1986 AIME Problema 5

Question

¿Cuál es el mayor entero positivo

n

para el cual

n^3+100

es divisible por

n+10

?

What is the largest positive integer

n

for which

n^3+100

is divisible by

n+10?

Respuesta

Respuesta: 890

Conceptos:divisibilidad aritmética modular polinomio

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Reduce

n^3+100

módulo

n+10

Reduce

n^3+100

modulo

n+10

Pista grande:

La condición hace que

n+10

sea un divisor positivo de un entero fijo

The condition makes

n+10

a positive divisor of a fixed integer

Solución:

Módulo

n+10,

se tiene

n\equiv-10.

Por tanto,

\begin{gathered} n^3+100 \equiv(-10)^3+100\\ \equiv-900\pmod{n+10}. \end{gathered}

Así, la condición equivale a que

900

sea divisible por

n+10.

Como

n

es positivo,

n+10

es un divisor positivo de

900,

y su mayor valor posible es

900.

Esto da

n=900-10=890.

Modulo

n+10,

we have

n\equiv-10.

Thus

\begin{gathered} n^3+100 \equiv(-10)^3+100\\ \equiv-900\pmod{n+10}. \end{gathered}

The condition is therefore equivalent to

900

being divisible by

n+10.

Since

n

is positive,

n+10

is a positive divisor of

900,

and its largest possible value is

900.

This gives

n=900-10=890.