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1989 AIME 第 3 题

先试着解答 1989 AIME 第 3 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1989 AIME 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

设

n

为正整数，

d

为

10

进制中的一位数字。若下列等式成立，求

n

：

\frac{n}{810}=0.d25d25d25\ldots

Suppose

n

is a positive integer and

d

is a single digit in base

10.

Find

n

if

\frac{n}{810}=0.d25d25d25\ldots.

答案

答案：750

知识点：数字整除性循环小数

难度评级：1970

小提示：

将循环的三位数字块化为分母为

999

的分数

Convert the repeating three-digit block into a fraction with denominator

999

大提示：

利用

n

是整数，确定哪个数字使

4d+1

能被

37

整除

Use the integrality of

n

to determine which digit makes

4d+1

divisible by

37

解答：

该循环小数为

\frac{100d+25}{999}

。因此

\begin{aligned}n&=\frac{810(100d+25)}{999}\\&=\frac{750(4d+1)}{37}\end{aligned}\text{。}

由于

0\leq d\leq9

，要使

4d+1

能被

37

整除，只能有

4d+1=37

，所以

d=9

，且

n=750

。

The repeating decimal is

\frac{100d+25}{999}.

Thus

\begin{aligned}n&=\frac{810(100d+25)}{999}\\&=\frac{750(4d+1)}{37}.\end{aligned}

Since

0\leq d\leq9,

the only way

4d+1

can be divisible by

37

is

4d+1=37,

so

d=9

and

n=750.