1992 AIME 第 11 题

Question

直线

l_1

和

l_2

都经过原点，并分别与

x

轴正方向成

\frac{\pi}{70}

和

\frac{\pi}{54}

弧度的第一象限角。对任意直线

l

，变换

R(l)

按如下方式产生另一条直线：先将

l

关于

l_1

反射，再将所得直线关于

l_2

反射。令

R^{(1)}(l)=R(l)

，且

R^{(n)}(l)=R(R^{(n-1)}(l))

。已知

l

是直线

y=(\frac{19}{92})x

，求最小正整数

m

，使得

R^{(m)}(l)=l

。

Lines

l_1

and

l_2

both pass through the origin and make first-quadrant angles of

\frac{\pi}{70}

and

\frac{\pi}{54}

radians, respectively, with the positive

x

-axis. For any line

l,

the transformation

R(l)

produces another line as follows:

l

is reflected in

l_1,

and the resulting line is reflected in

l_2.

Let

R^{(1)}(l)=R(l)

and

R^{(n)}(l)=R(R^{(n-1)}(l)).

Given that

l

is the line

y=(\frac{19}{92})x,

find the smallest positive integer

m

for which

R^{(m)}(l)=l.

答案

答案：945

知识点：反射（几何）变换模运算

难度评级：2230

小提示：

关于两条相交直线依次反射，等价于旋转两直线夹角的两倍

Two reflections in intersecting lines compose to a rotation through twice the angle between the lines

大提示：

当累计旋转角是

\pi

的整数倍时，一条不计方向的直线回到自身

An unoriented line returns to itself when its accumulated rotation is a multiple of

\pi

解答：

这个复合变换等价于旋转

2\left(\frac{\pi}{54}-\frac{\pi}{70}\right)=\frac{8\pi}{945}\text{。}

一条经过原点的直线在旋转后保持不变，当且仅当旋转角是

\pi

的整数倍。因此

m

必须满足

\frac{8m}{945}\in\mathbb Z

。由于

\gcd(8,945)=1

，最小的

m

为

945

。

The composition is rotation through

2\left(\frac{\pi}{54}-\frac{\pi}{70}\right)=\frac{8\pi}{945}.

A line through the origin is unchanged by a rotation exactly when the rotation angle is a multiple of

\pi.

Thus

m

must satisfy

\frac{8m}{945}\in\mathbb Z.

Since

\gcd(8,945)=1,

the least such

m

is

945.

1992 AIME 第 11 题

答案：945

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

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