1984 AIME Problema 5

Question

Determina el valor de

ab

si

\log_8a+\log_4b^2=5

y

\log_8b+\log_4a^2=7.

Determine the value of

ab

if

\log_8a+\log_4b^2=5

and

\log_8b+\log_4a^2=7.

Respuesta

Expresa todos los logaritmos en base

2

Express every logarithm using base

2

Haz

A=\log_2a

y

B=\log_2b

para obtener un sistema lineal

Set

A=\log_2a

and

B=\log_2b

to obtain a linear system

Sean

A=\log_2a

y

B=\log_2b.

Las dos ecuaciones se convierten en

\frac A3+B=5,\qquad \frac B3+A=7.

De manera equivalente,

A+3B=15

y

3A+B=21,

de donde

A=6

y

B=3.

Por lo tanto,

ab=2^{A+B}=2^9=512.

Let

A=\log_2a

and

B=\log_2b.

The two equations become

\frac A3+B=5,\qquad \frac B3+A=7.

Equivalently,

A+3B=15

and

3A+B=21,

which give

A=6

and

B=3.

Therefore

ab=2^{A+B}=2^9=512.

El Problema 5 en otros años