值为直线距离

\begin{aligned} &\sqrt{(49-9)^2+(-55-20)^2}\\ &\qquad{}=\sqrt{40^2+75^2}=85 \end{aligned}\text{。}

相切意味着椭圆上各点到两焦点的恒定距离和恰好等于这个最小值，而这个距离和就是长轴长，所以答案为

85

。

Reflect

(49,55)

across the

x

-axis to

(49,-55).

For a point

P

on the

x

-axis, the sum of its distances to the original foci equals the length of a broken path from

(9,20)

through

P

to

(49,-55).

Its minimum is the straight-line distance

\begin{aligned} &\sqrt{(49-9)^2+(-55-20)^2}\\ &\qquad{}=\sqrt{40^2+75^2}=85. \end{aligned}

Tangency means that the ellipse’s constant distance sum equals this minimum. That sum is the major-axis length, so the answer is

85.

1985 AIME 第 11 题

答案：85

难度评级：2360

小提示：

大提示：

解答：

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