1989 AIME 第 1 题

Question

计算

\sqrt{(31)(30)(29)(28)+1}

。

Compute

\sqrt{(31)(30)(29)(28)+1}.

答案

将外侧的两个因数相乘，并将内侧的两个因数相乘

Pair the outer factors and the inner factors

这两个乘积是相邻的偶数

The two paired products are consecutive even integers

有

31\cdot28=868

和

30\cdot29=870

。这两个乘积分别比

869

小一和大一，所以它们的乘积为

869^2-1

。再加上最后的

1

后，被开方数为

869^2

。它的正平方根是

869

。

We have

31\cdot28=868

and

30\cdot29=870.

These products lie one below and one above

869,

so their product is

869^2-1.

After the final

1

is added, the radicand is

869^2.

Its positive square root is

869.

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