1989 AIME Problema 3

Question

Supón que

n

es un entero positivo y que

d

es un solo dígito en base

10.

Halla

n

si

\frac{n}{810}=0.d25d25d25\ldots.

Suppose

n

is a positive integer and

d

is a single digit in base

10.

Find

n

if

\frac{n}{810}=0.d25d25d25\ldots.

Respuesta

Convierte el bloque periódico de tres dígitos en una fracción con denominador

999

Convert the repeating three-digit block into a fraction with denominator

999

Usa que

n

es entero para determinar qué dígito hace que

4d+1

sea divisible por

37

Use the integrality of

n

to determine which digit makes

4d+1

divisible by

37

El decimal periódico es

\frac{100d+25}{999}.

Por lo tanto,

\begin{aligned}n&=\frac{810(100d+25)}{999}\\&=\frac{750(4d+1)}{37}.\end{aligned}

Como

0\leq d\leq9,

la única manera de que

4d+1

sea divisible por

37

es que

4d+1=37,

de modo que

d=9

y

n=750.

The repeating decimal is

\frac{100d+25}{999}.

Thus

\begin{aligned}n&=\frac{810(100d+25)}{999}\\&=\frac{750(4d+1)}{37}.\end{aligned}

Since

0\leq d\leq9,

the only way

4d+1

can be divisible by

37

is

4d+1=37,

so

d=9

and

n=750.

El Problema 3 en otros años