1994 AIME 第 10 题

Question

在三角形

ABC

中，角

C

为直角，从

C

作出的高与

\overline{AB}

交于

D

。

\triangle ABC

的三条边长均为整数，

BD=29^3

，且

\cos B=\frac{m}{n}

，其中

m

和

n

是互质的正整数。求

m+n

。

In triangle

ABC,

angle

C

is a right angle and the altitude from

C

meets

\overline{AB}

at

D.

The lengths of the sides of

\triangle ABC

are integers,

BD=29^3,

and

\cos B=\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m+n.

答案

答案：450

知识点：高线勾股数整除性

难度评级：2270

小提示：

利用相似关系写出

BD=\frac{BC^2}{AB}

Use similarity to write

BD=\frac{BC^2}{AB}

大提示：

将

\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}

写成最简分数，并利用

29^3

的素因数分解

Express

\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}

in lowest terms and use the prime factorization of

29^3

解答：

将

\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}

写成最简分数，并令

BC=km

、

AB=kn

。由相似关系，

29^3=BD=\frac{BC^2}{AB}=\frac{km^2}{n}\text{。}

因此

k

能被

n

整除；令

k=nt

，则

tm^2=29^3

。若

m=1

，它不可能是非退化整数直角三角形的一条直角边，所以

m=29

。令本原勾股三角形的另一条直角边为

u

，则

(n-u)(n+u)=29^2

，由此得到

n=421

和

u=420

。因此

m+n=29+421=450

。

Write

\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}

in lowest terms, with

BC=km

and

AB=kn.

Similarity gives

29^3=BD=\frac{BC^2}{AB}=\frac{km^2}{n}.

Hence

k

is divisible by

n;

writing

k=nt

gives

tm^2=29^3.

The possibility

m=1

cannot be a leg of a nondegenerate integer right triangle, so

m=29.

Writing the other leg of the primitive triple as

u,

we have

(n-u)(n+u)=29^2,

giving

n=421

and

u=420.

Therefore

m+n=29+421=450.

1994 AIME 第 10 题

答案：450

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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