1996 AIME 第 1 题

Question

在幻方中，任意一行、一列或一条对角线上的三个数之和都等于同一个数。图中给出了一个幻方中的四个数。求

x

。

In a magic square, the sum of the three entries in any row, column, or diagonal is the same value. The figure shows four of the entries of a magic square. Find

x.

答案

答案：200

知识点：幻方方程组

难度评级：1650

小提示：

设中心格中的数为

e

，公共和为

S

Let

e

be the center entry and

S

the common sum

大提示：

在

3\times3

幻方中，

S=3e

，且关于中心对称的两格之和为

2e

In a

3\times3

magic square,

S=3e

and opposite entries sum to

2e

解答：

设中心格中的数为

e

，公共和为

S

。在任意

3\times3

幻方中，

S=3e

，且关于中心对称的两格之和为

2e

。因此左下角的数为

2e-96

。由第一列和第一行可得

\begin{aligned}x+1+(2e-96)&=3e,\\x+19+96&=3e\end{aligned}\text{。}

第一个方程给出

e=x-95

，第二个方程给出

3e=x+115

。所以

3x-285=x+115

，从而

x=200

。

Let the center entry be

e

and the common sum be

S.

In any

3\times3

magic square,

S=3e

and entries opposite across the center sum to

2e.

Thus the bottom-left entry is

2e-96.

The first column and first row give

\begin{aligned}x+1+(2e-96)&=3e,\\x+19+96&=3e.\end{aligned}

The first equation says

e=x-95,

while the second says

3e=x+115.

Hence

3x-285=x+115,

so

x=200.

1996 AIME 第 1 题

答案：200

难度评级：1650

小提示：

大提示：

解答：

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