1995 AIME Problema 12

Question

La pirámide

OABCD

tiene base cuadrada

ABCD,

aristas congruentes

\overline{OA},

\overline{OB},

\overline{OC},

y

\overline{OD},

y

\angle AOB=45^\circ.

Sea

\theta

la medida del ángulo diedro formado por las caras

OAB

y

OBC.

Dado que

\cos\theta=m+\sqrt n,

donde

m

y

n

son enteros, halla

m+n.

Pyramid

OABCD

has square base

ABCD,

congruent edges

\overline{OA},

\overline{OB},

\overline{OC},

and

\overline{OD},

and

\angle AOB=45^\circ.

Let

\theta

be the measure of the dihedral angle formed by faces

OAB

and

OBC.

Given that

\cos\theta=m+\sqrt n,

where

m

and

n

are integers, find

m+n.

Respuesta

Respuesta: 5

Conceptos:Geometría 3D geometría analítica vector

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Coloca los vértices del cuadrado en

(\pm1,\pm1,0)

y el vértice de la pirámide en

(0,0,h)

Place the square’s vertices at

(\pm1,\pm1,0)

and the apex at

(0,0,h)

Pista grande:

Halla

h^2

a partir de

\angle AOB,

y luego toma el suplemento del ángulo entre normales adecuadas a las caras

Find

h^2

from

\angle AOB,

then take the supplement of the angle between suitable face normals

Solución:

Toma los vértices adyacentes de la base

A=(1,1,0),

B=(-1,1,0),

C=(-1,-1,0)

y

O=(0,0,h).

A partir de

\angle AOB=45^\circ,

\begin{aligned}\frac{h^2}{h^2+2}&=\frac1{\sqrt2},\\h^2&=2+2\sqrt2.\end{aligned}

Se pueden tomar como normales a las dos caras

(0,2h,2)

y

(-2h,0,2).

El coseno de su ángulo agudo es

\frac{1}{h^2+1}=3-2\sqrt2.

El ángulo diedro interior es su suplemento, así que

\cos\theta=2\sqrt2-3=-3+\sqrt8.

Por lo tanto,

m+n=-3+8=5.

Take adjacent base vertices

A=(1,1,0),

B=(-1,1,0),

C=(-1,-1,0)

and

O=(0,0,h).

From

\angle AOB=45^\circ,

\begin{aligned}\frac{h^2}{h^2+2}&=\frac1{\sqrt2},\\h^2&=2+2\sqrt2.\end{aligned}

Normals to the two faces may be taken as

(0,2h,2)

and

(-2h,0,2).

Their acute angle has cosine

\frac{1}{h^2+1}=3-2\sqrt2.

The interior dihedral angle is its supplement, so

\cos\theta=2\sqrt2-3=-3+\sqrt8.

Thus

m+n=-3+8=5.