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1984 AIME 第 8 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

8.

方程

z^6+z^3+1=0

在复平面上有一个复根，其辐角

\theta

介于

90^\circ

与

180^\circ

之间。求

\theta

的度数。

The equation

z^6+z^3+1=0

has one complex root with argument

\theta

between

90^\circ

and

180^\circ

in the complex plane. Determine the degree measure of

\theta.

答案

答案：160

知识点：复数单位根

难度评级：2210

小提示：

代入

u=z^3

Substitute

u=z^3

大提示：

z^3

的两个可能辐角是

120^\circ

和

240^\circ

The two possible arguments of

z^3

are

120^\circ

and

240^\circ

解答：

令

u=z^3

。则

u^2+u+1=0

，所以

u

的辐角为

120^\circ

或

240^\circ

。取立方根后，可能的辐角为

40^\circ,160^\circ,280^\circ,80^\circ,200^\circ,320^\circ\text{。}

其中唯一严格介于

90^\circ

与

180^\circ

之间的是

160^\circ

。

Let

u=z^3.

Then

u^2+u+1=0,

so

u

has argument

120^\circ

or

240^\circ.

Taking cube roots gives possible arguments

40^\circ,160^\circ,280^\circ,80^\circ,200^\circ,320^\circ.

The only one strictly between

90^\circ

and

180^\circ

is

160^\circ.