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1986 AIME 第 1 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

1.

方程

\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}

的所有解之和是多少？

What is the sum of the solutions to the equation

\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}?

答案

答案：337

知识点：二次方程根式换元法

难度评级：1660

小提示：

代入

t=\sqrt[4]{x}

Substitute

t=\sqrt[4]{x}

大提示：

消去分母后，将所得关于

t

的二次式分解因式

After clearing the denominator, factor the resulting quadratic in

t

解答：

令

t=\sqrt[4]{x}

，则

t\geq0

。方程化为

t(7-t)=12\text{，}

即

t^2-7t+12=0

。所以

t=3

或

t=4

，且两个值在原方程中都成立。因此

x=3^4=81

或

x=4^4=256

，两者之和为

81+256=337

。

Let

t=\sqrt[4]{x},

so

t\geq0.

The equation becomes

t(7-t)=12,

or

t^2-7t+12=0.

Thus

t=3

or

t=4,

and both values are valid in the original equation. Hence

x=3^4=81

or

x=4^4=256,

and their sum is

81+256=337.