1990 AIME 第 1 题

Question

递增数列

2

、

3

、

5

、

6

、

7

、

10

、

11

、

\ldots

由所有既不是正整数的平方也不是正整数的立方的正整数组成。求此数列的第

500

项。

The increasing sequence

2,

3,

5,

6,

7,

10,

11,

\ldots

consists of all positive integers that are neither the square nor the cube of a positive integer. Find the

500

th term of this sequence.

答案

答案：528

知识点：区间内整数计数容斥原理完全平方数

难度评级：1800

小提示：

用容斥法数出不超过候选端点的完全平方数和完全立方数

Count squares and cubes up to a candidate endpoint by inclusion-exclusion

大提示：

同时是完全平方数和完全立方数的数是六次幂

Numbers that are both squares and cubes are sixth powers

解答：

不超过

529

的完全平方数有

\lfloor\sqrt{529}\rfloor=23

个，完全立方数有

8

个，并且有

2

个六次幂被两组重复计算。因此，不超过

529

的合格项数为

529-23-8+2=500\text{。}

但是

529=23^2

应被排除，而

528

既不是完全平方数也不是完全立方数。所以第

500

项是

528

。

Through

529,

there are

\lfloor\sqrt{529}\rfloor=23

squares,

8

cubes, and

2

sixth powers counted in both groups. Thus the number of allowed terms at most

529

is

529-23-8+2=500.

But

529=23^2

is excluded, while

528

is neither a square nor a cube. Therefore the

500

th term is

528.

1990 AIME 第 1 题

答案：528

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

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