In English En español

1987 AIME 第 9 题

先试着解答 1987 AIME 第 9 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1987 AIME 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

9.

三角形

ABC

在

B

处为直角，内部有一点

P

，满足

PA=10

、

PB=6

，且

\angle APB=\angle BPC=\angle CPA

。求

PC

。

Triangle

ABC

has a right angle at

B

and contains a point

P

for which

PA=10,

PB=6,

and

\angle APB=\angle BPC=\angle CPA.

Find

PC.

答案

答案：33

知识点：向量直角三角形

难度评级：2380

小提示：

P

周围三个相等的角都为

120^\circ

The three equal angles around

P

are each

120^\circ

大提示：

使用从

P

出发的向量，并将

B

处的直角转化为点积条件

Use vectors from

P

and translate the right angle at

B

into a dot product

解答：

令

\mathbf a

、

\mathbf b

、

\mathbf c

分别为从

P

指向

A

、

B

、

C

的向量，并令

|\mathbf c|=x

。它们两两夹角均为

120^\circ

，所以

\mathbf a\cdot\mathbf b=-30

、

\mathbf b\cdot\mathbf c=-3x

，且

\mathbf a\cdot\mathbf c=-5x

。因为

AB\perp BC

，

(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0

。展开得

-5x+30+3x+36=0

，所以

x=33

。

Let

\mathbf a,

\mathbf b,

and

\mathbf c

be the vectors from

P

to

A,

B,

C,

and put

|\mathbf c|=x.

Their pairwise angles are

120^\circ,

so

\mathbf a\cdot\mathbf b=-30,

\mathbf b\cdot\mathbf c=-3x,

and

\mathbf a\cdot\mathbf c=-5x.

Since

AB\perp BC,

(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0.

Expanding gives

-5x+30+3x+36=0,

so

x=33.