1994 AIME Problema 10

Question

En el triángulo

ABC,

el ángulo

C

es recto y la altura desde

C

corta a

\overline{AB}

en

D.

Las longitudes de los lados de

\triangle ABC

son enteras,

BD=29^3,

y

\cos B=\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos coprimos. Halla

m+n.

In triangle

ABC,

angle

C

is a right angle and the altitude from

C

meets

\overline{AB}

at

D.

The lengths of the sides of

\triangle ABC

are integers,

BD=29^3,

and

\cos B=\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m+n.

Respuesta

Respuesta: 450

Conceptos:altura Terna pitagórica divisibilidad

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Usa la semejanza para escribir

BD=\frac{BC^2}{AB}

Use similarity to write

BD=\frac{BC^2}{AB}

Pista grande:

Expresa

\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}

en su mínima expresión y usa la factorización prima de

29^3

Express

\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}

in lowest terms and use the prime factorization of

29^3

Solución:

Escribe

\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}

en su mínima expresión, con

BC=km

y

AB=kn.

La semejanza da

29^3=BD=\frac{BC^2}{AB}=\frac{km^2}{n}.

Por lo tanto,

k

es divisible por

n;

si escribimos

k=nt

, obtenemos

tm^2=29^3.

La posibilidad

m=1

no puede ser un cateto de un triángulo rectángulo entero no degenerado, así que

m=29.

Si llamamos

u

al otro cateto de la terna primitiva, entonces

(n-u)(n+u)=29^2,

lo que da

n=421

y

u=420.

Por consiguiente,

m+n=29+421=450.

Write

\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}

in lowest terms, with

BC=km

and

AB=kn.

Similarity gives

29^3=BD=\frac{BC^2}{AB}=\frac{km^2}{n}.

Hence

k

is divisible by

n;

writing

k=nt

gives

tm^2=29^3.

The possibility

m=1

cannot be a leg of a nondegenerate integer right triangle, so

m=29.

Writing the other leg of the primitive triple as

u,

we have

(n-u)(n+u)=29^2,

giving

n=421

and

u=420.

Therefore

m+n=29+421=450.