1984 AIME 第 5 题

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求

ab

的值，其中

\log_8a+\log_4b^2=5

，且

\log_8b+\log_4a^2=7

。

Determine the value of

ab

\log_8a+\log_4b^2=5

and

\log_8b+\log_4a^2=7.

答案

将所有对数都改写为以

2

为底

Express every logarithm using base

2

令

A=\log_2a

，

B=\log_2b

，得到一个线性方程组

Set

A=\log_2a

and

B=\log_2b

to obtain a linear system

令

A=\log_2a

，

B=\log_2b

。两个方程变为

\frac A3+B=5,\qquad \frac B3+A=7\text{。}

等价地，

A+3B=15

，且

3A+B=21

，解得

A=6

，

B=3

。因此

ab=2^{A+B}=2^9=512

。

Let

A=\log_2a

and

B=\log_2b.

The two equations become

\frac A3+B=5,\qquad \frac B3+A=7.

Equivalently,

A+3B=15

and

3A+B=21,

which give

A=6

and

B=3.

Therefore

ab=2^{A+B}=2^9=512.

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