1993 AIME 第 10 题

Question

欧拉公式指出，对于有

V

个顶点、

E

条棱和

F

个面的凸多面体，有

V-E+F=2

。某个凸多面体有

32

个面，每个面都是三角形或五边形。在它的

V

个顶点中的每一个处，都有

T

个三角形面和

P

个五边形面相交。求

100P+10T+V

的值。

Euler’s formula states that for a convex polyhedron with

V

vertices,

E

edges, and

F

faces,

V-E+F=2.

A particular convex polyhedron has

32

faces, each of which is either a triangle or a pentagon. At each of its

V

vertices,

T

triangular faces and

P

pentagonal faces meet. What is the value of

100P+10T+V?

答案

答案：250

知识点：双重计数欧拉多面体公式多面体

难度评级：2500

小提示：

设

x

为三角形面的个数，并分别对面与棱、面与顶点的关联数进行计数

Let

x

be the number of triangular faces and count face-edge and face-vertex incidences

大提示：

用欧拉公式将

x

表示为

V

的式子，再得到关于

V

的两个整除条件

Use Euler’s formula to express

x

in terms of

V

, then obtain two divisibility conditions on

V

解答：

设

x

为三角形面的个数，则五边形面有

32-x

个，并且

E=\frac{3x+5(32-x)}2=80-x\text{。}

由欧拉公式得

V+x=50

。对面与顶点的关联数进行计数，可得

\begin{aligned}TV&=3x=150-3V,\\PV&=5(32-x)=5V-90\end{aligned}\text{。}

因此

V(T+3)=150

，且

V(5-P)=90

。又因为

18\leq V\leq50

，所以在这个范围内，

150

与

90

唯一的公因数是

V=30

。于是

T=2

、

P=2

，从而

100P+10T+V=250

。

Let

x

be the number of triangular faces, so there are

32-x

pentagons and

E=\frac{3x+5(32-x)}2=80-x.

Euler’s formula gives

V+x=50.

Counting face-vertex incidences yields

\begin{aligned}TV&=3x=150-3V,\\PV&=5(32-x)=5V-90.\end{aligned}

Hence

V(T+3)=150

and

V(5-P)=90.

Also

18\leq V\leq50,

so the only common divisor of

150

and

90

in that range is

V=30.

Then

T=2

and

P=2,

giving

100P+10T+V=250.

1993 AIME 第 10 题

答案：250

难度评级：2500

小提示：

大提示：

解答：

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