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1986 AIME 第 5 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

5.

使

n^3+100

能被

n+10

整除的最大正整数

n

是多少？

What is the largest positive integer

n

for which

n^3+100

is divisible by

n+10?

答案

答案：890

知识点：整除性模运算多项式

难度评级：1840

小提示：

对

n^3+100

模

n+10

化简

Reduce

n^3+100

modulo

n+10

大提示：

该条件使

n+10

成为某个固定整数的正因数

The condition makes

n+10

a positive divisor of a fixed integer

解答：

模

n+10

，有

n\equiv-10

。因此

\begin{gathered} n^3+100 \equiv(-10)^3+100\\ \equiv-900\pmod{n+10} \end{gathered}\text{。}

所以该条件等价于

900

能被

n+10

整除。由于

n

为正整数，

n+10

是

900

的正因数，其最大可能值为

900

。因而

n=900-10=890

。

Modulo

n+10,

we have

n\equiv-10.

Thus

\begin{gathered} n^3+100 \equiv(-10)^3+100\\ \equiv-900\pmod{n+10}. \end{gathered}

The condition is therefore equivalent to

900

being divisible by

n+10.

Since

n

is positive,

n+10

is a positive divisor of

900,

and its largest possible value is

900.

This gives

n=900-10=890.