1987 AIME Problema 9

Question

El triángulo

ABC

tiene un ángulo recto en

B

y contiene un punto

P

para el cual

PA=10,

PB=6,

y

\angle APB=\angle BPC=\angle CPA.

Halla

PC.

Triangle

ABC

has a right angle at

B

and contains a point

P

for which

PA=10,

PB=6,

and

\angle APB=\angle BPC=\angle CPA.

Find

PC.

Respuesta

Respuesta: 33

Conceptos:vector triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Los tres ángulos iguales alrededor de

P

miden

120^\circ

cada uno

The three equal angles around

P

are each

120^\circ

Pista grande:

Usa vectores con origen en

P

y convierte el ángulo recto en

B

en un producto escalar

Use vectors from

P

and translate the right angle at

B

into a dot product

Solución:

Sean

\mathbf a,

\mathbf b,

y

\mathbf c

los vectores desde

P

hasta

A,

B

y

C,

y sea

|\mathbf c|=x.

Sus ángulos por parejas son de

120^\circ,

así que

\mathbf a\cdot\mathbf b=-30,

\mathbf b\cdot\mathbf c=-3x,

y

\mathbf a\cdot\mathbf c=-5x.

Como

AB\perp BC,

(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0.

Al desarrollar se obtiene

-5x+30+3x+36=0,

por lo que

x=33.

Let

\mathbf a,

\mathbf b,

and

\mathbf c

be the vectors from

P

to

A,

B,

C,

and put

|\mathbf c|=x.

Their pairwise angles are

120^\circ,

so

\mathbf a\cdot\mathbf b=-30,

\mathbf b\cdot\mathbf c=-3x,

and

\mathbf a\cdot\mathbf c=-5x.

Since

AB\perp BC,

(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0.

Expanding gives

-5x+30+3x+36=0,

so

x=33.