1957 AMC 12 第 50 题

Question

在圆

O

中，

G

是直径

\overline{AB}

上的动点。作

\overline{AA'}

垂直于

\overline{AB}

，且长度等于

AG

。作

\overline{BB'}

垂直于

\overline{AB}

，它与

\overline{AA'}

位于直径

\overline{AB}

的同一侧，且长度等于

BG

。设

O'

为

\overline{A'B'}

的中点。当

G

从

A

移动到

B

时，点

O'

：

In circle

O,

G

is a moving point on diameter

\overline{AB}.

\overline{AA'}

is drawn perpendicular to

\overline{AB}

and equal to

AG.

\overline{BB'}

is drawn perpendicular to

\overline{AB},

on the same side of diameter

\overline{AB}

as

\overline{AA'},

and equal to

BG.

Let

O'

be the midpoint of

\overline{A'B'}.

Then, as

G

moves from

A

to

B,

point

O':

沿一条平行于

AB

的直线移动

moves on a straight line parallel to

AB

保持不动

remains stationary

沿一条垂直于

AB

的直线移动

moves on a straight line perpendicular to

AB

沿一个与已知圆相交的小圆移动

moves in a small circle intersecting the given circle

沿一条既不是圆也不是直线的轨迹移动

follows a path which is neither a circle nor a straight line

答案：B

知识点：坐标几何中点不变量

难度评级：1790

小提示：

令

A=(0,0)

、

B=(L,0)

、

G=(g,0)

Place

A=(0,0),

B=(L,0),

and

G=(g,0)

大提示：

写出

A'

与

B'

的坐标，再取其平均值

Write coordinates for

A'

and

B'

, then average them

解答：

令

A=(0,0)

、

B=(L,0)

，且

G=(g,0)

。在同一侧作垂线，得到

A'=(0,g),\qquad B'=(L,L-g)\text{。}

它们的中点为

\begin{aligned} O' &=\left(\frac L2,\frac{g+L-g}{2}\right)\\ &=\left(\frac L2,\frac L2\right) \end{aligned}\text{，}

与

g

无关。因此

O'

保持不动。

因此，正确答案是 B。

Let

A=(0,0),

B=(L,0),

and

G=(g,0).

The perpendicular constructions on the same side give

A'=(0,g),\qquad B'=(L,L-g).

Their midpoint is

\begin{aligned} O' &=\left(\frac L2,\frac{g+L-g}{2}\right)\\ &=\left(\frac L2,\frac L2\right), \end{aligned}

independent of

g.

Thus

O'

remains stationary.

Therefore, the correct answer is B.

1957 AMC 12 第 50 题

答案：B

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

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