1959 AMC 12 第 48 题

Question

给定多项式

\begin{aligned} &a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots\\ &\qquad{}+a_{n-1}x+a_n \end{aligned}\text{，}

其中

n

为正整数或零，

a_0

为正整数，其余各个

a

为整数或零。令

\begin{aligned} h={}&n+a_0+|a_1|+|a_2|\\ &{}+\cdots+|a_n| \end{aligned}\text{。}

【例题

25

说明了

|x|

的含义。】满足

h=3

的多项式个数为：

Given the polynomial

\begin{aligned} &a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots\\ &\qquad{}+a_{n-1}x+a_n, \end{aligned}

where

n

is a positive integer or zero, and

a_0

is a positive integer. The remaining

a

’s are integers or zero. Set

\begin{aligned} h={}&n+a_0+|a_1|+|a_2|\\ &{}+\cdots+|a_n|. \end{aligned}

[See example

25

for the meaning of

|x|.

] The number of polynomials with

h=3

is:

3

5

6

7

9

答案：B

知识点：多项式分类讨论

难度评级：1730

小提示：

因为

n+a_0\le3

且

a_0\ge1

，只需考虑

n=0,1,2

Since

n+a_0\le3

and

a_0\ge1,

consider only

n=0,1,2

大提示：

对每个次数，计算绝对值之和满足要求的整系数元组数量

For each degree, count the integer coefficient tuples with the required sum of absolute values

解答：

按次数分类计数。若

n=0

，则

a_0=3

，得到一个多项式。若

n=1

，则

a_0+|a_1|=2\text{。}

此时

a_0=2,a_1=0

或

a_0=1,a_1=\pm1

，共有三个多项式。若

n=2

，则

a_0=1

且

a_1=a_2=0

，再得一个。次数不可能更高。总数为

1+3+1=5

。

因此，正确答案是 B。

We count by degree. If

n=0,

then

a_0=3,

giving one polynomial. If

n=1,

then

a_0+|a_1|=2.

This gives

a_0=2,a_1=0

or

a_0=1,a_1=\pm1,

for three polynomials. If

n=2,

then

a_0=1

and

a_1=a_2=0,

giving one more. No higher degree is possible. The total is

1+3+1=5.

Thus, the correct answer is B.

1959 AMC 12 第 48 题

答案：B

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

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