1992 AIME 第 8 题

Question

对任意实数数列

A=(a_1,a_2,a_3,\ldots)

，定义

\Delta A

为数列

(a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,\ldots)

，其第

n

项为

a_{n+1}-a_n

。已知数列

\Delta(\Delta A)

的每一项都等于

1

，且

a_{19}=a_{92}=0

。求

a_1

。

For any sequence of real numbers

A=(a_1,a_2,a_3,\ldots),

define

\Delta A

to be the sequence

(a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,\ldots),

whose

n

th term is

a_{n+1}-a_n.

Suppose that all of the terms of the sequence

\Delta(\Delta A)

are

1,

and that

a_{19}=a_{92}=0.

Find

a_1.

答案

答案：819

知识点：二次方程递推因式分解

难度评级：1980

小提示：

二阶差分恒为

1

的数列可由最高次项系数为

\frac{1}{2}

的二次式表示

A sequence with constant second difference

1

is given by a quadratic with leading coefficient

\frac{1}{2}

大提示：

利用两个值为零的项，将这个二次式写成因式分解形式

Use the two zero terms to write the quadratic in factored form

解答：

二阶差分为

1

的二次数列，其最高次项系数为

\frac{1}{2}

。由于数列在下标

19

和

92

处取值为零，

a_n=\frac12(n-19)(n-92)\text{。}

因此

a_1=\frac12(-18)(-91)=819

。

A quadratic sequence with second difference

1

has leading coefficient

\frac{1}{2}.

Since its values vanish at indices

19

and

92,

a_n=\frac12(n-19)(n-92).

Therefore

a_1=\frac12(-18)(-91)=819.

1992 AIME 第 8 题

答案：819

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

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